실수의 완비성

수열의 극한이 존재한다는 정리를 증명하기 위해서는 실수의 완비성을 가정해야만 한다.

완비성 공리

S가 공집합이 아닌 실수의 집합일 때 (S≠ø and S⊆R)
S가 위로 유계이면 상한 sup(S)는 단 한개 존재한다.

S가 아래로 유계이면 하한 inf(S)는 단 한개 존재한다.

[예제 1] 2보다 크고, 그 제곱이 6보다 작은 유리수 전체의 집합을 S라 할 때 sup(S), inf(S)를 구하여라.

<풀이> S={x|x>2, x²<6, x는 유리수} 이므로 S의 원은 다음 식을 만족한다.$$2<x<\sqrt{6}$$분명히 S≠ø 이므로 sup(S)=√6, inf(S)=2

정리 1   유계인 단조수열은 수렴한다.

<증명> 수열 $\{a_n\}$이 유계인 단조증가수열이라 하자.

S≠ø 이고 $S=\{a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n,\cdots \}$라 놓으면 S는 유계이다. 상한을 sup(S)=a라 하면 다음과 같은 사실을 알 수 있다.

(1) 모든 n에 대하여 $a_n\le a$
(2) a 보다 작은 실수는 상계가 아니다.
따라서 임의의 ε>0에 대하여 이 수열 중에

$$a_N>a-ϵ$$

을 만족하는 $a_N$이 존재한다. 또한 $\{a_n\}$은 단조증가이므로

$$n\ge N\text{이면}{a}_n\ge a_N\therefore a_n>a-ϵ$$

위의 결과와 a는 상한이므로

$$n\ge N\text{이면}a-ϵ<a_n\le a$$

곧, 임의의 ε>0에 대하여

$$n\ge N\text{이면}|a_n-a|<ϵ$$

임을 알 수 있다. 따라서

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$$

$\{a_n\}$이 단조감소이고 하한이 b라고 하면 같은 방법으로 다음을 증명할 수 있다.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=b$$

수열 $a_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{(n-1)!},n=1,2,3,\cdots$

은 「수열의 유계성ㆍ단조성과 극한」 글 예제4에 의하여 유계인 단조증가 수열이다. 정리 1에 따라 $\{a_n\}$은 수렴한다. 이 극한값을 아래와 같이 e로 나타낸다.

$$\begin{array}{rl}e& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{(n-1)!}\}\\ & =1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{n!}+\cdots =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}(\text{단},0!=1)\\ & =2.71828182845\cdots \end{array}$$

예제 4의 결과로부터 e<3 이다. e는 무리수이고 오일러(Euler)의 수라고 불리운다.

[예제 2] $a_1=1,a_n=\sqrt{2+a_{n-1}},n=2,3,4,\cdots$ 일 때 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$을 구하여라.

<풀이> $a_2=\sqrt{2+a_1}=\sqrt{3}>a_1$ 또한, $a_n>a_{n-1}$라고 가정하면

$a_{n+1}-a_n=\sqrt{2+a_n}-\sqrt{2+a_{n-1}}={\displaystyle \frac{a_n-a_{n-1}}{\sqrt{2+a_n}+\sqrt{2+a_{n-1}}}}>0$

따라서 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 n에 대하여 $a_{n+1}>a_n$ 이므로 수열 $\{a_n\}$은 단조증가수열이다.

또한, $a_1=1<2$ 이고 $a_n<2$ 라고 하면

$2-a_{n+1}=2-\sqrt{2+a_n}={\displaystyle \frac{2-a_n}{2+\sqrt{2+a_n}}}>0$

곧, $a_{n+1}<2$ 이므로 수학적 귀납법에 의해서 임의의 자연수 n에 대하여 $a_n<2$. 따라서 이 수열은 유계이다.

정리 1에 의하여 극한값 l이 존재하므로 다음 식이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n^2=l^2=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(2+a_{n-1})=2+l\\ & \therefore l^2-l-2=(l-2)(l+1)=0\\ & a_n>0\text{이므로}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=l=2\end{array}$$

[예제 3] $a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n},n=1,2,3,\cdots$은 발산함을 보여라.

<풀이> $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n+1}>a_n$ 이므로 단조증가이다

$n=2^m$인 항들을 생각해 본다.

$a_1=1$

$a_2=1+\frac{1}{2}$

$a_4=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{4}+\frac{1}{4})=1+\frac{2}{2}$

$a_8=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}>1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{4}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8})=1+\frac{3}{2}$

$\cdots$

$a_n=1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})+\cdots +(\frac{1}{2^{m-1}+1}+\frac{1}{2^{m-1}+2}+\cdots +\frac{1}{2^m})>1+\frac{m}{2}$

따라서 m→∞ 일 때 $a_n\to \mathrm{\infty }$ 이므로 $\{a_n\}$은 유계가 아니다. 그러므로 이 수열은 발산한다.

