수열의 유계성ㆍ단조성과 극한

수열 \(\{a_n\}\)이 극한값 a를 가질 때 a에 수렴한다고 하고 \(\{a_n\}\)을 수렴수열이라 한다. 수열이 극한값을 갖지 않을 때 발산한다고 하고 \(\{a_n\}\)을 발산수열이라 한다.

[예제 1] \(a_n=(-1)^n+{1\over2^n}\)으로 정의된 수열의 수렴, 발산을 조사하여라.

<풀이>

n이 홀수면 \(a_n=-1+{1\over2^n}\)
n이 짝수면 \(a_n=\ \ \ 1+{1\over2^n}\)

따라서 n→∞ 일 때 짝수번째 항은 1에 근접하고 홀수번째 항은 -1에 근접한다. 요컨데 ε=0.5를 택하면 어떠한 자연수 N을 택해도 N번째 이후 항 \(a_n\)에 대하여 \(|a_n-a|<\epsilon\)으로 되는 a는 존재하지 않는다. 따라서 \(\{a_n\}\)은 수렴하지 않는다.

위의 예제에서 모든 자연수 n에 대하여
\[|a_n|\le1+{1\over4}={5\over4}\]
수열 \(\{a_n\}\)이 모든 n에 대하여 \(|a_n|\le A\)(양수) 일 때 유계라고 한다. 예제 1의 수열은 A=5/4 이므로 유계이다.
항의 수가 유한(N항) 일 때는 \(|a_1|,\,|a_2|,\,\cdots,\,|a_N|\) 중에서 최대인 것은 A라 하면 \(|a_N|\le A,\,n=1,\,2,\,\cdots,\,N\) 이므로 유한수열은 유계이다.

무한수열이 유계가 아닐 때는 n→∞ 일 때 \(|a_n|\to\infty\)로 나타낸다. 특히

\[\begin{align}a_n>0\ \text{이고}\ |a_n|\to\infty\ \text{일 때에는}\ a_n\to\infty\\a_n<0\ \text{이고}\ |a_n|\to\infty\ \text{일 때에는}\ a_n\to\infty\end{align}\]

로 쓰고 각각 양 또는 음의 무한대로 발산한다고 한다.

정리 1   수렴수열은 유계이다.

<증명> \(\begin{align}\lim_{n\to\infty}a_n=a\end{align}\)라고 하자. ε=1에 대하여 자연수 N이 존재하여 n≥N 이면 \(|a_n-a|<1\). 곧, \(a-1<a_n<a+1\ \therefore|a_n|<|a|+1(n\ge N)\)

이제 \(|a_1|,\,|a_2|,\,\cdots,\,|a_{N-1}|,\,|a|+1\) 중에서 최대인 것을 A라고 하면 모든 n에 대하여 \(|a_n|\le A\) 이다.

∴ 수열 \(\{a_n\}\)은 유계이다.

[주의] 예제 1에 의하여 이 정리의 역은 성립하지 않는다.

정리 2   수열 \(\{a_n\}\)이 수렴하면 그 극한값은 유일하다.

<증명> \(\begin{align}\lim_{n\to\infty}a_n=a,\,\lim_{n\to\infty}a_n=b,\,a\ne b\end{align}\)라고 가정하자.
수열 \(\{a_n\}\)이 a, b에서 수렴하므로 \(\epsilon={|a-b|\over2}>0\)에 대하여 다음을 만족하는 두 자연수 \(N_1,\,N_2\)가 존재한다.

\[\begin{align}n\ge N_1\ \text{이면}\ |a_n-a|<\epsilon\\n\ge N_2\ \text{이면}\ |a_n-b|<\epsilon\end{align}\]

이제 \(N_1,\,N_2\) 중에서 최대인 것을 N이라 하면 n≥N 인 자연수 n은 위의 두 부등식을 만족해야 한다. 따라서

\[|a-b|=|a-a_n+a_n-b|\le|a-a_n|+|a_n-b|<2\epsilon=|a-b|\]

로 되어 모순이다. 따라서 a=b 이어야 한다. 곧 극한값은 단 한개뿐이다.

정리 1, 2의 대우는 수열의 발산조건이다. 수열 \(\{a_n\}\)은 다음 경우에 발산한다.
(1) 임의의 양수 A에 대하여 \(|a_n|>A\)를 만족하는 \(a_n\)이 존재한다.
(2) 무한히 많은 점이 밀집되어 있는 장소가 2개 이상이다. 이 경우 수열은 진동한다고 한다.

