변형률 에너지 (Strain Energy)
코시 응력은 변형 물체의 단면에 작용하는 힘을 의미한다. 따라서 그 물체는 회전과 변형이 일어 났으므로 단면적도 변형전 대비 변하였을 것이다. 하지만 힘의 평형은 초기 상태가 아니라 회전과 변형 조건에서 이루어 진다.
코시 응력은 σ로 표시한다. 끝단에 하중을 받는 대변형 외팔보에서 보듯이 응력의 평형 방정식은 초기 상태가 아니라 변형 후 조건에서 쓰여지므로 코시 응력은 진응력으로 간주된다.
일은 힘과 변위의 내적이므로
\[\int{\bf F}\cdot d{\bf x},\qquad dW={\bf F}\cdot d{\bf x}\]
일률은 일의 시간 미분을 취하면 다음과 같다.
\[\dot W={dW\over dt}={\bf F}\cdot{d{\bf x}\over dt}=\bf F\cdot v\]
공학에서 일과 에너지를 힘과 변위가 아닌 응력과 변형률로 계산할 경우가 있다. 아래의 유도 과정은 이들의 관계를 보여준다.
위의 그림과 같이 속도 v로 이동하는 물체를 생각한다. 외부힘이 표면에 트렉션 벡터 T로 가해지고 내부힘이 체적당 힘 f로 작용한다고 하면 물체에 작용하는 전체 힘은
\[\sum{\bf F}=\sum외부힘+\sum내부힘=\int{\bf T}dA+\int{\bf f}dV\]
일률은 힘과 속도 벡터 v의 내적이므로
\[\dot W=\int{\bf T}\cdot{\bf v}dA+\int{\bf f}\cdot{\bf v}dV\]
이 결과는 속도 벡터 v와 연관된 운동, 응력과 변형률이 관련된 변형 성분으로 분해할 수 있다. 먼저 T=σ·n 이므로 T를 치환하면
\[\dot W=\int(\boldsymbol\sigma\cdot{\bf n})\cdot{\bf v}dA+\int{\bf f}\cdot{\bf v}dV\]
발산이론을 적용하면 면 적분을 체적 적분으로 변환할 수 있다.
\[\dot W=\int\nabla\cdot(\boldsymbol\sigma\cdot{\bf v})dV+\int{\bf f}\cdot{\bf v}dV\]
발산 연산자를 전개하면
\[\dot W=\int(\nabla\cdot\boldsymbol\sigma)\cdot{\bf v}dV+\int\boldsymbol\sigma:\nabla{\bf v}dV+\int{\bf f}\cdot{\bf v}dV\]
윗 단계는 행열 표기법이 직관적이지 않으므로 텐서 표기법을 쓰면 쉽게 증명된다.
\[\nabla\cdot(\boldsymbol\sigma\cdot{\bf v})=(\sigma_{ij}v_i)_j=\sigma_{ij,j}v_i+\sigma_{ij}v_{i,j}=(\nabla\cdot\boldsymbol\sigma)\cdot{\bf v}+\boldsymbol\sigma:\nabla{\bf v}\]
여기서 평형 방정식 \(\nabla\cdot\boldsymbol\sigma+{\bf f}=\rho{\bf a}\)를 이용하여 \(\nabla\cdot\boldsymbol\sigma\)를 치환하면
\[\begin{align}\dot W&=\int(\rho{\bf a}-{\bf f})\cdot{\bf v}dV+\int\boldsymbol\sigma:\nabla{\bf v}dV+\int{\bf f}\cdot{\bf v}dV\\&=\int\rho{\bf a}\cdot{\bf v}dV+\int\boldsymbol\sigma:\nabla{\bf v}dV\end{align}\]
여기서 \(\int\rho{\bf a}\cdot{\bf v}dV\)는 운동에너지의 시간 미분이고 \(\nabla{\bf v}\)는 속도구배(velocity gradient) L=D+W 이므로
\[\begin{align}\dot W&={d\over dt}\int{1\over2}\rho({\bf v}\cdot{\bf v})dV+\int\boldsymbol\sigma:{\bf L}dV\\&={d\over dt}({\rm KE})+\int\boldsymbol\sigma:{\bf D}dV+\int\boldsymbol\sigma:{\bf W}dV\end{align}\]
\(\boldsymbol\sigma:{\bf W}\)는 '0' 이므로 최종적으로
\[\dot W={d\over dt}({\rm KE})+\int\boldsymbol\sigma:{\bf D}dV\]
이제 전체 일률은 운동과 변형 부분으로 분해되었다. 운동에너지는 속도 벡터 v로 나타낼 수 있으며 변형에너지는 변형률 에너지 밀도의 시간 미분인 진응력과 변형률 속도의 한쌍으로 표현된다.
