나사의 역학

나사의 회전력과 토오크

(1) 4각나사

아래 그림과 같이 나사를 돌려서 고정한다는 것은 물체를 나사면에 따라 밀어 올리는 것과 같다. 나사를 돌리는 힘을 P, 측방향으로 가해진 힘을 Q라 하면 이 힘들을 나사면에 수직한 힘 N과 평행한 힘 F로 나눌 수 있다.

$\begin{array}{r}\mathrm{N}=\mathrm{Q}\cos \alpha +\mathrm{P}\sin \alpha \\ \mathrm{F}=\mathrm{P}\cos \alpha -\mathrm{Q}\sin \alpha \end{array}$

위의 수직력 N으로 말미암아 나사면에 평행한 마찰력이 작용하고 이것이 평행력 F와 균형을 유지할 때 마찰계수를 μ라고 하면

$\mathrm{P}\cos \alpha -\mathrm{Q}\sin \alpha =\mu (\mathrm{Q}\cos \alpha +\mathrm{P}\sin \alpha )$

정리하면

$\mathrm{P}(\cos \alpha -\mu \sin \alpha )=\mathrm{Q}(\mu \cos \alpha +\sin \alpha )$

마찰각을 ρ라 하면 μ=tanρ 이므로 삼각함수 항등식에 의해

$\mathrm{P}=\mathrm{Q}{\displaystyle \frac{\tan \rho \cos \alpha +\sin \alpha }{\cos \alpha -\tan \rho \sin \alpha }}=\mathrm{Q}{\displaystyle \frac{\tan \rho +\tan \alpha }{1-\tan \rho \tan \alpha }}=\mathrm{Q}\tan (\alpha +\rho )$

이 된다. 다음으로 나사를 죄는데 필요한 토오크 T는 유효지름 ${\mathrm{d}}_2$의 1/2를 r이라 하면

$\mathrm{T}=\mathrm{P}\mathrm{r}=\mathrm{Q}\mathrm{r}\tan (\alpha +\rho )$

이다. 나사를 풀 때는 회전이 반대로 되고, Q를 밀어내리는 것이므로 마찰각이 반대가 되어

$\begin{array}{rl}{\mathrm{P}}^{\prime }& =\mathrm{Q}\tan (\alpha -\rho )\\ {\mathrm{T}}^{\prime }& =\mathrm{Q}\mathrm{r}\tan (\alpha -\rho )\end{array}$

죄는 힘을 가하지 않아도 나사가 풀어지지 않는 상태를 나사의 자립(自立, self locking)이라 한다. 나사를 풀 때 회전력 P'가 자립조건의 판단기준이 된다.

① P'>0 이면, 나사를 풀 때 힘이 소요. (ρ>α)

② P'<0 이면, 저절로 풀린다. (ρ<α)

③ P'=0 이면, 저절로 풀리다 임의의 지점에서 정지한다. (ρ=α)

즉, 나사의 자립조건은 스스로 풀리지 않을 조건이며

$\begin{array}{rl}{\mathrm{P}}^{\prime }& \ge 0\\ \rho & \ge \alpha \\ \mu & \ge {\displaystyle \frac{\mathrm{P}}{\pi {\mathrm{d}}_2}}\end{array}$

이어야만 한다.

(2) 3각나사

3각나사의 나사산각을 2β 라고 하면 나사면에 대한 수직력 N은

$\mathrm{N}={\displaystyle \frac{\mathrm{Q}}{\cos \beta }}$

이고,

마찰력 F는

$\mathrm{F}=\mu {\displaystyle \frac{\mathrm{Q}}{\cos \beta }}={\mu }^{\prime }\mathrm{Q}$

여기서 μ'=tanρ' 라 하면 다음식이 성립한다.

$\begin{array}{rl}\mathrm{P}& =\mathrm{Q}\tan (\alpha +{\rho }^{\prime })\\ \mathrm{T}& =\mathrm{Q}\mathrm{r}\tan (\alpha +{\rho }^{\prime })\end{array}$

보통 cosβ<1 이므로 μ'>μ 이 성립되고 체결용으로는 4각나사보다 3각나사가 휠씬 유리한다. 체결용 나사는 풀어지지 않는 것이 필요한 조건이다.

실제로는 나사를 조일 때 너트나 와셔의 마찰이 추가되므로 잘 풀리지 않게 된다. 이 때 나사를 죄는데 필요한 토오크 T는

$\mathrm{T}=\mathrm{Q}\{\mathrm{r}\tan (\alpha +{\rho }^{\prime })+{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}{\mu }_{\mathrm{n}}\}$

이다. 여기서 ${\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}$은 접촉면의 평균반지름, ${\mu }_n$은 너트나 와셔 밑면의 마찰계수이다.

