기계공학 (Mechanical Engineering)

수열의 극한 이 존재한다는 정리를 증명하기 위해서는 실수의 완비성을 가정해야만 한다. 완비성 공리 S가 공집합이 아닌 실수의 집합일 때 (S≠ø  and S⊆ R ) S가 위로 유계 이면 상한 sup(S)는 단 한개 존재한다. S가 아래로 유계이면 하한 inf(S)는 단 한개 존재한다. [예제 1] 2보다 크고, 그 제곱이 6보다 작은 유리수 전체의 집합을 S라 할 때 sup(S), inf(S)를 구하여라. <풀이> S={x|x>2, x²<6, x는 유리수} 이므로 S의 원은 다음 식을 만족한다.\[2<x<\sqrt{6}\]분명히  S≠ø 이므로 sup(S)=√6, inf(S)=2 정리 1    유계인 단조수열 은 수렴한다. <증명> 수열 \(\{a_n\}\)이 유계인 단조증가수열이라 하자. S ≠ ø 이고 \(S=\{a_1,\,a_2,\,a_3,\,\cdots,\,a_n,\,\cdots\}\)라 놓으면 S는 유계이다. 상한을 sup(S)=a라 하면 다음과 같은 사실을 알 수 있다. (1) 모든 n에 대하여 \(a_n\le a\) (2) a 보다 작은 실수는 상계가 아니다. 따라서 임의의 ε>0에 대하여 이 수열 중에 \[a_N>a-\epsilon\] 을 만족하는 \(a_N\)이 존재한다. 또한 \(\{a_n\}\)은 단조증가이므로 \[n\ge N\ \text{이면}\ a_n\ge a_N\ \therefore\ a_n>a-\epsilon\] 위의 결과와 a는 상한이므로 \[n\ge N\ \text{이면}\ a-\epsilon<a_n\le a\] 곧, 임의의 ε>0에 대하여 \[n\ge N\ \text{이면}\ |a_n-a|<\epsilon\] 임을 알 수 있다. 따라서 \[\lim_{n\to\infty}a_n=a\] \(\{a_n\}\)이 단조감소이고 하한이 b라고 하면 같은 방법으로 다음을 증명할 수 있다. \[\lim_{n\to\infty}a

수열  \(\{a_n\}\)이 극한값 a를 가질 때 a 에 수렴한다고 하고 \(\{a_n\}\)을 수렴수열 이라 한다. 수열이 극한값을 갖지 않을 때 발산 한다고 하고 \(\{a_n\}\)을 발산수열 이라 한다. [예제 1] \(a_n=(-1)^n+{1\over2^n}\)으로 정의된 수열의 수렴, 발산을 조사하여라. <풀이> n이 홀수면 \(a_n=-1+{1\over2^n}\) n이 짝수면 \(a_n=\ \ \ 1+{1\over2^n}\) 따라서 n→∞ 일 때 짝수번째 항은 1에 근접하고 홀수번째 항은 -1에 근접한다. 요컨데 ε=0.5를 택하면 어떠한 자연수 N을 택해도 N번째 이후 항 \(a_n\)에 대하여 \(|a_n-a|<\epsilon\)으로 되는 a는 존재하지 않는다. 따라서 \(\{a_n\}\)은 수렴하지 않는다. 위의 예제에서 모든 자연수 n에 대하여 \[|a_n|\le1+{1\over4}={5\over4}\] 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 n에 대하여 \(|a_n|\le A\)(양수) 일 때 유계 라고 한다. 예제 1의 수열은 A=5/4 이므로 유계이다. 항의 수가 유한(N항) 일 때는 \(|a_1|,\,|a_2|,\,\cdots,\,|a_N|\) 중에서 최대인 것은 A라 하면 \(|a_N|\le A,\,n=1,\,2,\,\cdots,\,N\) 이므로 유한수열은 유계이다. 무한수열이 유계가 아닐 때는 n→∞ 일 때 \(|a_n|\to\infty\)로 나타낸다. 특히 \[\begin{align}a_n>0\ \text{이고}\ |a_n|\to\infty\ \text{일 때에는}\ a_n\to\infty\\a_n<0\ \text{이고}\ |a_n|\to\infty\ \text{일 때에는}\ a_n\to\infty\end{align}\] 로 쓰고 각각 양 또는 음의 무한대로 발산한다고 한다. 정리 1    수렴수열은 유계이다. <증명> \(\begin{align}\lim_

명제 P가 다음 두 조건을 만족한다고 하자. ● P(1)이 성립한다. ● n∈N(자연수 전체의 집합)에 대하여 P(n)이 성립하면, P(n+1) 역시 성립한다. 그러면 모든 n∈N에 대하여 P(n)이 성립한다. 이 공리(公理)를 수학적 귀납법 이라 한다. [예제 1] 자연수의 합의 공식 \[1+2+3+\cdots+n={n(n+1)\over2}\] 이 임의의 자연수 n에 대하여 성립함을 증명하여라. <증명> n에 대하여 성립한다면 \(1+2+3+\cdots+n={n(n+1)\over2}\) 이다. n=1에 대하여 \(1={(1)(1+1)\over2}=1\) 이므로 자명하게 성립한다. 양변에 n+1을 더하면 \(1+2+3+\cdots+n+(n+1)={n^2+3n+2\over2}={(n+1)(n+2)\over2}\) 이므로 역시 성립한다. 수학적 귀납법에 따라 임의의 n∈N에 대하여도 성립한다. [예제 2] k≥2인 자연수 k에 대하여 다음 부등식 \(k!\ge2^{k-1}\)이 성립함을 증명하여라. <증명> k=2 일 때 \(2!=2^1\) 이므로 명백히 성립한다. k 일 때 성립한다고 가정하면 \((k+1)!=k!(k+1)\ge2^{k-1}(k+1)>2^k\) 이므로 역시 성립한다. 수학적 귀납법에 따라 k≥2인 임의의 자연수 k에 대하여도 성립한다. [예제 3] 자연수의 제곱합의 공식 \[1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2={n(n+1)(2n+1)\over6}\] 이 임의의 자연수 n에 대하여 성립함을 증명하여라. <증명> n=1 에 대하여 \(1^2={(1)(1+1)(2\cdot1+1)\over6}=1\) 이므로 자명하게 성립한다. n에 대하여 성립한다면 \(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2={n(n+1)(2n+1)\over6}\) 이다. 양변에 \((n+1)^2\)을 더하면 \(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2+(n+1)^2={n(n+1)(2n+1)\over6}+(n+1)^2={(n+1)(n+