1차 피올라 키르코프 응력 (1st Piola Kirchhoff Stress)
1차 피올라 키르코프 응력의 정의는 코시 응력과 변형률 속도 텐서로부터 출발한다.
\[\dot W=\int\boldsymbol\sigma:{\bf D}dV\]
여기서 변형률 속도 텐서는
\[{\bf D}={1\over2}({\bf L}+{\bf L}^T)\]
윗식을 대입하고 σ는 대칭행열이므로
\[\dot W={1\over2}\int(\boldsymbol\sigma:{\bf L}+\boldsymbol\sigma:{\bf L}^T)dV=\int\boldsymbol\sigma:{\bf L}dV\]
속도구배 L을 변형구배(deformation gradient) F로 표현하면
\[{\bf L}=\dot{\bf F}\cdot{\bf F}^{-1}\]
또한 \(dV=JV_o\) 이므로 (\(J:Jacobian,\ V_o:초기체적\))
\[\dot W=\int\boldsymbol\sigma:(\dot{\bf F}:{\bf F}^{-1})JdV_o\]
이해하기 쉽게 텐서 표기법으로 쓰고 정리하면
\[\dot W=\int\sigma_{ij}\dot F_{ik}F^{-1}_{kj}JdV_o=\int\sigma_{ij}F^{-T}_{jk}\dot F_{ik}JdV_o\]
다시 행열 표기법으로 쓰면
\[\dot W=\int{\bf P}:\dot{\bf F}dV_o\ 여기서\ {\bf P}=J\boldsymbol\sigma\cdot{\bf F}^{-T}\]
P를 1차 피올라 키르코프 응력으로 정의하며 비대칭 행열이 된다(앞에 \({\bf F}^{-1}\) 곱이 없고 \({\bf F}^{-T}\)만 뒤에 곱해지므로).
2차 피올라 키르코프 응력 (2nd Piola Kirchhoff Stress)
2차 피올라 키르코프 응력도 1차와 유사하게 코시 응력과 변형률 속도 텐서로부터 출발한다.
\[\dot W=\int\boldsymbol\sigma:{\bf D}dV\]
변형률 속도 D와 그린 변형률(Green strain) E의 관계로부터
\[{\bf D}={\bf F}^{-T}\cdot\dot{\bf E}\cdot{\bf F}^{-1}\]
또한 \(dV=JdV_o\) 이므로
\[\dot W=\int\boldsymbol\sigma:({\bf F}^{-T}\cdot\dot{\bf E}\cdot{\bf F}^{-1})JdV_o\]
이해하기 쉽게 텐서 표기법으로 쓰고 정리하면
\[\dot W=\int\sigma_{ij}F^{-T}_{im}\dot E_{mn}F^{-1}_{nj}JdV_o=\int JF^{-1}_{mi}\sigma_{ij}F^{-T}_{jn}\dot E_{mn}dV_o\]
다시 행열 표기법으로 쓰면
\[\dot W=\int{\bf S}:\dot{\bf E}dV_o\ 여기서\ {\bf S}=J{\bf F}^{-1}\cdot\boldsymbol\sigma\cdot{\bf F}^{-T}\]
S를 2차 피올라 키르코프 응력으로 정의하며 대칭 행열이 된다(앞에 \({\bf F}^{-1}\), 뒤에 \({\bf F}^{-T}\)가 곱해지므로).
S는 초기 변형전 상태를 참조하며 이를 극좌표 분해(polar decomposition)를 통해 알아 본다.
\[{\bf F}^{-1}={\bf U}^{-1}\cdot{\bf R}^T,\,{\bf F}^{-T}={\bf R}\cdot{\bf U}^{-1}({\bf R}^{-1}={\bf R}^T,\,{\bf U}^{-T}={\bf U}^{-1})를\ 대입하면\\{\bf S}=J{\bf U}^{-1}\cdot{\bf R}^T\cdot\boldsymbol\sigma\cdot{\bf R}\cdot{\bf U}^{-1}\]
여기서 \({\bf R}^{-T}\cdot\boldsymbol\sigma\cdot{\bf R}\) 항은 코시 응력이 현재(변형 후) 상태에서 초기(변형 전) 상태로 변환되었음을 의미한다.
