나사의 역학

나사의 회전력과 토오크

(1) 4각나사

아래 그림과 같이 나사를 돌려서 고정한다는 것은 물체를 나사면에 따라 밀어 올리는 것과 같다. 나사를 돌리는 힘을 P, 측방향으로 가해진 힘을 Q라 하면 이 힘들을 나사면에 수직한 힘 N과 평행한 힘 F로 나눌 수 있다.

\(\begin{split}{\rm N=Q}\cos\alpha+{\rm P}\sin\alpha\\{\rm F=P}\cos\alpha-{\rm Q}\sin\alpha\end{split}\)

위의 수직력 N으로 말미암아 나사면에 평행한 마찰력이 작용하고 이것이 평행력 F와 균형을 유지할 때 마찰계수를 μ라고 하면

\({\rm P}\cos\alpha-{\rm Q}\sin\alpha=\mu({\rm Q}\cos\alpha+{\rm P}\sin\alpha)\)

정리하면

\({\rm P}(\cos\alpha-\mu\sin\alpha)={\rm Q}(\mu\cos\alpha+\sin\alpha)\)

마찰각을 ρ라 하면 μ=tanρ 이므로 삼각함수 항등식에 의해

\({\rm P}={\rm Q}\dfrac{\tan\rho\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha-\tan\rho\sin\alpha}={\rm Q}\dfrac{\tan\rho+\tan\alpha}{1-\tan\rho\tan\alpha}={\rm Q}\tan(\alpha+\rho)\)

이 된다. 다음으로 나사를 죄는데 필요한 토오크 T는 유효지름 \(\rm d_2\)의 1/2를 r이라 하면

\(\rm T=Pr=Qr\tan(\alpha+\rho)\)

이다. 나사를 풀 때는 회전이 반대로 되고, Q를 밀어내리는 것이므로 마찰각이 반대가 되어

\(\begin{split}\rm P'&=\rm Q\tan(\alpha-\rho)\\\rm T'&=\rm Qr\tan(\alpha-\rho)\end{split}\)

죄는 힘을 가하지 않아도 나사가 풀어지지 않는 상태를 나사의 자립(自立, self locking)이라 한다. 나사를 풀 때 회전력 P'가 자립조건의 판단기준이 된다.

① P'>0 이면, 나사를 풀 때 힘이 소요. (ρ>α)

② P'<0 이면, 저절로 풀린다. (ρ<α)

③ P'=0 이면, 저절로 풀리다 임의의 지점에서 정지한다. (ρ=α)

즉, 나사의 자립조건은 스스로 풀리지 않을 조건이며

\(\begin{split}\rm P'&\ge0\\\rho&\ge\alpha\\\mu&\ge\dfrac{\rm P}{\pi\rm d_2}\end{split}\)

이어야만 한다.

(2) 3각나사

3각나사의 나사산각을 2β 라고 하면 나사면에 대한 수직력 N은

\(\rm N=\dfrac{Q}{\cos\beta}\)

이고,

마찰력 F는

\(\rm F=\mu\dfrac{Q}{\cos\beta}=\mu' Q\)

여기서 μ'=tanρ' 라 하면 다음식이 성립한다.

\(\begin{split}\rm P&=\rm Q\tan(\alpha+\rho')\\\rm T&=\rm Qr\tan(\alpha+\rho')\end{split}\)

보통 cosβ<1 이므로 μ'>μ 이 성립되고 체결용으로는 4각나사보다 3각나사가 휠씬 유리한다. 체결용 나사는 풀어지지 않는 것이 필요한 조건이다.

실제로는 나사를 조일 때 너트나 와셔의 마찰이 추가되므로 잘 풀리지 않게 된다. 이 때 나사를 죄는데 필요한 토오크 T는

\(\rm T=Q\left\{r\tan(\alpha+\rho')+r_n\mu_n\right\}\)

이다. 여기서 \(\rm r_n\)은 접촉면의 평균반지름, \(\mu_n\)은 너트나 와셔 밑면의 마찰계수이다.

