텐서 표기법 (Tensor Notation) -기본
연속체역학(continuum mechanics) 이나 유한요소법(finite element method) 에서 많이 나오는 텐서(첨자 또는 아인슈타인) 표기법에 대해 알아본다. 총합 규약(Summation Convention) 하나의 항에 첨자가 두번 나오면 1에서 3까지 합을 나타낸다. \(a_ib_j\)는 단순히 벡터 \(\bf a\)의 i번째 성분과 j번째 성분의 곱이다. 하지만 \(a_ib_i\)는 완전히 다르다. i가 두번 나오므로 자동적으로 다음과 같이 확장된다. \(a_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\) 이는 벡터 \(\bf a, b\)의 내적을 나타낸다. 크로넥커 델타 (Kronecker Delta) 크로넥커 델타, \(\delta_{ij}\)는 단위행렬(identity matrix), \(\bf I\) 역할을 한다. 그 이유는 i=j 일 때는 \(\delta_{ij}=1\) 이고 그 외에 i≠j 일 때는 \(\delta_{ij}=0\) 이기 때문이다. 따라서 i, j 행열에서 대각 성분은 1 이고 비대각 성분은 0 이 된다. 순열 텐서 (Alternating Tensor) 순열 텐서 \(\epsilon_{ijk}\)는 ijk가 우순열이면 +1, 기순열이면 -1, 그 외의 경우는 0 이다. 벡터의 외적 \(\bf c=a\times b\)를 다음과 같이 나타낼 수 있다. \(\begin{split}c_i=&\epsilon_{ijk}a_jb_k\\=&\epsilon_{i11}a_1b_1+\epsilon_{i12}a_1b_2+\epsilon_{i13}a_1b_3+\\&\epsilon_{i21}a_2b_1+\epsilon_{i22}a_2b_2+\epsilon_{i23}a_2b_3+\\&\epsilon_{i31}a_3b_1+\epsilon_{i32}a_3b_2+\epsilon_{i33}a_3b_3\end{split}\) 위의 식은 아직 일반적이므로 벡터의 특정 성분을 계산하기 위해서는 i를 선택해야 한다