나사의 효율

나사면에 마찰이 없다고 하면 회전은 이상상태로 되고 이 때의 회전력 ${\mathrm{P}}_0$는

 ${\mathrm{P}}_0=\mathrm{Q}\tan \alpha =\mathrm{Q}{\displaystyle \frac{\mathrm{p}}{\pi {\mathrm{d}}_2}}$

즉

$\pi {\mathrm{d}}_2{\mathrm{P}}_0=\mathrm{Q}\mathrm{p}$

나사의 효율이란 Q의 하중을 피치 p 만큼 올리기 위하여 한 일 Qp와 나사를 1회전 시키기 위하여 외력 P가 한 일 2πrP와의 비를 말한다. 즉, 외부에서 가해진 일량 중에서 몇 %가 유효한 일로 소비되었는가를 의미한다. 4각나사의 효율 η는

$\begin{array}{r}\eta =\frac{\mathrm{Q}\mathrm{p}}{2\pi \mathrm{r}\mathrm{P}}=\frac{\pi {\mathrm{d}}_2{\mathrm{P}}_0}{\pi {\mathrm{d}}_2\mathrm{P}}=\frac{{\mathrm{P}}_0}{\mathrm{P}}=\frac{\mathrm{Q}\tan \alpha }{\mathrm{Q}\tan (\alpha +\rho )}=\frac{\tan \alpha }{\tan (\alpha +\rho )}\end{array}$

로 표시된다. 3각나사의 경우는

${\eta }^{\prime }={\displaystyle \frac{\tan \alpha }{\tan (\alpha +{\rho }^{\prime })}}$

가 된다.

나사의 효율은 리이드각 α의 함수이며, α=0 및 α=π/2-ρ 일 때 η=0 이 되며, 이들의 관계를 도시하면 아래 그림과 같다. 그러므로 효율이 최대가 되는 α는 0과 π/2-ρ의 중간에 존재하며, dη/dα 으로부터

${\displaystyle \frac{d\eta }{d\alpha }}={\sec }^2\alpha \cot (\alpha +\rho )-\tan \alpha {\csc }^2(\alpha +\rho )=0$

정리하면

$\sin 2(\alpha +\rho )=\sin 2\alpha$

위의 식을 만족하는 α는

$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{\rho }{2}}$

이다.

따라서 나사의 최대효율 ${\eta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$는

${\eta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}={\displaystyle \frac{\tan (\frac{\pi }{4}-\frac{\rho }{2})}{\tan (\frac{\pi }{4}+\frac{\rho }{2})}}={\tan }^2(\frac{\pi }{4}-\frac{\rho }{2})$

로 얻어진다.

나사가 자립조건을 만족시키는 한계는 α=ρ 일 때이므로 이것을 효율 식에 대입하면

$\eta ={\displaystyle \frac{\tan \alpha }{\tan 2\alpha }}={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{{\tan }^2\alpha }{2}}<0.5$

가 되므로 자립조건을 만족할 경우의 효율은 반드시 50% 보다 작아야 한다.

예제 1. M16 보울트에 너트를 조여서 물체를 체결하려고 한다. 사용하는 스패너는 팔의 길이가 20cm 이고 가하는 힘은 10kgf 이다. 나사산의 마찰계수가 0.2 라면 나사축에 걸리는 힘은 얼마인가? 

<풀이> M16의 피치 p는 2mm, 유효지름 ${\mathrm{d}}_2$는 14.701mm 이다. 따라서 리이드각 α는

$\alpha =\mathrm{T}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}{\displaystyle \frac{\mathrm{p}}{\pi {\mathrm{d}}_2}}=\mathrm{T}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}{\displaystyle \frac{2}{14.701\pi }}={2.48}^{\circ }$

다음으로 나사의 나사산각 2β가 60˚ 이므로 3각나사의 등가마찰각 ρ'는

${\rho }^{\prime }=\mathrm{T}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}{\displaystyle \frac{\mu }{\cos \beta }}=\mathrm{T}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}{\displaystyle \frac{0.1}{\cos {30}^{\circ }}}={6.59}^{\circ }$

나사축에 걸리는 힘을 Q라 하면 $\mathrm{T}=\mathrm{Q}\{\mathrm{r}\tan (\alpha +{\rho }^{\prime })+{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}{\mu }_{\mathrm{n}}\}$ 에서

$\begin{array}{rl}& (10)(200)=\mathrm{Q}\{\frac{14.701}{2}\tan ({2.48}^{\circ }+{6.59}^{\circ })+(1.4)\left(\frac{14.701}{2}\right)(0.2)\}\\ & \mathrm{Q}=619\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{f}\end{array}$

가 얻어진다.

예제 2. 4각나사의 축선길이 25.4mm에 2산 피치, 바깥지름 49mm, 골지름 36.3mm의 잭 레버 반지름 610mm에 13.5kgf의 힘을 작용시킬 때 지지할 수 있는 하중을 구하여라. 단, 칼러의 바깥지름이 100mm, 안지름이 50mm 이고 나사면, 칼러의 마찰계수가 각각 0.15 및 0.1 이다.

