수열의 유계성ㆍ단조성과 극한

수열 $\{a_n\}$이 극한값 a를 가질 때 a에 수렴한다고 하고 $\{a_n\}$을 수렴수열이라 한다. 수열이 극한값을 갖지 않을 때 발산한다고 하고 $\{a_n\}$을 발산수열이라 한다.

[예제 1] $a_n=(-1{)}^n+\frac{1}{2^n}$으로 정의된 수열의 수렴, 발산을 조사하여라.

<풀이>

n이 홀수면 $a_n=-1+\frac{1}{2^n}$
n이 짝수면 $a_n=1+\frac{1}{2^n}$

따라서 n→∞ 일 때 짝수번째 항은 1에 근접하고 홀수번째 항은 -1에 근접한다. 요컨데 ε=0.5를 택하면 어떠한 자연수 N을 택해도 N번째 이후 항 $a_n$에 대하여 $|a_n-a|<ϵ$으로 되는 a는 존재하지 않는다. 따라서 $\{a_n\}$은 수렴하지 않는다.

위의 예제에서 모든 자연수 n에 대하여
$$|a_n|\le 1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$
수열 $\{a_n\}$이 모든 n에 대하여 $|a_n|\le A$(양수) 일 때 유계라고 한다. 예제 1의 수열은 A=5/4 이므로 유계이다.
항의 수가 유한(N항) 일 때는 $|a_1|,|a_2|,\cdots ,|a_N|$ 중에서 최대인 것은 A라 하면 $|a_N|\le A,n=1,2,\cdots ,N$ 이므로 유한수열은 유계이다.

무한수열이 유계가 아닐 때는 n→∞ 일 때 $|a_n|\to \mathrm{\infty }$로 나타낸다. 특히

$$\begin{array}{r}{a}_n>0\text{이고}|a_n|\to \mathrm{\infty }\text{일 때에는}{a}_n\to \mathrm{\infty }\\ a_n<0\text{이고}|a_n|\to \mathrm{\infty }\text{일 때에는}{a}_n\to \mathrm{\infty }\end{array}$$

로 쓰고 각각 양 또는 음의 무한대로 발산한다고 한다.

정리 1   수렴수열은 유계이다.

<증명> $\begin{array}{r}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a\end{array}$라고 하자. ε=1에 대하여 자연수 N이 존재하여 n≥N 이면 $|a_n-a|<1$. 곧, $a-1<a_n<a+1\therefore |a_n|<|a|+1(n\ge N)$

이제 $|a_1|,|a_2|,\cdots ,|a_{N-1}|,|a|+1$ 중에서 최대인 것을 A라고 하면 모든 n에 대하여 $|a_n|\le A$ 이다.

∴ 수열 $\{a_n\}$은 유계이다.

[주의] 예제 1에 의하여 이 정리의 역은 성립하지 않는다.

정리 2   수열 $\{a_n\}$이 수렴하면 그 극한값은 유일하다.

<증명> $\begin{array}{r}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=b,a\ne b\end{array}$라고 가정하자.
수열 $\{a_n\}$이 a, b에서 수렴하므로 $ϵ=\frac{|a-b|}{2}>0$에 대하여 다음을 만족하는 두 자연수 $N_1,N_2$가 존재한다.

$$\begin{array}{r}n\ge N_1\text{이면}|a_n-a|<ϵ\\ n\ge N_2\text{이면}|a_n-b|<ϵ\end{array}$$

이제 $N_1,N_2$ 중에서 최대인 것을 N이라 하면 n≥N 인 자연수 n은 위의 두 부등식을 만족해야 한다. 따라서

$$|a-b|=|a-a_n+a_n-b|\le |a-a_n|+|a_n-b|<2ϵ=|a-b|$$

로 되어 모순이다. 따라서 a=b 이어야 한다. 곧 극한값은 단 한개뿐이다.

