합성함수의 편미분법

정리 1  2변수함수 z=f(x,y)가 연속인 편도함수 $f_x,f_y$를 갖고, x=Φ(t), y=Ψ(t)가 t에 관하여 미분가능한 함수이면 F(t)=f(Φ(t), Ψ(t))는 t에 관하여 미분가능이며 $$\frac{d\mathrm{F}(t)}{dt}=f_x(\mathrm{\Phi }(t),\mathrm{\Psi }(t)){\mathrm{\Phi }}^{\prime }(t)+f_y(\mathrm{\Phi }(t),\mathrm{\Psi }(t)){\mathrm{\Psi }}^{\prime }(t)$$ 이다.

<증명>  Φ(t+Δt)-Φ(t)=h, Ψ(t+Δt)-Ψ(t)=k 라 두면 Φ, Ψ의 연속성에 의해 Δt→0 일 때 h→0, k→0 이므로

$$\begin{array}{rl}& \underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Phi }(t+\mathrm{\Delta }t)-\mathrm{\Phi }(t)}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{h}{\mathrm{\Delta }t}={\mathrm{\Phi }}^{\prime }(t)\\ & \underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Psi }(t+\mathrm{\Delta }t)-\mathrm{\Psi }(t)}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{k}{\mathrm{\Delta }t}={\mathrm{\Psi }}^{\prime }(t)\end{array}$$

이다. 한편 f(x,y)는 전미분 가능하므로

$$\begin{array}{rl}\mathrm{F}(t+\mathrm{\Delta }t)-\mathrm{F}(t)& =f(\mathrm{\Phi }(t+\mathrm{\Delta }t),\mathrm{\Psi }(t+\mathrm{\Delta }t))-f(\mathrm{\Phi }(t),\mathrm{\Psi }(t))\\ & =f(\mathrm{\Phi }(t)+h,\mathrm{\Psi }(t)+k)-f(\mathrm{\Phi }(t),\mathrm{\Psi }(t))\\ & =f_x(\mathrm{\Phi }(t),\mathrm{\Psi }(t))h+f_y(\mathrm{\Phi }(t),\mathrm{\Psi }(t))k+{\lambda }_{1}h+{\lambda }_{2}k\end{array}$$

이며, h→0, k→0 일 때 ${\lambda }_1\to 0$, ${\lambda }_2\to 0$ 이다. 따라서

$$\begin{array}{rl}\frac{d\mathrm{F}(t)}{dt}& =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{F}(t+\mathrm{\Delta }t)-\mathrm{F}(t)}{\mathrm{\Delta }t}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\{f_x(\mathrm{\Phi }(t),\mathrm{\Psi }(t))\frac{h}{\mathrm{\Delta }t}+f_y(\mathrm{\Phi }(t),\mathrm{\Psi }(t))\frac{k}{\mathrm{\Delta }t}+{\lambda }_1\frac{h}{\mathrm{\Delta }t}+{\lambda }_2\frac{k}{\mathrm{\Delta }t}\}\\ & =f_x(\mathrm{\Phi }(t),\mathrm{\Psi }(t)){\mathrm{\Phi }}^{\prime }(t)+f_y(\mathrm{\Phi }(t),\mathrm{\Psi }(t)){\mathrm{\Psi }}^{\prime }(t)\end{array}$$

[주의]  윗식을 다음과 같이 쓸 수도 있다.

$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$

[예제 1]  2변수함수 f(x, y)에서 y=Ψ(x) 이면 x 의 함수 f(x, Ψ(x))가 얻어진다. Ψ가 미분가능이고 f 가 편미분가능이면

$$\frac{d}{dx}f(x,\mathrm{\Psi }(x))=f_x(x,\mathrm{\Psi }(x))+f_y(x,\mathrm{\Psi }(x)){\mathrm{\Psi }}^{\prime }(t)$$

<증명>  정리 1에서 x=t라 두면 Φ'(t)=1 이므로 구하는 식이 얻어진다.

