합성함수의 편미분법

정리 1  2변수함수 z=f(x,y)가 연속인 편도함수 \(f_x,\ f_y\)를 갖고, x=Φ(t), y=Ψ(t)가 t에 관하여 미분가능한 함수이면 F(t)=f(Φ(t), Ψ(t))는 t에 관하여 미분가능이며 \[\frac{d{\rm F}(t)}{dt}=f_x(\Phi(t),\Psi(t))\Phi'(t)+f_y(\Phi(t),\Psi(t))\Psi'(t)\] 이다.

<증명>  Φ(t+Δt)-Φ(t)=h, Ψ(t+Δt)-Ψ(t)=k 라 두면 Φ, Ψ의 연속성에 의해 Δt→0 일 때 h→0, k→0 이므로

\[\begin{split}&\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Phi(t+\Delta t)-\Phi(t)}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to0}{h\over\Delta t}=\Phi'(t)\\&\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Psi(t+\Delta t)-\Psi(t)}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to0}{k\over\Delta t}=\Psi'(t)\end{split}\]

이다. 한편 f(x,y)는 전미분 가능하므로

\[\begin{split}{\rm F}(t+\Delta t)-{\rm F}(t)&=f(\Phi(t+\Delta t),\Psi(t+\Delta t))-f(\Phi(t),\Psi(t))\\&=f(\Phi(t)+h,\Psi(t)+k)-f(\Phi(t),\Psi(t))\\&=f_x(\Phi(t),\Psi(t))h+f_y(\Phi(t),\Psi(t))k+\lambda_1h+\lambda_2k\end{split}\]

이며, h→0, k→0 일 때 \(\lambda_1\to0\), \(\lambda_2\to0\) 이다. 따라서

\[\begin{split}\frac{d{\rm F}(t)}{dt}&=\lim_{\Delta t\to0}\frac{{\rm F}(t+\Delta t)-{\rm F}(t)}{\Delta t}\\&=\lim_{\Delta t\to0}\left\{f_x(\Phi(t),\Psi(t)){h\over\Delta t}+f_y(\Phi(t),\Psi(t)){k\over\Delta t}+\lambda_1{h\over\Delta t}+\lambda_2{k\over\Delta t}\right\}\\&=f_x(\Phi(t),\Psi(t))\Phi'(t)+f_y(\Phi(t),\Psi(t))\Psi'(t)\end{split}\]

[주의]  윗식을 다음과 같이 쓸 수도 있다.

\[{dz\over dt}={\partial z\over\partial x}{dx\over dt}+{\partial z\over\partial y}{dy\over dt}\]

[예제 1]  2변수함수 f(x, y)에서 y=Ψ(x) 이면 x 의 함수 f(x, Ψ(x))가 얻어진다. Ψ가 미분가능이고 f 가 편미분가능이면

\[{d\over dx}f(x,\Psi(x))=f_x(x,\Psi(x))+f_y(x,\Psi(x))\Psi'(t)\]

<증명>  정리 1에서 x=t라 두면 Φ'(t)=1 이므로 구하는 식이 얻어진다.

[예제 2]  함수 z=f(x, y)에서 x=a+s cosθ, y=b+s sinθ 일 때 θ를 상수로 하여 df(a, b)/ds를 구하여라.

<풀이>  z=f(x, y)=f(a+s cosθ, b+s sinθ) 이다. θ는 상수이므로 x=a, y=b가 되는 것은 s=0 일 때 뿐이다.

\[{dx\over ds}=\cos\theta,\qquad{dy\over ds}=\sin\theta\]

이므로 정리 1에 의해서

\[{d\over ds}f(a,b)=f_x(a,b){dx\over ds}+f_y(a,b){dy\over ds}=f_x(a,b)\cos\theta+f_y(a,b)\sin\theta\]

계 1  함수 z=f(x,y)가 연속인 편도함수 \(f_x,\,f_y\)를 갖고, x=Φ(u, v), y=Ψ(u, v)가 u, v의 함수로서 편미분가능일 때 \[\begin{split}\frac{\partial z}{\partial u}&=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}\\\frac{\partial z}{\partial v}&=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}\end{split}\] 이다.

<증명>  v를 고정하고 z, x, y 를 u 만의 함수로 생각하여 정리 1의 결과를 적용하면

\[\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}\]

이고, 마찬가지로 u를 고정하면

\[\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}\]

가 성립한다.

[예제 3]  z=f(x, y) 에서 x=r cosθ, y=r sinθ 일 때 ∂z/∂r, ∂z/∂θ 를 구하여라.

<풀이>

\[\begin{split}\frac{\partial z}{\partial r}&=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}=\frac{\partial z}{\partial x}\cos\theta+\frac{\partial z}{\partial y}\sin\theta\\\frac{\partial z}{\partial\theta}&=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial\theta}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial\theta}=-\frac{\partial z}{\partial x}r\sin\theta+\frac{\partial z}{\partial y}r\cos\theta\end{split}\]

[예제 4]  \(z=f(x, y)=x^2+xy+y^2,\ x=u^2+v^2,\ y=uv\) 일 때 ∂z/∂u, ∂z/∂v를 구하여라.

<풀이>

\[\begin{align}\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}&=(2x+y)2u+(x+2y)v\\&=4u^3+3u^2v+6uv^2+v^3\\\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}&=(2x+y)2v+(x+2y)u\\&=u^3+6u^2v+3uv^2+4v^3\end{align}\]

계 2  함수 w=g(z)는 연속인 도함수를 갖고, 2변수함수 z=f(x, y)가 편미분가능이면 \[\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{dw}{dz}\frac{\partial z}{\partial x},\qquad\frac{\partial w}{\partial y}=\frac{dw}{dz}\frac{\partial z}{\partial y}\] 이다.

<증명>  y를 고정하면 w는 x 만의 함수이고, x를 고정하면 w는 y 만의 함수가 되므로 위의 정리가 증명된다.

[예제 5]  \({1\over r},\ {x\over r},\ \ln r\) 을 편미분하여라, 단, \(r=\sqrt{x^2+y^2}\) 이다.

<풀이>

\[\begin{align}&\frac{\partial}{\partial x}\left(1\over r\right)={d\over dr}\left({1\over r}\right)\frac{\partial r}{\partial x}=-{1\over r^2}\cdot{x\over r}=-{x\over r^3}\\&\frac{\partial}{\partial x}\left({x\over r}\right)={1\over r}+x\frac{\partial}{\partial x}\left({1\over r}\right)={1\over r}-{x^2\over r^3}={y^2\over r^3}\\&\frac{\partial}{\partial x}(\ln r)={d\over dr}(\ln r)\frac{\partial r}{\partial x}={1\over r}\cdot{x\over r}={x\over r^2}\end{align}\]

동일한 방법으로

\[\frac{\partial}{\partial y}\left({1\over r}\right)=-{y\over r^3},\qquad\frac{\partial}{\partial y}\left({x\over r}\right)=-{xy\over r^3},\qquad\frac{\partial}{\partial y}(\ln r)={y\over r^2}\]