정리 1, 2의 대우는 수열의 발산조건이다. 수열 $\{a_n\}$은 다음 경우에 발산한다.
(1) 임의의 양수 A에 대하여 $|a_n|>A$를 만족하는 $a_n$이 존재한다.
(2) 무한히 많은 점이 밀집되어 있는 장소가 2개 이상이다. 이 경우 수열은 진동한다고 한다.

공집합이 아닌 실수 집합 S의 임의의 원 x에 대하여 x≤M을 만족하는 실수 M이 존재하면 S는 위로 유계라 하고 M을 집합 S의 상계라 한다. M이 S의 상계이면 M 보다 큰 실수는 S의 상계이다. 또한, S의 임의의 원 x에 대하여 L≤x를 만족하는 실수 L이 존재하면 S는 아래로 유계라 하고 L을 집합 S의 하계라 한다. L이 S의 하계이면 L 보다 작은 실수는 S의 하계이다.

위로도 아래로도 유계이면 그 집합은 유계라 한다.

[예제 2] $a_n=\frac{2n+5}{n+2}$로 정의된 수열 $\{a_n\}$은 유계이다.

<풀이> $a_n=2+\frac{1}{n+2}$ 이다. 모든 자연수 n에 대하여

$$0<\frac{1}{n+2}<1\text{이므로}2<2+\frac{1}{n+2}<3$$

따라서 임의의 자연수 n에 대하여 $2<\{a_n\}<3$ 이므로 $\{a_n\}$은 유계이다.

공집합이 아닌 실수의 집합 S가 위로 유계일 때 S의 임의의 상계를 M'라 하면 M≤M'인 상계 M을 S의 상한이라 하고 기호로

M=sup(S)

로 나타낸다.

또한, S가 아래로 유계일 때 S의 임의의 하계를 L'라 하면 L'≤L인 하계 L을 S의 하한이라 하고 기호로

L=inf(S)

로 나타낸다.

[예제 3] $a_n={\displaystyle \frac{2n+1}{n+3}}$로 정의된 수열 $\{a_n\}$에서 $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\}$ 및 $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\}$을 구하여라.

<풀이> $a_n=2-{\displaystyle \frac{5}{n+3}}<2.$ 또한 $\begin{array}{r}\frac{5}{n+3}>0,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{5}{n+3}<2\end{array}$ 이므로 $a_n$은 작은 쪽에서 2에 가까이 간다. 따라서 ε>0에 대하여 A=2-ε 이면 $n>{\displaystyle \frac{5}{ϵ}}-3$을 만족하는 자연수 n을 택하면
$$a_n-A=ϵ-\frac{5}{n+3}>0$$

이다.

따라서 2 이상의 수는 $\{a_n\}$의 상계이므로 $M=\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\}=2.$
또한 $a_1<a_2<\cdots <a_n<\cdots$ 이므로 $a_1$ 이하의 수는 $\{a_n\}$의 하계이다. $\therefore L=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\}={\mathrm{a}}_1=\frac{3}{4}$

수열 $\{a_n\}$에서 모든 n에 대하여 $a_n\le a_n+1$이면 $\{a_n\}$은 단조증가라 하고, 모든 n에 대하여 $a_n\ge a_n+1$이면 단조감소라 한다. 단조등가 또는 단조감소인 수열을 단조라 한다.

[예제 4] 수열 $\{a_n\}$은 $a_1=1$ 이고 n≥2 일 때
$$a_n=a_{n-1}+\frac{1}{(n-1)!}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{(n-1)!}$$

이다. $\{a_n\}$은 단조증가이고 유계임을 보여라.

<풀이> n≥2 일 때 $a_n=a_{n-1}+\frac{1}{(n-1)!}>a_{n-1}$ 이므로 $\{a_n\}$은 단조증가이다. 또한
$$\begin{array}{rl}{a}_n& =1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{(n-1)!}\\ & \le 1+\frac{1}{2^0}+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-2}}\\ & =1+\frac{1-(\frac{1}{2}{)}^{n-1}}{1-\frac{1}{2}}=3-\frac{1}{2^{n-2}}<3\end{array}$$
따라서 $1\le a_n<3$ 이므로 $\{a_n\}$은 유계이다.