[예제 2]  함수 z=f(x, y)에서 x=a+s cosθ, y=b+s sinθ 일 때 θ를 상수로 하여 df(a, b)/ds를 구하여라.

<풀이>  z=f(x, y)=f(a+s cosθ, b+s sinθ) 이다. θ는 상수이므로 x=a, y=b가 되는 것은 s=0 일 때 뿐이다.

$$\frac{dx}{ds}=\cos \theta ,\frac{dy}{ds}=\sin \theta$$

이므로 정리 1에 의해서

$$\frac{d}{ds}f(a,b)=f_x(a,b)\frac{dx}{ds}+f_y(a,b)\frac{dy}{ds}=f_x(a,b)\cos \theta +f_y(a,b)\sin \theta$$

계 1  함수 z=f(x,y)가 연속인 편도함수 $f_x,f_y$를 갖고, x=Φ(u, v), y=Ψ(u, v)가 u, v의 함수로서 편미분가능일 때 $$\begin{array}{rl}\frac{\partial z}{\partial u}& =\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}\\ \frac{\partial z}{\partial v}& =\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}\end{array}$$ 이다.

<증명>  v를 고정하고 z, x, y 를 u 만의 함수로 생각하여 정리 1의 결과를 적용하면

$$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}$$

이고, 마찬가지로 u를 고정하면

$$\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}$$

가 성립한다.

[예제 3]  z=f(x, y) 에서 x=r cosθ, y=r sinθ 일 때 ∂z/∂r, ∂z/∂θ 를 구하여라.

<풀이>

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial z}{\partial r}& =\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}=\frac{\partial z}{\partial x}\cos \theta +\frac{\partial z}{\partial y}\sin \theta \\ \frac{\partial z}{\partial \theta }& =\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta }+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \theta }=-\frac{\partial z}{\partial x}r\sin \theta +\frac{\partial z}{\partial y}r\cos \theta \end{array}$$

[예제 4]  $z=f(x,y)=x^2+xy+y^2,x=u^2+v^2,y=uv$ 일 때 ∂z/∂u, ∂z/∂v를 구하여라.

<풀이>

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}& =(2x+y)2u+(x+2y)v\\ & =4u^3+3u^{2}v+6u{v}^2+v^3\\ \frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}& =(2x+y)2v+(x+2y)u\\ & =u^3+6u^{2}v+3u{v}^2+4v^3\end{array}$$

계 2  함수 w=g(z)는 연속인 도함수를 갖고, 2변수함수 z=f(x, y)가 편미분가능이면 $$\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{dw}{dz}\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial w}{\partial y}=\frac{dw}{dz}\frac{\partial z}{\partial y}$$ 이다.

<증명>  y를 고정하면 w는 x 만의 함수이고, x를 고정하면 w는 y 만의 함수가 되므로 위의 정리가 증명된다.

[예제 5]  $\frac{1}{r},\frac{x}{r},\ln r$ 을 편미분하여라, 단, $r=\sqrt{x^2+y^2}$ 이다.

<풀이>

$$\begin{array}{rl}& \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{r}\right)=\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r}\right)\frac{\partial r}{\partial x}=-\frac{1}{r^2}\cdot \frac{x}{r}=-\frac{x}{r^3}\\ & \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{x}{r}\right)=\frac{1}{r}+x\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{r}\right)=\frac{1}{r}-\frac{x^2}{r^3}=\frac{y^2}{r^3}\\ & \frac{\partial }{\partial x}(\ln r)=\frac{d}{dr}(\ln r)\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{1}{r}\cdot \frac{x}{r}=\frac{x}{r^2}\end{array}$$

동일한 방법으로

$$\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{1}{r}\right)=-\frac{y}{r^3},\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{x}{r}\right)=-\frac{xy}{r^3},\frac{\partial }{\partial y}(\ln r)=\frac{y}{r^2}$$