함수의 연산

함수 f, g의 합, 차, 곱, 나눗셈을 다음과 같이 정의한다.

$$\begin{align}&(f+g)(x)=f(x)+g(x)\\&(f-g)(x)=f(x)-g(x)\\&(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)\\&(f/g)(x)=f(x)/g(x), 단\ g(x)\ne0\end{align}$$

(1) $f+g,\,f-g,\,f\cdot g$의 정의역은 $D_f\cap D_g$.

(2) $f/g$의 정의역은 $D_f\cap D_g$에서 g(x)=0인 x를 제외한 집합이다.

[예제 1] $\begin{align}f(x)={1\over x}+1,\,g(x)=\sqrt{1-x^2}\end{align}$으로 정의된 함수 f, g에 대하여 각각 $f+g,\,f-g,\,f\cdot g,\,f/g$를 만들고 그 정의역을 구하라.

<풀이>

$\begin{align}&(f+g)(x)=f(x)+g(x)=1+{1\over x}+\sqrt{1-x^2}\\&(f-g)(x)=f(x)-g(x)=1+{1\over x}-\sqrt{1-x^2}\\&(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)=\left(1+{1\over x}\right)\sqrt{1-x^2}\\&(f/g)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x+1}{x\sqrt{1-x^2}}\end{align}$

f의 정의역 : 0이 아닌 모든 실수, g의 정의역은 실함수이므로 |x|≤1 이다. 또한 g(x)=0 인 경우는 x=±1 이다. 따라서

f+g, f-g, f·g의 정의역 : 0<|x|≤1, f/g의 정의역 : 0<|x|<1

이다.

함수 f, g, h에 대하여 실수의 성질로부터 다음 공식이 유도된다.

$$\begin{align}&(1)\ f+g=g+f\\&(2)\ (f+g)+h=f+(g+h)\\&(3)\ f\cdot g=g\cdot f\\&(4)\ (f\cdot g)\cdot h=f\cdot(g\cdot h)\\&(5)\ f\cdot(g+h)=f\cdot g+f\cdot h\end{align}$$

증명은 실수의 연산으로부터 쉽게 된다.

$\begin{align}&(1)\ (f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x)\\&(2)\ ((f+g)+h)(x)=(f+g)(x)+h(x)=(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))\\&\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ =f(x)+(g+h)(x)=(f+(g+h))(x)\end{align}$

나머지 증명은 생략한다.

함수 f : X → Y, g : Y → Z에 대하여 $R_f\cap D_g\ne\emptyset$ 일 때 관계식

$$h(x)=g(f(x))$$

으로 정의된 함수 h : X → Z 를 f와 g의 합성함수(合成函數)라 하고 다음 기호로 나타낸다.

$$h=g\circ f$$

합성함수의 정의역 $D_{g\circ f}$, 치역 $R_{g\circ f}$는 각각 f의 정의역 $D_f$, g의 치역 $R_g$의 부분집합이다. 즉, $D_{g\circ f}\subseteq D_f,\,R_{g\circ f}\subseteq R_g$ 이다.

위의 정의를 y=f(x), y=g(x)로 정의하고 h(x)=g(f(x))에 의하여 $h=g\circ f$로 정할 수도 있다.

[예제 2] f와 g가 다음과 같을 때 $g\circ f$와 $f\circ g$를 구하여라.

$$\begin{align}&(1)\ f(x)=\sqrt{1-x},\,g(x)=x^2\\&(2)\ f(x)=1-x^2,\,g(x)=\sin{x}\end{align}$$

<풀이>

$\begin{align}(1)\ &(g\circ f)(x)=g(f(x))={f(x)}^2=(\sqrt{1-x})^2=1-x\\&(f\circ g)(x)=f(g(x))=\sqrt{1-g(x)}=\sqrt{1-x^2}\\(2)\ &(g\circ f)(x)=g(f(x))=\sin\left\{f(x)\right\}=\sin(1-x^2)\\&(f\circ g)(x)=f(g(x))=1-\left\{g(x)\right\}^2=1-\sin^2x=\cos^2x\end{align}$

위의 예제에서 일반적으로 $f\circ g\ne g\circ f$ 이다.