나사의 효율

나사면에 마찰이 없다고 하면 회전은 이상상태로 되고 이 때의 회전력 \(\rm P_0\)는

 \(\rm P_0=Q\tan\alpha=Q\dfrac{p}{\pi d_2}\)

즉

\(\rm \pi d_2P_0=Qp\)

나사의 효율이란 Q의 하중을 피치 p 만큼 올리기 위하여 한 일 Qp와 나사를 1회전 시키기 위하여 외력 P가 한 일 2πrP와의 비를 말한다. 즉, 외부에서 가해진 일량 중에서 몇 %가 유효한 일로 소비되었는가를 의미한다. 4각나사의 효율 η는

\(\begin{split}\rm\eta=\frac{Qp}{2\pi rP}=\frac{\pi d_2P_0}{\pi d_2P}={P_0\over P}=\frac{Q\tan\alpha}{Q\tan(\alpha+\rho)}=\frac{\tan\alpha}{\tan(\alpha+\rho)}\end{split}\)

로 표시된다. 3각나사의 경우는

\(\eta'=\dfrac{\tan\alpha}{\tan(\alpha+\rho')}\)

가 된다.

나사의 효율은 리이드각 α의 함수이며, α=0 및 α=π/2-ρ 일 때 η=0 이 되며, 이들의 관계를 도시하면 아래 그림과 같다. 그러므로 효율이 최대가 되는 α는 0과 π/2-ρ의 중간에 존재하며, dη/dα 으로부터

\(\dfrac{d\eta}{d\alpha}=\sec^2\alpha\cot(\alpha+\rho)-\tan\alpha\csc^2(\alpha+\rho)=0\)

정리하면

\(\sin2(\alpha+\rho)=\sin2\alpha\)

위의 식을 만족하는 α는

\(\alpha=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\rho}{2}\)

이다.

따라서 나사의 최대효율 \(\eta_{\rm max}\)는

\(\eta_{\rm max}=\dfrac{\tan\left({\pi\over 4}-{\rho\over 2}\right)}{\tan\left({\pi\over 4}+{\rho\over 2}\right)}=\tan^2\left({\pi\over 4}-{\rho\over 2}\right)\)

로 얻어진다.

나사가 자립조건을 만족시키는 한계는 α=ρ 일 때이므로 이것을 효율 식에 대입하면

\(\eta=\dfrac{\tan\alpha}{\tan2\alpha}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\tan^2\alpha}{2}<0.5\)

가 되므로 자립조건을 만족할 경우의 효율은 반드시 50% 보다 작아야 한다.

예제 1. M16 보울트에 너트를 조여서 물체를 체결하려고 한다. 사용하는 스패너는 팔의 길이가 20cm 이고 가하는 힘은 10kgf 이다. 나사산의 마찰계수가 0.2 라면 나사축에 걸리는 힘은 얼마인가? 

<풀이> M16의 피치 p는 2mm, 유효지름 \(\rm d_2\)는 14.701mm 이다. 따라서 리이드각 α는

\(\rm \alpha=Tan^{-1}\dfrac{p}{\pi d_2}=Tan^{-1}\dfrac{2}{14.701\pi}=2.48^\circ\)

다음으로 나사의 나사산각 2β가 60˚ 이므로 3각나사의 등가마찰각 ρ'는

\(\rm\rho'=Tan^{-1}\dfrac{\mu}{\cos\beta}=Tan^{-1}\dfrac{0.1}{\cos30^\circ}=6.59^\circ\)

나사축에 걸리는 힘을 Q라 하면 \(\rm T=Q\left\{r\tan(\alpha+\rho')+r_n\mu_n\right\}\) 에서

\(\begin{split}&(10)(200)=\rm Q\left\{{14.701\over 2}\tan(2.48^\circ+6.59^\circ)+(1.4)\left({14.701\over 2}\right)(0.2)\right\}\\&\rm Q=619\,kgf\end{split}\)

가 얻어진다.

