전미분 (Material Derivative)

전미분의 수학적 정의는 '다변수 함수의 모든 변수의 변화에 따라 변화하는 행태를 근사하는 양' 이다. 역학에서는 속도 v로 이동하는 재료의 한 지점에서 물리량(온도, 속도 등)의 시간 변화율을 계산한다. 만약 재료가 유체이면 재료의 이동은 유동장을 의미한다.

전미분 연산자는 아래와 같이 정의한다.

\(\dfrac{d}{dt}=\dfrac{\partial}{\partial t}+{\bf v}\dfrac{\partial}{\partial {\bf x}}\)

마지막 미분항은 X가 아니라 x에 대한 미분이므로 오일러 기술법임을 알 수 있다. 따라서 오일러 변수에 대한 합성함수의 편미분 정리(chain rule)를 적용하면 전미분을 유도할 수 있다. 예를 들어 속도에 대한 전미분은 가속도를 의미하며 다음과 같이 전개된다.

\(\begin{split}{\bf a}=\frac{d}{dt}{\bf v}(t,x,y,z)&=\frac{\partial {\bf v}}{\partial t}+\frac{\partial {\bf v}}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial {\bf v}}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial {\bf v}}{\partial z}\frac{\partial y}{\partial z}\\&=\frac{\partial {\bf v}}{\partial t}+{\dot u}\frac{\partial{\bf v}}{\partial x}+{\dot v}\frac{\partial{\bf v}}{\partial y}+{\dot w}\frac{\partial{\bf v}}{\partial z}\\&=\frac{\partial {\bf v}}{\partial t}+v_x\frac{\partial{\bf v}}{\partial x}+v_y\frac{\partial{\bf v}}{\partial y}+v_z\frac{\partial{\bf v}}{\partial z}=\frac{\partial{\bf v}}{\partial t}+{\bf v}\cdot\nabla {\bf v}\end{split}\)

여기서 u, v, w는 각각 x, y, z 방향의 변위이다. 즉, u, v, w의 시간미분은 속도 v의 x, y, z 성분을 나타낸다. 텐서표기법으로 쓰면

\(a_i=v_{i,t}+v_kv_{i,k}\)

[예제] \(y_o\)의 높이에서 수직으로 \(v_o\)의 속도로 던져진 공의 운동 문제이다. (g는 중력가속도)

라그란지 기술법으로 표현하면 시간 t 에서의 높이 y는

\(y=y_o+v_ot-\dfrac{1}{2}gt^2\)

변위를 시간미분하면 속도는

\(v=\dfrac{dy}{dt}=v_o-gt\)

속도를 시간미분하면 중력가속도를 얻는다.

\(a=\dfrac{dv}{dt}=-g\)

이번에는 오일러 기술법으로 표현해 본다. 에너지 보존 법칙에 의해

\(\dfrac{1}{2}mv_o^2-\dfrac{1}{2}mv^2=mg(y-y_o)\)

속도 v를 위치 y의 함수로 정리하며 속도장을 기술할 수 있다.

\(v=\pm\sqrt{v_o^2-2g(y-y_o)}\)

여기서 +는 상승 시, -는 하강 시의 속도를 의미한다.

라그란지 기술법과 마찬가지로 속도 v를 전미분하면 아래와 같이 중력가속도를  얻는다. 여기서 속도장은 시간에 대해 변하지 않으므로 \(\frac{\partial v}{\partial t}=0\) 이다.

\(a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{\partial v}{\partial t}+v\dfrac{\partial v}{\partial y}=\pm\sqrt{v_o^2-2g(y-y_o)}\left\{\dfrac{\mp g}{\sqrt{v_o^2-2g(y-y_o)}}\right\}=-g\)

출처 http://www.continuummechanics.org/