《문     제》

1. 함수 f, g가 아래와 같을 때 $F_1=f+g,\,F_2=f-g,\,F_3=f\cdot g,\,F_4=f/g$라 한다. $F_1(x),\,F_2(x),\,F_3(x),\,F_4(x)$를 구하라. 또한 각각의 정의역도 구하라.

$(1)\ f(x)=2x+1,\,g(x)=\sqrt{x}$

<풀이>

$\begin{align}&F_1(x)=(f+g)(x)=f(x)+g(x)=2x+\sqrt{x}+1\\&F_2(x)=(f-g)(x)=f(x)-g(x)=2x-\sqrt{x}+1\\&F_3(x)=(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)=\sqrt{x}(2x+1)\\&F_4(x)=(f/g)(x)={f(x)\over g(x)}=2\sqrt{x}+{1\over\sqrt{x}}\\&D_f=(-\infty,\,\infty),\,D_g=[0,\,\infty),\text{ 또한 }g(x)=0\text{ 일 때 }x=0\text{ 이다.}\\&\text{따라서, }D_{F1}=D_{F2}=D_{F3}=D_f\cap D_g=[0,\,\infty),\,D_{F4}=(0,\,\infty)\end{align}$

$\begin{split}(2)\ f(x)={x\over x+1},\,g(x)={1\over x}\end{split}$

<풀이>

$\begin{split}&F_1(x)=(f+g)(x)=f(x)+g(x)={x\over x+1}+{1\over x}=\frac{x^2+x+1}{x(x+1)}\\&F_2(x)=(f-g)(x)=f(x)-g(x)={x\over x+1}-{1\over x}=\frac{x^2-x-1}{x(x+1)}\\&F_3(x)=(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)={1\over x+1}\\&F_4(x)=(f/g)(x)={f(x)\over g(x)}=\frac{x^2}{x+1}\\&D_f=\{x\in R|x\ne-1\},\,D_g=\{x\in R|x\ne0\},\,D_{Fi}=\{x\in R|x\ne-1,\,x\ne0\},\,i=1,2,\cdots,4\end{split}$

$\begin{align}(3)\ f(x)={1\over\sqrt{x}},\,g(x)={1\over x^2}\end{align}$

<풀이>

$\begin{align}&F_1(x)=(f+g)(x)=f(x)+g(x)={1\over\sqrt{x}}+{1\over x^2}=\frac{x\sqrt{x}+1}{x^2}\\&F_2(x)=(f-g)(x)=f(x)-g(x)={1\over\sqrt{x}}-{1\over x^2}=\frac{x\sqrt{x}-1}{x^2}\\&F_3(x)=(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)={1\over x^2\sqrt{x}}\\&F_4(x)=(f/g)(x)={f(x)\over g(x)}={x^2\over\sqrt{x}}=x\sqrt{x}\\&D_f=[0,\,\infty),\,D_g=\{x\in R|x\ne0\},\,D_{Fi}=D_f\cap D_g=(0,\,\infty),\,i=1,2,\cdots,4\end{align}$

$\begin{align}(4)\ f(x)={ax+b\over cx+d},\,g(x)={px+q\over rx+s},\end{align}$ 단, acpr(ad-bc)(ps-qr)≠0

<풀이>

$\begin{align}&F_1(x)=(f+g)(x)=f(x)+g(x)=\frac{(ax+b)(rx+s)+(cx+d)(px+q)}{(cx+d)(dx+s)}\\&\qquad\ =\frac{(ar+cp)x^2+(as+br+cq+dp)x+bs+dq}{crx^2+(cs+dr)x+ds}\\&F_2(x)=(f-g)(x)=f(x)-g(x)=\frac{(ax+b)(rx+s)-(cx+d)(px+q)}{(cx+d)(dx+s)}\\&\qquad\ =\frac{(ar-cp)x^2+(as+br-cq-dp)x+bs-dq}{crx^2+(cs+dr)x+ds}\\&F_3(x)=(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\cdot\frac{px+q}{rx+s}=\frac{apx^2+(aq+bp)x+bq}{crx^2+(cs+dr)x+ds}\\&F_4(x)=(f/g)(x)={f(x)\over g(x)}=\frac{ax+b}{cx+d}\cdot\frac{rx+s}{px+q}=\frac{arx^2+(as+br)x+bs}{cpx^2+(cq+dp)x+dq}\\&D_f=\left\{x\in R|x\ne-{d\over c}\right\},\,D_g=\left\{x\in R|x\ne-{s\over r}\right\},\,g(x)=0\text{ 일 때 }x=-{q\over p}\\&D_{Fi }=D_f\cap D_g=\left\{x\in R|x\ne-{d\over c},\,-{s\over r}\right\},\,i=1,2,3\\&D_{F4}=\left\{x\in R|x\ne-{d\over c},\,-{s\over r},\,-{q\over p}\right\}\end{align}$