에너지 계산을 위한 2차 피올라 키르코프 응력과 그린 변형률의 관계는 다음식도 참임을 의미한다.
\[\begin{align}W'''&={dW\over dV_o}={dt\over dV_o}{dW\over dt}={dt\over dV_o}\dot W\\&={dt\over dV_o}\int{\bf S}:\dot{\bf E}dV_o={dt\over dV_o}\int{\bf S}:{d{\bf E}\over dt}dV_o=\int{\bf S}:\dot{\bf E}dV_o\end{align}\]
공학 응력 (Engineering Stress)
공학 응력은 단순히 힘을 초기면적으로 나눈 것이다.
\[\sigma_{\rm Eng}={F_n\over A_o}\qquad\tau_{\rm Eng}={F_p\over A_o}\]
응력 예시 (Stress Example)
아래 그림과 같이 고무가 인장 상태에 있다고 하자. 비압축성(ν=0.5)이므로 체적은 불변이다.
\[V=L_oA_o=L_FA_F\]
따라서
\[{A_o\over A_F}={L_F\over L_o}=1+{\Delta L\over L_o}=1+\epsilon_{\rm Eng}\]
인장력 F는 변형전/후 동일하므로
\[F=\sigma A_F=\sigma_{\rm Eng}A_o\]
위의 식으로부터 다음 관계를 얻는다.
\[\sigma=\sigma_{\rm Eng}(1+\epsilon_{\rm Eng})\]
만약 변형률이 미소하다면 (\(\epsilon\approx0\)) 진응력(Cauchy stress)과 공학응력은 실용적인 측면에서 같다고 볼 수 있다. 그러나 단면이 감소할 정도로 변형이 상당하다면 진응력은 공학응력보다 커지게 된다. 압축의 경우는 반대로 진응력의 절대값이 더 작아지게 된다.
진응력과 2차 피올라 키르코프 응력의 관계를 구하려면 변형구배(deformation gradient)를 알아야 한다. 비압축성 고무의 변형구배는 J=det(F)=1의 관계로부터
\[{\bf F}=\begin{bmatrix}1+\epsilon_{\rm Eng}&0&0\\0&(1+\epsilon_{\rm Eng})^{-1/2}&0\\0&0&(1+\epsilon_{\rm Eng})^{-1/2}\end{bmatrix}\]
역행열은
\[{\bf F}^{-1}=\begin{bmatrix}(1+\epsilon_{\rm Eng})^{-1}&0&0\\0&(1+\epsilon_{\rm Eng})^{1/2}&0\\0&0&(1+\epsilon_{\rm Eng})^{1/2}\end{bmatrix}\]
2차 피올라 키르코프 응력는 정의로부터 아래와 같다.
\[{\bf S}=J{\bf F}^{-1}\cdot\boldsymbol\sigma\cdot{\bf F}^{-T}={\sigma\over(1+\epsilon_{\rm Eng})^2}={\sigma_{\rm Eng}\over1+\epsilon_{\rm Eng}}\]
다음은 강체 회전이 존재할 경우 응력 간 비교이다.
최종상태의 진응력(Cauchy stress)는 y-방향 인장이므로 수직 y-성분만 존재한다.
\[\boldsymbol\sigma=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&F/A&0\\0&0&0\end{bmatrix}\]
여기서 A는 최종, 변형 후 단면적이다.
2차 피올라 키르코프 응력을 계산하기 위해서는 변형구배(deformation gradient)를 알아야 한다. 변형구배를 구하기 위하여 극좌표 분해(polar decomposition)을 활용한다.