위의 예제에서 등비수열의 합은 링크를 참조한다.

《문     제》

1. 수열 $\{a_n\}$이 단조증가이면 아래로 유계이고, 단조감소이면 위로 유계임을 보여라.

<풀이> 수열 $\{a_n\}$이 단조증가이면 모든 n에 대하여 $a_n\le a_{n+1}$ 이므로 $a_1\le a_2\le a_3\le \cdots \le a_n$ 이다.
따라서 모든 n에 대하여 $a_1\le a_n$ 이다. 곧, 수열 $\{a_n\}$은 아래로 유계이다.

단조감소일 때도 같은 방법으로 모든 n에 대하여 $a_n\le a_{n+1}$ 이므로 $a_1\ge a_2\ge a_3\ge \cdots \ge a_n$ 이다.

따라서 모든 n에 대하여 $a_1\ge a_n$ 이다. 곧, 수열 $a_n$은 위로 유계이다.

2. 수열 $\{a_n\}$이 단조증가이고, 단조감소이면 $\{a_n\}$은 상수수열 $(a_1=a_2=a_3=\cdots =a_n=\cdots )$임을 보여라.

<풀이> 수열 $\{a_n\}$이 단조증가이고 단조감소이므로 $a_n\le a_{n+1}$ 이고 $a_n\ge a_{n+1}$ 이다.
따라서 동시에 두 조건을 만족하려면 $a_n=a_{n+1}$ 이어야 한다. 곧, 수열 $\{a_n\}$은 상수수열이다.

3. $a_n$이 다음 각 식으로 정의된 수열 $\{a_n\}$의 유계성을 조사하여라.
$$(1)a_n=\frac{2n+3}{n+1}(2)a_n=\frac{3n^2+n+1}{n^2}(3)a_n=r^n$$

<풀이>
(1) $a_n=2+\frac{1}{n+1}$ 이고, 모든 자연수 n에 대하여 $0<\frac{1}{n+1}<1$ 이다.

따라서 $2<2+\frac{1}{n+1}=a_n<3$ 이므로 유계이다.

(2) $a_n=3+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}$ 이고, 모든 자연수 n에 대하여 $0<\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\le 2$ 이므로 \(3<a_n

le5\) 이다. 따라서 유계이다.

(3) |r|≤1 일 때 모든 자연수 n에 대하여 $|r^n|=|a_n|\le 1$ 이므로 유계이다.

      |r|>1 일 때 $\begin{array}{r}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}^n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\pm \mathrm{\infty }\end{array}$ 이므로 발산한다. 따라서 유계가 아니다.

4. 수열 $\{a_n\},\{b_n\}$이 다음과 같이 정의되어 있다.
$$\begin{array}{rl}{a}_n& =\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{1}{n\cdot (n+1)}\\ b_n& =\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots +\frac{1}{(n+1{)}^2}\end{array}$$
수열 $\{a_n\},\{b_n\}$은 유계임을 증명하여라.

<풀이>
$a_n=a_{n-1}+\frac{1}{n(n+1)}>a_{n-1}$ 이므로 단조증가이다. 또한

$a_n=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{1}{n\cdot (n+1)}\le \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 2\cdot 2}+\cdots +\frac{1}{1\cdot 2^n}$

$=\frac{\frac{1}{2}\{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\}}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}<1$ 이다. 따라서 $\frac{1}{2}\le a_n<1$ 이므로 수열 $\{a_n\}$은 유계이다.

$b_n=b_{n-1}+\frac{1}{(n+1{)}^2}>b_{n-1}$ 이므로 단조증가이다. 또한

$b_n=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots +\frac{1}{(n+1{)}^2}<\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{1}{n\cdot (n+1)}<1$ 이므로 $\frac{1}{4}\le b_n<1$ 이다. 따라서 수열 $\{b_n\}$은 유계이다.