정리 2   세 수열 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$이 $$a_n\le b_n\le c_n,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{c}_n=l$$을 만족하면 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=l$.

<증명> 조건에 의하여 임의의 ε>0에 대하여 자연수 $N_1,N_2$가 존재하여

$$\begin{array}{r}n\ge N_1\text{이면}|a_n-l|<ϵ\\ n\ge N_2\text{이면}|c_n-l|<ϵ\end{array}$$

$N=max\{N_1,N_2\}$라 하면 n≥N 일 때 $l-ϵ<a_n<l+ϵ,l-ϵ<c_n<l+ϵ$.

따라서 $l-ϵ<a_n\le b_n\le c_n<l+ϵ$. 이것은 임의의 ε>0에 대하여 N이 존재하여 n≥N 이면 $|b_n-l|<ϵ$을 의미하므로

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=l$$

[예제 4] n이 양의 정수일 때 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{n}=1$ 임을 증명하여라.

<증명> $\sqrt[n]{n}=1+h(h\ge 0)$으로 놓으면

이항 정리에 의하여

$n=(1+h{)}^n=1+nh+\frac{n(n-1)}{2}{h}^2+\cdots +h^n\ge \frac{n(n-1)}{2}{h}^2(n\ge 2)\therefore h^2\le \frac{2}{n-1}$

$h\ge 0$ 이므로 $0\le h=\sqrt[n]{n}-1\le \sqrt{\frac{2}{n-1}}(n\ge 2)$. 그런데 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{\frac{2}{n-1}}=0$ 이므로

정리 2에 의하여 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{n}-1=0\therefore \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{n}=1$.

[예제 5] 수열 $\{a_n\}$이 a에 수렴하면 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}(a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n)=a$ 임을 증명하여라.

<증명> 가정에 의하여 임의의 ${ϵ}_1>0$에 대하여 자연수 N이 존재하여 n≥N 이면 $|a_n-a|<{ϵ}_1$. 한편

$|a_n-a|=|\frac{1}{n}(a_1+a_2+\cdots +a_n)-a|=\frac{1}{n}|a_1+a_2+\cdots +a_n-na|$

$=\frac{1}{n}|(a_1-a)+(a_2-a)+\cdots +(a_N-a)+(a_{N+1}-a)+\cdots +(a_n-a)|$

$\le \frac{1}{n}\{|a_1-a|+|a_2-a|+\cdots +|a_N-a|\}+\frac{1}{n}\{|a_{N+1}-a|+\cdots +|a_n-a|\}$

$<\frac{1}{n}\{|a_1-a|+|a_2-a|+\cdots +|a_N-a|\}+\frac{n-N}{n}{ϵ}_1$

따라서 임의의 ε>0에 대하여 $\frac{1}{n}\{|a_1-a|+|a_2-a|+\cdots +|a_N-a|\}<\frac{ϵ}{2}$, $\frac{n-N}{n}{ϵ}_1<\frac{ϵ}{2}$가 되도록 자연수 N을 택하면 n≥N 일 때

$|\frac{1}{n}(a_1+a_2+\cdots +a_n)-a|<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ\therefore \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(a_1+a_2+\cdots +a_n)=a$

[예제 6] n을 양의 정수라 할 때 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n=e$ 임을 증명하여라.

<증명> $a_n=(1+1/n{)}^n$으로 놓고 이항정리에 따라 전개하면

$a_n={(1+\frac{1}{n})}^n$

$=1+n\cdot \frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}{\left(\frac{1}{n}\right)}^2+\cdots +\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}{\left(\frac{1}{n}\right)}^k+\cdots +\frac{n!}{n!}\left(\frac{1}{n}\right)$

$=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\cdots +\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})+\cdots$

$+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})\cdots (1-\frac{n-1}{n})$

동일한 방법으로

$a_{n+1}={(1+\frac{1}{n})}^{n+1}$

$=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n+1})+\cdots +\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n+1})\cdots (1-\frac{k-1}{n+1})+\cdots$

$+\frac{1}{(n+1)!}(1-\frac{1}{n+1})\cdots (1-\frac{n}{n+1})$

위의 두식에서 k+1 번째 항을 비교하면 $a_n<a_{n+1}$ 이므로 수열 $\{a_n\}$은 단조증가수열이다. $a_n$의 전개식과 수학적 귀납법으로부터 $k!\ge 2^{k-1}(k\ge 2)$ 이므로

$(1)a_n<1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{k!}+\cdots +\frac{1}{n!}\le 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}$

$<1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=3$

따라서 $\{a_n\}$은 유계이므로 이 수열은 수렴한다.

앞선 식에서 k 대신에 p>2를 대입하고 고정하면 n>p 일 때

$a_n>1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\cdots +\frac{1}{p!}(1-\frac{1}{n})\cdots (1-\frac{p-1}{n})$ 이므로

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\ge 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{p!}\ge e$

또한 식 (1)로부터 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{n!})=e\therefore \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=e$ 

--- under construction ---