내압을 받는 후육원통(厚肉圓筒;thick cylinder under pressure)

후육원통은 살두께가 내경의 10% 이상인 경우를 말하며 아래 그림은 외부압력 $p_o$, 내부압력 $p_i$가 작용하는 내반경 $r_i$, 외반경 $r_o$의 원통을 나타낸다.

일반적으로 얇은 원통에서는 반경방향 후프응력을 무시하였지만 임의의 반경 r에서의 반경방향 후프응력을 여기서는 무시할 수 없다.

위의 그림에서와 같이 임의의 반경 r, 각도증분 dθ 및 반경증분 dr을 생각한다. 원 대칭에 의해 원주방향 응력 $\sigma_\theta$와 반경방향 응력 $\sigma_r$은 θ가 아닌 r만의 함수이므로, 요소의 전단응력은 영이다. 단위 두께 요소의 반경방향 힘 평형 $\sum{F_r}=0$ 으로부터

$$\sigma_rrd\theta-2\sigma_\theta\sin{\theta\over2}dr+\left(\sigma_r+\frac{d\sigma_r}{dr}dr\right)(r+dr)d\theta=0$$

이 때 θ가 미소하므로 sin(θ/2)≒θ/2 이고, 이차항을 무시하면 다음식을 얻는다.

$$\frac{d\sigma_r}{dr}+\frac{\sigma_r-\sigma_\theta}{r}=0\quad\cdots(1)$$

위의 식들은 체적력(body force)은 없다고 가정된 것이다.

이제 요소의 변형률을 생각한다. 대칭에 의해서 θ 방향 변위 v는 없다. 따라서 요소 내측면의 반경방향 변위 u만이 존재한다. 이 때 외측면의 변위는 u+du가 된다. 변형전 요소의 반경방향 길이가 dr 이므로 반경방향 변형률(radial strain)은

$$\epsilon_r=\frac{u+du-u}{dr}=\frac{du}{dr}$$

요소 내측면의 길이는 rdθ 이고, 외측면은 (r+u)dθ 이므로 접선 변형률(tangential strain)은

$$\epsilon_\theta=\frac{(r+u)d\theta-rd\theta}{rd\theta}={u\over r}$$

끝단이 열려있으므로, $\sigma_z=\sigma_3=0$ 이고 따라서 평면응력(plane stress) 조건을 가진다. 후크의 법칙(Hooke's law)으로부터

$$\begin{align}&\epsilon_r={du\over dr}={1\over E}(\sigma_r-\nu\sigma_\theta)\\&\epsilon_\theta={u\over r}\ \,={1\over E}(\sigma_\theta-\nu\sigma_r)\end{align}$$

응력들에 대하여 풀면 다음식을 얻는다.

$$\sigma_r={E\over1-\nu^2}\left({du\over dr}+\nu{u\over r}\right)\qquad\sigma_\theta={E\over1-\nu^2}\left(\nu{du\over dr}+{u\over r}\right)$$

위의 식들을 앞의 (1)식에 대입하면 다음과 같은 미분방정식이 유도된다.

$$\frac{d^2u}{dr^2}+\frac{du}{rdr}-{u\over r^2}=0$$

이 미분방정식의 일반해는

$$u=C_1r+{C_2\over r}$$

이 식을 위의 응력식에 대입하면 다음과 같다.

$$\begin{align}&\sigma_r={E\over1-\nu^2}\left[C_1(1+\nu)-C_2\left(1-\nu\over r^2\right)\right]\quad\cdots(2)\\&\sigma_\theta={E\over1-\nu^2}\left[C_1(1+\nu)+C_2\left(1-\nu\over r^2\right)\right]\quad\cdots(3)\end{align}$$

적분상수 $C_1,\,C_2$를 구하기 위해 경계조건을 적용한다:

$$\sigma_r(r_i)=-p_i\qquad\sigma_r(r_o)=-p_o$$

위의 경계조건을 식(2)에 적용하면 적분상수가 계산된다:

$$C_1={1-\nu\over E}\left(\frac{p_ir_i^2-p_or_o^2}{r_o^2-r_i^2}\right)\qquad C_2={1+\nu\over E}\left(\frac{(p_i-p_o)r_i^2r_o^2}{r_o^2-r_i^2}\right)$$

위의 적분상수를 식(2), (3)에 대입하고 정리하면 반경 r의 함수로 응력들을 얻는다:

$$\begin{align}&\sigma_r=\frac{p_ir_i^2-p_or_o^2}{r_o^2-r_i^2}-\frac{(p_i-p_o)r_i^2r_o^2}{(r_o^2-r_i^2)r^2}\\&\sigma_\theta=\frac{p_ir_i^2-p_or_o^2}{r_o^2-r_i^2}+\frac{(p_i-p_o)r_i^2r_o^2}{(r_o^2-r_i^2)r^2}\end{align}$$

이 식들은 라메의 방정식(Lame's equation)이라 한다.

만약 외부압력 $p_o$가 없이 내압 $p_i$만 작용하는 경우의 응력값들은 $p_o=0$을 대입하여

$$\begin{align}&\sigma_r=\frac{p_ir_i^2}{r_o^2-r_i^2}\left(1-{r_o^2\over r^2}\right)\\&\sigma_\theta=\frac{p_ir_i^2}{r_o^2-r_i^2}\left(1+{r_o^2\over r^2}\right)\end{align}$$

이 식들에서 알 수 있듯이 원주방향의 최대 후프응력은 $r=r_i$ 일 때 발생하므로

$$(\sigma_\theta)_{max}=\frac{p_i(r_o^2+r_i^2)}{r_o^2-r_i^2}$$

또한, $r=r_o$에서 원주방향 최소 후프응력이 발생한다:

$$(\sigma_\theta)_{min}=\frac{2p_ir_i^2}{r_o^2-r_i^2}$$

같은 방법으로 반경방향 후프응력도 $r=r_i$ 일 때 $(\sigma_r)_{max}=-p$가 되며 $r=r_o$ 에서 $(\sigma_r)_{min}=0$을 얻는다. 두꺼운 원통에 있어서 $t=r_o-r_i$를 쉽게 얻기 위하여 최대 원주방향 후프응력을 반경비 $r_o/r_i$로 정리하면

$${r_o\over r_i}=\sqrt{(\sigma_\theta)_{max}+p_i\over(\sigma_\theta)_{max}-p_i}=\sqrt{\sigma_a+p_i\over\sigma_a-p_i}$$

여기서 $\sigma_a$는 허용응력이 된다.