신장 텐서(stretch tensor)는 \(U_{11}=1+\epsilon_{\rm Eng},\,U_{22}=U_{33}\) 이고 det(U)=1(비압축성)이므로
\[{\bf U}=\begin{bmatrix}1+\epsilon_{\rm Eng}&0&0\\0&(1+\epsilon_{\rm Eng})^{-1/2}&0\\0&0&(1+\epsilon_{\rm Eng})^{-1/2}\end{bmatrix}\]
\[{\bf R}=\begin{bmatrix}\cos90^\circ&-\sin90^\circ&0\\\sin90^\circ&\cos90^\circ&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\]
그러므로 변형구배는
\[\begin{split}{\bf F}={\bf R}\cdot{\bf U}&=\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1+\epsilon_{\rm Eng}&0&0\\0&(1+\epsilon_{\rm Eng})^{-1/2}&0\\0&0&(1+\epsilon_{\rm Eng})^{-1/2}\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}0&-(1+\epsilon_{\rm Eng})^{-1/2}&0\\1+\epsilon_{\rm Eng}&0&0\\0&0&(1+\epsilon_{\rm Eng})^{-1/2}\end{bmatrix}\end{split}\]
F의 역행열은
\[{\bf F}^{-1}=\begin{bmatrix}0&(1+\epsilon_{\rm Eng})^{-1}&0\\-(1+\epsilon_{\rm Eng})^{1/2}&0&0\\0&0&(1+\epsilon_{\rm Eng})^{1/2}\end{bmatrix}\]
2차 피올라 키르코프 응력은 정의로부터
\[{\bf S}=J{\bf F}^{-1}\cdot\boldsymbol\sigma\cdot{\bf F}^{-T}=\begin{bmatrix}{F/A\over(1+\epsilon_{\rm Eng})^2}&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\]
2차 피올라 응력은 초기 힘의 작용 방향이 x 이므로 텐서의 수직-x 성분이 '0' 이 아니다. 단순 인장이므로 이 성분의 크기는 \(\sigma/(1+\epsilon_{\rm Eng})^2=\sigma_{\rm Eng}/(1+\epsilon_{\rm Eng})\) 이다.
여기서 각 응력으로 일률을 나타내면
\[\dot W=\int\boldsymbol\sigma:{\bf D}dV=\int{\bf S}:\dot{\bf E}dV_o\]
비압축성이면 \(V=V_o\) 이므로 S는 σ 보다 작고 반면에 S:E는 σ:D와 같으므로 E는 D 보다 크다. 따라서 각 응력과 변형률 속도는 에너지적으로 쌍대(雙對)를 이룬다.
[선형탄성 적용 예]
후크의 법칙 구성방정식은
\[\boldsymbol\epsilon={1\over E}\{(1+\nu)\boldsymbol\sigma-\nu{\bf I}{\rm tr}(\boldsymbol\sigma)\}\]
선형탄성에서 변형률은 매우 작으므로 (<1%) 모든 변형률 정의 뿐만 아니라 모든 응력도 동일하다. 따라서 에너지 쌍대를 이루는 어떠한 정의의 응력/변형률도 적용할 수 있다.
단, 상당한 강체회전이 존재하는 경우 적절한 응력/변형률 적용은 주의를 요한다. S(2nd Piola Kirchhoff stress)와 E(Green strain)은 초기상태를 참조하며 강체회전과 무관하므로
\[{\bf E}={1\over E}\{(1+\nu){\bf S}-\nu{\bf I}{\rm tr}(\bf S)\}\]
변형률 속도로 나타내도 동일하다.
\[\dot{\bf E}={1\over E}\{(1+\nu)\dot{\bf S}-\nu{\bf I}{\rm tr}(\dot{\bf S})\}\]
같은 방법으로 \(\epsilon_{\rm True}\)(true strain)이 현재 방향으로 계산된다면 σ(Cauchy stress)의 함수로 쓸 수 있다.
\[\boldsymbol\epsilon_{\rm True}={1\over E}\{(1+\nu)\boldsymbol\sigma-\nu{\bf I}{\rm tr}(\boldsymbol\sigma)\}\]
하지만 이 경우는 변형률 속도의 형태로 나타낼 수 없다. 즉,
\[\dot\epsilon_{\rm True}={\bf D}\ne{1\over E}\{(1+\nu)\dot{\boldsymbol\sigma}-\nu{\bf I}{\rm tr}(\dot{\boldsymbol\sigma})\}\]
예를 들면 초기 x-방향으로 신장된 물체가 일정 길이를 유지하면서 수직으로 회전한 경우 x-방향 코시응력이 y-방향으로 변환(transform)되었으므로 명백히 dσ/dt≠0 이다. 그러나 길이가 변하지 않았으므로 변형률 속도는 D=0 이다. 따라서 진응력/진변형률 속도를 적용할 경우 문제가 되며 이 차이를 대응하기 위하여 공전 도함수(corotational derivative)를 고려한다.
출처 : http://www.continuummechanics.org
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