예제 2. 4각나사의 축선길이 25.4mm에 2산 피치, 바깥지름 49mm, 골지름 36.3mm의 잭 레버 반지름 610mm에 13.5kgf의 힘을 작용시킬 때 지지할 수 있는 하중을 구하여라. 단, 칼러의 바깥지름이 100mm, 안지름이 50mm 이고 나사면, 칼러의 마찰계수가 각각 0.15 및 0.1 이다.

<풀이> 피치 p=25.4/2=12.7mm 이고 나사의 유효지름 \(\rm d_2\)=(49+36.3)/2=42.65mm 이다.

나사부의 토오크 \(\rm T_1\)의 하중을 Q라고 할 때

\(\begin{split}\rm T_1&=\rm Qr\tan(\alpha+\rho)=Qr\frac{\tan\alpha+\tan\rho}{1-\tan\alpha\tan\rho}=Qr\frac{p+\mu\pi d_2}{\pi d_2-\mu p}\\&=\rm Q\left({42.65/2}\right)\frac{12.7+0.15\pi(42.65)}{42.65\pi-(0.15)(12.7)}=5.30Q\end{split}\)

칼러부의 토오크 \(T_2\)는

\(\rm T_2=Q\mu_nr_n=Q(0.1)(100+50)/4=3.75Q\)

 전체 토오크 \(\rm T=T_1+T_2\) 이고 T=(610)(13.5) 이므로

\(\rm Q=(610)(13.5)/(5.30+3.75)=909.9 kgf\)

예제 3. 바깥지름 36mm, 피치 8mm, 나사산의 높이가 피치의 1/2, 마찰계수 0.12 인 4각나사의 효율을 구하여라.

<풀이> 유효지름 \(\rm d_2=(d+d_1)/2=(36+36-8)/2=32mm\)

\(\begin{split}&\rm\tan\alpha={p\over{\pi d_2}}={8\over{32\pi}}=0.08\\&\tan\rho=\mu=0.12\end{split}\)

위의 결과를 아래식에 대입하면

\(\begin{split}\eta&=\frac{\tan\alpha}{\tan(\alpha+\rho)}=\frac{\tan\alpha(1-\tan\alpha\tan\rho)}{\tan\alpha+\tan\rho}\\&=\frac{0.08\{1-(0.08)(0.12)\}}{0.08+0.12}=39.6\%\end{split}\)

예제 4. M16의 나사에서 마찰계수 μ=0.1 이라면 나사의 효율은 얼마인가?

<풀이> 3각나사의 나사산각 2β는 60˚ 이므로

\(\rm \rho'=Tan^{-1}\dfrac{\mu}{\cos\beta}=Tan^{-1}\dfrac{0.1}{\cos30^\circ}=6.59^\circ\)

M16 나사의 유효지름 \(\rm d_2\)는 14.701mm, 피치 p는 2mm 이므로

\(\rm\alpha=Tan^{-1}\dfrac{p}{\pi d_2}=Tan^{-1}\dfrac{2}{14.701\pi}=2.48^\circ\)

따라서 나사의 효율 η는

\(\eta=\dfrac{\tan\alpha}{\tan(\alpha+\rho)}=\dfrac{\tan2.48^\circ}{\tan(2.48^\circ+6.59^\circ)}=27.1\%\)

예제 5. 리이드 25mm의 4각나사가 2줄나사로 유효지름은 60mm이다. 나사의 마찰계수는 0.12이다. 골부분의 비틀림응력을 \(\rm 10kgf/mm^2\)로 허용한다면 얼마의 하중을 올릴 수 있는가? 

<풀이> 하중을 Q라고 하면 하중을 올리는데 필요한 토오크 T는

\(\begin{split}\rm T&=\rm Qr\tan(\alpha+\rho)=Qr\frac{l+2\pi r\mu}{2\pi r-\mu l}\\&=\rm Q(30)\frac{25+2\pi(30)(0.12)}{2\pi(30)-(0.12)(25)}=7.70Q\end{split}\)

비틀림응력을 발생시키는 것이 T 이므로

\(\begin{split}\rm T&=\rm{\pi\over 16}d^3\tau=7.70Q\\\rm Q&=\rm\frac{\pi}{(16)(7.70)}60^3(10)=55.070\,kgf=55\,ton\end{split}\)