공집합이 아닌 실수 집합 S의 임의의 원 x에 대하여 x≤M을 만족하는 실수 M이 존재하면 S는 위로 유계라 하고 M을 집합 S의 상계라 한다. M이 S의 상계이면 M 보다 큰 실수는 S의 상계이다. 또한, S의 임의의 원 x에 대하여 L≤x를 만족하는 실수 L이 존재하면 S는 아래로 유계라 하고 L을 집합 S의 하계라 한다. L이 S의 하계이면 L 보다 작은 실수는 S의 하계이다.

위로도 아래로도 유계이면 그 집합은 유계라 한다.

[예제 2] \(a_n=\frac{2n+5}{n+2}\)로 정의된 수열 \(\{a_n\}\)은 유계이다.

<풀이> \(a_n=2+{1\over n+2}\) 이다. 모든 자연수 n에 대하여

\[0<{1\over n+2}<1\ \text{이므로}\ 2<2+{1\over n+2}<3\]

따라서 임의의 자연수 n에 대하여 \(2<\{a_n\}<3\) 이므로 \(\{a_n\}\)은 유계이다.

공집합이 아닌 실수의 집합 S가 위로 유계일 때 S의 임의의 상계를 M'라 하면 M≤M'인 상계 M을 S의 상한이라 하고 기호로

M=sup(S)

로 나타낸다.

또한, S가 아래로 유계일 때 S의 임의의 하계를 L'라 하면 L'≤L인 하계 L을 S의 하한이라 하고 기호로

L=inf(S)

로 나타낸다.

[예제 3] \(a_n=\dfrac{2n+1}{n+3}\)로 정의된 수열 \(\{a_n\}\)에서 \(\rm{sup}\{a_n\}\) 및 \(\rm{inf}\{a_n\}\)을 구하여라.

<풀이> \(a_n=2-\dfrac{5}{n+3}<2.\) 또한 \(\begin{align}{5\over n+3}>0,\,\lim_{n\to\infty}{5\over n+3}<2\end{align}\) 이므로 \(a_n\)은 작은 쪽에서 2에 가까이 간다. 따라서 ε>0에 대하여 A=2-ε 이면 \(n>\dfrac{5}{\epsilon}-3\)을 만족하는 자연수 n을 택하면
\[a_n-A=\epsilon-{5\over n+3}>0\]

이다.

따라서 2 이상의 수는 \(\{a_n\}\)의 상계이므로 \(M=\rm{sup}\{a_n\}=2.\)
또한 \(a_1<a_2<\cdots<a_n<\cdots\) 이므로 \(a_1\) 이하의 수는 \(\{a_n\}\)의 하계이다. \(\therefore\ L=\rm{inf}\{a_n\}=a_1={3\over4}\)

수열 \(\{a_n\}\)에서 모든 n에 대하여 \(a_n\le a_n+1\)이면 \(\{a_n\}\)은 단조증가라 하고, 모든 n에 대하여 \(a_n\ge a_n+1\)이면 단조감소라 한다. 단조등가 또는 단조감소인 수열을 단조라 한다.

[예제 4] 수열 \(\{a_n\}\)은 \(a_1=1\) 이고 n≥2 일 때
\[a_n=a_{n-1}+{1\over(n-1)!}=1+{1\over1!}+{1\over2!}+{1\over3!}+\cdots+{1\over(n-1)!}\]

이다. \(\{a_n\}\)은 단조증가이고 유계임을 보여라.

<풀이> n≥2 일 때 \(a_n=a_{n-1}+{1\over(n-1)!}>a_{n-1}\) 이므로 \(\{a_n\}\)은 단조증가이다. 또한
\[\begin{align}a_n&=1+{1\over1!}+{1\over2!}+{1\over3!}+\cdots+{1\over(n-1)!}\\&\le1+{1\over2^0}+{1\over2^1}+{1\over2^2}+\cdots+{1\over2^{n-2}}\\&=1+{1-({1\over2})^{n-1}\over1-{1\over2}}=3-{1\over2^{n-2}}<3\end{align}\]
따라서 \(1\le a_n<3\) 이므로 \(\{a_n\}\)은 유계이다.

위의 예제에서 등비수열의 합은 링크를 참조한다.

《문     제》

1. 수열 \(\{a_n\}\)이 단조증가이면 아래로 유계이고, 단조감소이면 위로 유계임을 보여라.

