기둥의 좌굴 (Column Buckling)
개요 (Introduction)
기둥의 좌굴은 특별하고 독특한 주제이다. 이는 붕괴(failure)가 재료 강도와 무관한 유일한 구조역학 분야이다. 기둥 좌굴해석(column buckling analysis)은 기둥이 좌굴 전에 지지할 수 있는 최대하중을 결정하는 것이다. 하지만 장주(長柱, long column)의 경우, 좌굴은 재료 강도와 관계가 없다. 대신에 기둥의 재료 및 치수에 의한 강성이 지배적이다.
본 글에서는 두 가지 접근법으로 기둥 좌굴의 표준 방정식을 유도한다. 먼저 방정식의 일반적 유도법, 즉 오일러 좌굴이론(Euler Buckling Theory)을 다룬다. 이는 공학 과정의 교과서에 실린 유도법이지만 좌굴 과정을 지배하는 물리적 기구를 만족스럽게 설명하지 못한다. 이것이 좌굴 방정식의 두번째 유도법이 제시된 이유이다.
특이하게도, 여기서와 같이 물체가 축방향으로 압축 하중을 받으면 기둥이라 부르지만, 횡방향으로 하중을 받으면 보(beam)라고 불리운다. 그럼에도 불구하고, 보 굽힘이론은 기둥 좌굴해석의 핵심이므로, 보의 굽힘 글을 사전에 복습할 것을 추천한다.
오일러 좌굴이론 (Euler Buckling Theory)
오일러 좌굴이론은 강의 교재에서 다루는 고전 이론이다. 이는 P의 압축하중으로 y 만큼 처진 기둥의 내부 굽힘모멘트(internal bending moment)는 -Py이다는 것에서 출발한다. 따라서 -Py를 보의 굽힘방정식 M에 대입한다.
\(EIy''=M=-Py\)
위의 식으로부터 다음 미분 방정식을 얻는다.
\(EIy''+Py=0\)
이 방정식의 일반해는 다음과 같다.
\(y=A\sin\left(\sqrt{P\over{EI}}x\right)+B\cos\left(\sqrt{P\over{EI}}x\right)\)
여기서 A와 B는 경계조건으로부터 결정되는 상수이다. 경계조건은 x=0 및 x=L 에서 y=0 이다. 첫번째 경계조건으로부터 B=0 이고, 두번째 경계조건을 적용하면 다음과 같다.
\(y(L)=A\sin\left(\sqrt{P\over{EI}}L\right)=0\)
여기서 두가지 가능성이 있다. 첫번째, A=0 인데 이것은 모든 변위가 0 임을 의미한다. 이는 단지 비좌굴해(nonbuckled solution)이다. 기둥의 좌굴 전에 횡방향 변위는 단순히 0 이 된다.
두번째 경우가 기둥의 좌굴과 직접적인 관계가 있다. 두번째 방법의 경계조건을 만족하기 위해서는 sin(π)=0 이면 된다. 따라서 이 조건을 적용하고
\(\sqrt{P\over{EI}}L=\pi\)
P에 대하여 정리하면
\(P_{cr}=\frac{\pi^2EI}{L^2}\)
이것이 고전적 오일러 좌굴이론(classical Euler buckling theory)의 결과이다. 이는 좌굴하중 \(P_{cr}\)로 나타내는 하중 P의 임계(critical)치를 주며, 이 이상의 하중에서 기둥은 좌굴한다.
이 결과는 올바른 것이기는 하나 특성상 매우 수학적이다. 그리고 물리적 통찰력을 찾기 어렵다. 후술하는 유도법은 동일 방정식을 결과로 주는 대체방법이며, 위의 방법보다 좌굴과정의 물리적 연계성을 제공한다.
좌굴과 항복 (Buckling vs Yielding)
앞서 언급한 바와 같이 고전적 좌굴해석은 재료의 항복강도에 의존하지 않는다. 이는 위의 유도법에서 응력 또는 변형률이 논의되거나 재료의 강도와 비교된 적이 없으므로 명백하다.
하지만 사실은, 항복이 전적으로 무시되어서는 안된다. 위의 식으로부터 \(P_{cr}\)이 정해졌다면, 기둥의 단면적으로 나누어 응력 \(\sigma_x=P_{cr}/A\)를 구하고, 이 값을 재료의 항복강도와 비교하여 좌굴 전에 항복의 발생 여부를 결정해야 한다. \(L^2\)가 분모에 있어 단주(短柱, short column)의 경우 높은 \(P_{cr}\) 값을 가지므로 이 과정이 중요하다.
끝단 구속에 따른 좌굴 (End Constraints in Buckling)
좌굴해석에 있어서 끝단의 자유도 상태를 파악하는 것이 중요하다. 예를 들어, 아래와 같이 하단이 고정되어 있는 경우 좌굴하중을 생각해 보자.
위의 그림으로부터 앞선 방정식의 기둥의 길이를 2배로 하면 등가의 좌굴조건을 얻을 수 있으므로 좌굴하중은 다음과 같다. 앞의 양단 회전단 좌굴하중 \(P_{cr}\)의 1/4 임을 알 수 있다.
\(P_{cr}=\frac{\pi^2EI}{(2L)^2}=\frac{\pi^2EI}{4L^2}\)
물리적 기반 좌굴식 유도 (Physically-Based Bucking Derivation)
본 장에서는 좌굴하중 결정에 있어서 고전 오일러 좌굴이론보다 물리적으로 이해하기 쉬운 대안을 제시한다. 중요 특징은 내부 응력분포로부터 발생한 내부 굽힘모멘트(internal bending moment)를 기둥에 작용하는 하중의 결과인 외부 굽힘모멘트(external bending moment)와 비교하는 것이다. (전자가 더 중요하다.)
