삼차방정식 허근(ω)의 성질

아래의 삼차 방정식은 두개의 허근을 갖는다.

\[x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0\]

허근 중 하나를 ω라 하면 다른 하나는 ω의 켤레 복소수이다.

\[\omega=-{1\over2}+{\sqrt{3}\over2}i,\qquad\overline\omega=-{1\over2}-{\sqrt{3}\over2}i\]

ω는 위의 방정식의 근이므로 당연히

\[\omega^3=\overline\omega^3=1,\qquad\omega^2+\omega+1=\overline\omega^2+\overline\omega+1=0\]

또한 \(\omega^2\)은 켤레 복소수가 된다.

\[\omega^2=-\omega-1=-{1\over2}-{\sqrt{3}\over2}i=\overline\omega,\qquad\overline\omega^2=-\overline\omega-1=-{1\over2}+{\sqrt{3}\over2}i=\omega\]

근과 계수의 관계로부터 다음식이 성립한다.

\[\omega+\overline\omega=-1,\qquad\omega\overline\omega=1\]