$(5)\ f(x)=1/x,\,g(x)=\sin{x}$

<풀이>

$F_1(x)=(f+g)(x)=f(x)+g(x)=1/x+\sin{x}\\F_2(x)=(f-g)(x)=f(x)-g(x)=1/x-\sin{x}\\F_3(x)=(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)=(\sin{x})/x\\F_4(x)=(f/g)(x)=f(x)/g(x)=1/(x\sin{x})\\D_f=\{x\in R|x\ne0\},\,D_g=(-\infty,\,\infty),\,g(x)=0\text{ 일 때 }x=n\pi\text{ (단, n은 정수)}\\D_{Fi}=D_f\cap D_g=\{x\in R|x\ne0\},\,i=1,2,3,\,\{x\in R|x\ne n\pi\text{ (단, n은 정수)}\}$

2. 문제 1의 각 함수에 대하여 $G_1=g\circ f,\,G_2=f\circ g$라 할 때 $G_1(x),\,G_2(x)$를 구하라. 또한 각각의 정의역도 구하라.

<풀이>

$(1)\ G_1(x)=(g\circ f)(x)=g(f(x))=\sqrt{f(x)}=\sqrt{2x+1}\\\quad\ \,G_2(x)=(f\circ g)(x)=f(g(x))=2{g(x)}+1=2\sqrt{x}+1\\\quad\ \,D_{G1}=\left[-{1\over2},\,\infty\right),\,D_{G2}=[0,\,\infty)$

$(2)\ G_1(x)=(g\circ f)(x)=g(f(x))={1\over f(x)}=1+{1\over x}\\\quad\ \,G_2(x)=(f\circ g)(x)=f(g(x))={g(x)\over g(x)+1}={1\over1+x}\\\quad\ \,D_{G1}=D_{G2}=\{x\in R|x\ne0,\,-1\}$

$(3)\ G_1(x)=(g\circ f)(x)=g(f(x))={1\over\{f(x)\}^2}=x\\\quad\ \,G_2(x)=(f\circ g)(x)=f(g(x))={1\over\sqrt{g(x)}}=x\\\quad\ \,D_{G1}=D_{G2}=(0,\,\infty)$

$(4)\ G_1(x)=(g\circ f)(x)=g(f(x))=\frac{p{f(x)}+q}{r{f(x)}+s}=\frac{(ap+cq)x+q(b+d)}{(ar+cs)x+br+ds}\\\quad\ \,G_2(x)=(f\circ g)(x)=f(g(x))=\frac{a{g(x)}+q}{c{g(x)}+d}=\frac{(ap+qr)x+q(a+s)}{(cp+dr)x+cq+ds}\\\quad\ \,D_{G1}=\left\{x\in R|x\ne-{d\over c},\,-{s\over r},\,-{ar+cs\over br+ds}\right\},\,D_{G2}=\left\{x\in R|x\ne-{d\over c},\,-{s\over r},\,-{cq+ds\over cp+dr}\right\}$

$(5)\ G_1(x)=(g\circ f)(x)=g(f(x))=\sin\{f(x)\}=\sin\left(1\over x\right)\\\quad \ \,G_2(x)=(f\circ g)(x)=f(g(x))={1\over\sin x}\\\quad\ \,D_{G1}=\{x\in R|x\ne0\},\,D_{G2}=\{x\in R|x\ne0,\,n\pi\text{(단, n은 정수)}\}$