이 접근법은 앞선 고전 오일러 좌굴이론이 수학적으로 바뀐 곳에서 다시 시작된다. 첫번째 과정은 변형 형상에 대한 가정이다. 기둥의 끝단에서 y=0 이고, 형상은 앞선 미분 방정식에서 sin() 함수를 따른다. 따라서 가정 합리적인 선택은 아래와 같다.
\(y=\delta_{\rm max}\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)\)
여기서 \(\delta_{\rm max}\)는 기둥 중단에서의 횡방향 변위이다. 미지수이지만, 기둥의 다른 지점들보다 중단에서 가장 크다는 것을 안다. sin() 함수의 인자 πx/L 의 선택은 x=0 와 x=L 에서의 변위가 0 이 된다는 것을 보장한다.
보의 굽힘이론에서 굽힘모멘트 M은 다음식과 같이 기둥의 처짐과 관련이 있고, 위의 가정된 변위함수의 2차 도함수를 필요로 한다.
\(M=EIy''=EI\frac{d^2}{dx^2}\left\{\delta_{\rm max}\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)\right\}=-\frac{\pi^2EI\delta_{\rm max}}{L^2}\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)=-\frac{\pi^2EIy}{L^2}\)
이것이 기둥의 응력분포에 기인한, 다시 말하면 기둥의 굽힘으로 인한 내부 굽힘모멘트이다. 이 굽힘모멘트는 굽힘에 대해 다시 똑바로 서있을려고 하는 기둥의 내부저항으로 생각할 수 있다.
다음 단계로 이 내부 저항 굽힘모멘트와 외부 하중에 의한 모멘트를 등식으로 만든다. 이 양은 간단히 M=-Py 이므로 다음식을 준다.
\(M=-Py=-\frac{\pi^2EIy}{L^2}\)
이 시점에서 이 접근법이 고전 오일러 좌굴이론과 동일한 표현을 유도한다는 것을 쉽게 알 수 있다. 하지만 그 동안, 이 방법이 앞선 이론보다 물리적 좌굴 과정에 대한 보다 많은 통찰력을 제공한다. 즉 ...
1. 내구 굽힘모멘트(기둥 굽힘으로 인한 내부 응력에 기인)와 외부하중 P의 결과인 외부 굽힘모멘트를 같다고 하여 이 관계를 도출하였다. P가 이 방정식을 충분히 만족할 정도로 클 때 좌굴이 일어난다는 것은 명백하다. 어떠한 낮은 값이 존재한다면 Py는 "저항 굽힘모멘트" 보다 낮을 것이다.
2. y가 양변에 나타나므로 소거될 것인데, 이는 좌굴이 일어나면 기둥의 전구간에 동시에 일어남을 의미한다. (오일어 이론에는 없는 흥미로운 결과이다.)
어쨋든, 위의 식에서 양변의 y를 소거하면 이 역시 동일한 좌굴하중을 준다.
\(P_{cr}=\frac{\pi^2EI}{L^2}\)
고정단 예제 (Fixed End Example)
이 경우 가정된 변형 형상은 다음과 같다.
\(y=\delta_{\rm max}\left\{1-\cos\left(\frac{\pi x}{2L}\right)\right\}\)
이로 인한 굽힘모멘트는
\(M=EIy''=\frac{\pi^2EI\delta_m}{4L^2}\cos\left(\frac{\pi x}{2L}\right)\)
외부 하중에 의한 굽힘모멘트는 \(M=P(\delta_m-y)\) 이다. 이들 두 식을 등식으로 놓고 정리하면 앞서 유도한 동일 결과를 준다.
\(P_{cr}=\frac{\pi^2EI}{4L^2}\)
다르게 가정된 형상의 고정단 예제 (Fixed End Example with Different Assumed Shape)
이 기둥의 변형 형상을 다른 함수로 대체할 수 있고, \(P_{\rm cr}\)의 결과식이 엄밀해와 크게 다르지 않음을 보여 준다. 이번에 가정된 변형 형상은
\(y=\delta_{\rm max}\left(x\over L\right)^2\)
외부 하중에 의한 굽힘모멘트는 \(M=P(\delta_m-y)\) 이다. 이 둘을 같다고 놓으면 다음식을 준다.
\(P(\delta_{\rm max}-y)=\frac{2EI\delta_{\rm max}}{L^2}\)
x=0 에서 굽힘모멘트가 최대가 되고 이 때 y=0 이다. y를 0 으로 두고 양변의 \(\delta_m\)을 소거하면
\(P_{cr}=\frac{2EI}{L^2}\)
이 결과는 명백히 앞선 엄밀해와 동일하지 않다. 그 차이는 엄밀해는 \(\pi^2/4=2.467\)을 포함하고, 반면에 이 근사해는 23% 차이의 2를 포함하는데 있다. 차이가 있다고 할 수도 있지만 2배 또는 한자리 수 이상 큰 것은 아니다. 또한 좌굴하중이 엄밀해 보다 작으므로 보수적이다.
위의 2차식 형상 기반의 해는 낮은 좌굴하중을 유도하며 기둥의 하단, x=0에 좌굴이 집중된다는 것은 흥미롭다. 반면에 엄밀해는 삼각함수로 구성되며 기둥의 길이를 따라 동일한 좌굴 경향을 보이고, 더 높은 \(P_{cr}\)에 부합한다.
여기서 핵심은 2차식으로 가정된 변형 형상은 지배 미분방정식의 엄밀해가 아니다(근사해이긴 하지만). 엄밀해는 삼각함수이다.
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