<풀이> 피치 p=25.4/2=12.7mm 이고 나사의 유효지름 ${\mathrm{d}}_2$=(49+36.3)/2=42.65mm 이다.

나사부의 토오크 ${\mathrm{T}}_1$의 하중을 Q라고 할 때

$\begin{array}{rl}{\mathrm{T}}_1& =\mathrm{Q}\mathrm{r}\tan (\alpha +\rho )=\mathrm{Q}\mathrm{r}\frac{\tan \alpha +\tan \rho }{1-\tan \alpha \tan \rho }=\mathrm{Q}\mathrm{r}\frac{\mathrm{p}+\mu \pi {\mathrm{d}}_2}{\pi {\mathrm{d}}_2-\mu \mathrm{p}}\\ & =\mathrm{Q}\left(42.65/2\right)\frac{12.7+0.15\pi (42.65)}{42.65\pi -(0.15)(12.7)}=5.30\mathrm{Q}\end{array}$

칼러부의 토오크 $T_2$는

${\mathrm{T}}_2=\mathrm{Q}{\mu }_{\mathrm{n}}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{Q}(0.1)(100+50)/4=3.75\mathrm{Q}$

 전체 토오크 $\mathrm{T}={\mathrm{T}}_1+{\mathrm{T}}_2$ 이고 T=(610)(13.5) 이므로

$\mathrm{Q}=(610)(13.5)/(5.30+3.75)=909.9\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{f}$

예제 3. 바깥지름 36mm, 피치 8mm, 나사산의 높이가 피치의 1/2, 마찰계수 0.12 인 4각나사의 효율을 구하여라.

<풀이> 유효지름 ${\mathrm{d}}_2=(\mathrm{d}+{\mathrm{d}}_1)/2=(36+36-8)/2=32\mathrm{m}\mathrm{m}$

$\begin{array}{rl}& \tan \alpha =\frac{\mathrm{p}}{\pi {\mathrm{d}}_2}=\frac{8}{32\pi }=0.08\\ & \tan \rho =\mu =0.12\end{array}$

위의 결과를 아래식에 대입하면

$\begin{array}{rl}\eta & =\frac{\tan \alpha }{\tan (\alpha +\rho )}=\frac{\tan \alpha (1-\tan \alpha \tan \rho )}{\tan \alpha +\tan \rho }\\ & =\frac{0.08\{1-(0.08)(0.12)\}}{0.08+0.12}=39.6\mathrm{\%}\end{array}$

예제 4. M16의 나사에서 마찰계수 μ=0.1 이라면 나사의 효율은 얼마인가?

<풀이> 3각나사의 나사산각 2β는 60˚ 이므로

${\rho }^{\prime }=\mathrm{T}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}{\displaystyle \frac{\mu }{\cos \beta }}=\mathrm{T}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}{\displaystyle \frac{0.1}{\cos {30}^{\circ }}}={6.59}^{\circ }$

M16 나사의 유효지름 ${\mathrm{d}}_2$는 14.701mm, 피치 p는 2mm 이므로

$\alpha =\mathrm{T}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}{\displaystyle \frac{\mathrm{p}}{\pi {\mathrm{d}}_2}}=\mathrm{T}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}{\displaystyle \frac{2}{14.701\pi }}={2.48}^{\circ }$

따라서 나사의 효율 η는

$\eta ={\displaystyle \frac{\tan \alpha }{\tan (\alpha +\rho )}}={\displaystyle \frac{\tan {2.48}^{\circ }}{\tan ({2.48}^{\circ }+{6.59}^{\circ })}}=27.1\mathrm{\%}$

예제 5. 리이드 25mm의 4각나사가 2줄나사로 유효지름은 60mm이다. 나사의 마찰계수는 0.12이다. 골부분의 비틀림응력을 $10\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{f}/\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$로 허용한다면 얼마의 하중을 올릴 수 있는가? 

<풀이> 하중을 Q라고 하면 하중을 올리는데 필요한 토오크 T는

$\begin{array}{rl}\mathrm{T}& =\mathrm{Q}\mathrm{r}\tan (\alpha +\rho )=\mathrm{Q}\mathrm{r}\frac{\mathrm{l}+2\pi \mathrm{r}\mu }{2\pi \mathrm{r}-\mu \mathrm{l}}\\ & =\mathrm{Q}(30)\frac{25+2\pi (30)(0.12)}{2\pi (30)-(0.12)(25)}=7.70\mathrm{Q}\end{array}$

비틀림응력을 발생시키는 것이 T 이므로

$\begin{array}{rl}\mathrm{T}& =\frac{\pi }{16}{\mathrm{d}}^3\tau =7.70\mathrm{Q}\\ \mathrm{Q}& =\frac{\pi }{(16)(7.70)}{60}^3(10)=55.070\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{f}=55\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{n}\end{array}$