<풀이> 수열 \(\{a_n\}\)이 단조증가이면 모든 n에 대하여 \(a_n\le a_{n+1}\) 이므로 \(a_1\le a_2\le a_3\le\cdots\le a_n\) 이다.
따라서 모든 n에 대하여 \(a_1\le a_n\) 이다. 곧, 수열 \(\{a_n\}\)은 아래로 유계이다.

단조감소일 때도 같은 방법으로 모든 n에 대하여 \(a_n\le a_{n+1}\) 이므로 \(a_1\ge a_2\ge a_3\ge\cdots\ge a_n\) 이다.

따라서 모든 n에 대하여 \(a_1\ge a_n\) 이다. 곧, 수열 \({a_n}\)은 위로 유계이다.

2. 수열 \(\{a_n\}\)이 단조증가이고, 단조감소이면 \(\{a_n\}\)은 상수수열 \((a_1=a_2=a_3=\cdots=a_n=\cdots)\)임을 보여라.

<풀이> 수열 \(\{a_n\}\)이 단조증가이고 단조감소이므로 \(a_n\le a_{n+1}\) 이고 \(a_n\ge a_{n+1}\) 이다.
따라서 동시에 두 조건을 만족하려면 \(a_n=a_{n+1}\) 이어야 한다. 곧, 수열 \(\{a_n\}\)은 상수수열이다.

3. \(a_n\)이 다음 각 식으로 정의된 수열 \(\{a_n\}\)의 유계성을 조사하여라.
\[(1)\ a_n={2n+3\over n+1}\qquad(2)\ a_n={3n^2+n+1\over n^2}\qquad(3)\ a_n=r^n\]

<풀이>
(1) \(a_n=2+{1\over n+1}\) 이고, 모든 자연수 n에 대하여 \(0<{1\over n+1}<1\) 이다.

따라서 \(2<2+{1\over n+1}=a_n<3\) 이므로 유계이다.

(2) \(a_n=3+{1\over n}+{1\over n^2}\) 이고, 모든 자연수 n에 대하여 \(0<{1\over n}+{1\over n^2}\le2\) 이므로 \(3<a_n

le5\) 이다. 따라서 유계이다.

(3) |r|≤1 일 때 모든 자연수 n에 대하여 \(|r^n|=|a_n|\le1\) 이므로 유계이다.

      |r|>1 일 때 \(\begin{align}\lim_{n\to\infty}r^n=\lim_{n\to\infty}a_n=\pm\infty\end{align}\) 이므로 발산한다. 따라서 유계가 아니다.

4. 수열 \(\{a_n\},\,\{b_n\}\)이 다음과 같이 정의되어 있다.
\[\begin{align}a_n&={1\over1\cdot2}+{1\over2\cdot3}+{1\over3\cdot4}+\cdots+{1\over  n\cdot(n+1)}\\b_n&={1\over2^2}+{1\over3^2}+{1\over4^2}+\cdots+{1\over(n+1)^2}\end{align}\]
수열 \(\{a_n\},\,\{b_n\}\)은 유계임을 증명하여라.

<풀이>
\(a_n=a_{n-1}+{1\over n(n+1)}>a_{n-1}\) 이므로 단조증가이다. 또한

\(a_n={1\over1\cdot2}+{1\over2\cdot3}+{1\over3\cdot4}+\cdots+{1\over n\cdot(n+1)}\le{1\over1\cdot2}+{1\over1\cdot2\cdot2}+{1\over1\cdot2\cdot2\cdot2}+\cdots+{1\over1\cdot2^n}\)

\(\ \ \ \ ={{1\over2}\left\{1-\left({1\over2}\right)^n\right\}\over1-{1\over2}}=1-{1\over2^n}<1\) 이다. 따라서 \({1\over2}\le a_n<1\) 이므로 수열 \(\{a_n\}\)은 유계이다.

\(b_n=b_{n-1}+{1\over(n+1)^2}>b_{n-1}\) 이므로 단조증가이다. 또한

\(b_n={1\over2^2}+{1\over3^2}+{1\over4^2}+\cdots+{1\over(n+1)^2}<{1\over1\cdot2}+{1\over2\cdot3}+{1\over3\cdot4}+\cdots+{1\over n\cdot(n+1)}<1\) 이므로 \({1\over4}\le b_n<1\) 이다. 따라서 수열 \(\{b_n\}\)은 유계이다.