정적분
함수 f(x)는 폐구간 I=[a, b]에서 정의된 연속인 함수이고 구간 I에서 f(x)≥0 라고 가정한다.
y=f(x)의 그래프와 y축에 평행인 두 직선 x=a, x=b 및 x축으로 둘려 싸인 도형 F, 다시 말하면 부등식 a≤x≤b, 0≤y≤f(x)를 만족하는 점 (x,y)의 집합 F를 생각한다. 이 도형 F의 면적 A를 어떻게 구할 수 있는지 알아 보자.
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| 그림 1 |
위의 그림 1과 같이 구간 I=[a, b] 내부에 n-1 개의 점들을 다음과 같은 순으로 취한다.
\(a<x_1<x_2<\cdot\cdot\cdot<x_{i-1}<x_i<\cdot\cdot\cdot<x_{n-1}<b\)
이와 같은 분점을 취하는 방법을 구간 I=[a, b]의 하나의 분할 Δ라고 한다. 구간 I 안에 하나의 분할 Δ를 만들면 I는 n개의 소폐구간
\({\rm I}_1=[a,\,x_1],\,{\rm I}_2=[x_1,\,x_2],\,\cdot\cdot\cdot,\,{\rm I}_n=[x_{n-1},\,b]\)
으로 나누어진다.
이제 y=f(x)의 그래프와 두 직선 \(x=x_{i-1},\,x=x_i\) 및 x 축으로 둘러 싸인 도형 \({\rm F}_i\)의 면적을 \({\rm A}_i\)라 하고, 폐구간 \({\rm I}_i=[x_{i-1},\,x_i]\)에 있어서 f(x)의 최대값을 \({\rm M}_i\), 최소값을 \(m_i\)라 하자. 그림 1에서 구간 I 위에 있는 두 개의 직사각형 중 큰 것을 \(({\rm F}_i)_M\)라 하고, 작은 것을 \(({\rm F}_i)_m\)라 하면 포함 관계
\(({\rm F}_i)_m\subset{\rm F}_i\subset({\rm F}_i)_M\)
가 성립된다. 따라서 \(({\rm F}_i)_M\)의 면적을 \(({\rm A}_i)_M,\,({\rm F}_i)_m\)의 면적을 \(({\rm A}_i)_m\)라 하면
\(m_i(x_i-x_{i-1})\le{\rm A}_i\le{\rm M}_i(x_i-x_{i-1})\)
또 도형 F의 면적 A는
\(\begin{align}{\rm A}=\sum_{i=1}^n{\rm A}_i\end{align}\)
이므로, \(a=x_0,\,b=x_n\)라 두면
\(\begin{align}\sum_{i=1}^nm_i(x_i-x_{i-1})\le{\rm A}\le\sum_{i=1}^n{\rm M}(x_i-x_{i-1})\ \cdot\cdot\cdot(1)\end{align}\)
여기서 분할 Δ를 더욱 작게 할 때, 두 개의 합
\(\begin{align}\sum_{i=1}^nm_i(x_i-x_{i-1})\text{과}\ \sum_{i=1}^n{\rm M}(x_i-x_{i-1})\ \cdot\cdot\cdot(2)\end{align}\)
는 동일한 극한 S를 갖는다고 가정하면 부등식 (1)에서 A=S가 된다는 것을 분명하다.
여기서 \(\sum_{i=1}^nm_i(x_i-x_{i-1})\)과 \(\sum_{i=1}^n{\rm M}_i(x_i-x_{i-1})\)의 극한값은 다음과 같이 등식
\(\begin{align}\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nm_i(x_i-x_{i-1})=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n{\rm M}_i(x_i-x_{i-1})\ \cdot\cdot\cdot(3)\end{align}\)
가 성립되고, 처음에 생각한 도형 F의 면적 A가 확정되어, 그 값은 위의 등식의 공통값인 S가 된다. 이상이 평면도형 면적의 의미와 구하는 방법의 원리이다.
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| 그림 2 |
\(\begin{align}\sum_{i=1}^nm_i(x_i-x_{i-1})\le\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})\le\sum_{i=1}^n{\rm M}_i(x_i-x_{i-1})\end{align}\)
가 성립한다. 그러므로 등식 (3)이 성립할 때는, 각 소구간에서 임의로 선택한 \(\xi_i\)를 사용하여 만든 합 \({\rm S}_n=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})\)에 대한 극한
\(\begin{align}\lim_{n\to\infty}{\rm S}_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})\end{align}\)
은 존재하고, 그 극한값은 \(\xi_i\)를 선택하는 방법에 무관하다. 이것이 곧 평면도형의 면적을 구하는 방법이다.
지금까지 도형의 면적을 구하는 방법을 바탕으로 정적분의 개념을 정의해 보자.
구간 I=[a, b]에서 정의된 함수 f(x)가 주어졌다고 하자. 구간 I의 분할 Δ에서 얻어지는 각 소구간 \({\rm I}_i\) 안에 있는 임의의 수 \(\xi_i\)를 취하여, \(f(\xi_i)\)를 사용하여 만든 합 \({\rm S}_n=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})\)가 분할 Δ를 더 작게 해 갈 때, 그 극한값 S를 기호
\(\begin{align}{\rm S}=\int_a^bf(x)dx\end{align}\)
로 나타내고, 이 값 S를 f(x)의 구간 [a, b]에 있어서의 정적분이라 한다. 이 때 함수 f(x)는 구간 [a, b]에서 적분가능이라고 한다. 여기서 a와 b를 각각 적분의 상한과 하한이라 한다. 또 구간 [a, b]를 적분구간이라고 하고, \(\int_a^bf(x)dx\)를 f(x)의 a에서 b까지의 적분이라고도 한다.
위의 정의를 정확히 말하면 다음과 같다.
하나의 실수 S가 존재하고, 임의의 양수 ε에 대하여, 적당한 양수 δ를 택할 수 있어서
\(|x_i-x_{i-1}|<\delta\qquad(i=1,\,2,\,\cdot\cdot\cdot,\,n)\)
를 모든 i에 대해서 동시에 만족하는 구간 [a, b]의 임의의 분할과 각 소구간 \({\rm I}_i=[x_{i-1},\,x_i]\)에 속하는 임의의 수 \(\xi_i\)에 대해서
\(\begin{align}\left|\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})-{\rm S}\right|<\epsilon\end{align}\)
가 성립되면, 함수 f(x)는 구간 [a, b]에서 적분가능이고
\(\begin{align}{\rm S}=\int_a^bf(x)dx\end{align}\)
이다.
| 정리 1 폐구간 [a, b]에서 연속인 함수 f(x)는 항상 [a, b]에서 적분가능이다. |
[주의 1] 구간 I=[a, b]의 분할 Δ에 대해서 \(\Delta x_i=x_i-x_{i-1}\)라 두면, 분할 면적의 총합은
\(\begin{align}\text{S}_n=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i\ \cdot\cdot\cdot(4)\end{align}\)
로 나타내어, f(x)의 구간 [a, b]에서의 적분은
\(\begin{align}\int_a^bf(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i\end{align}\)
가 된다. 여기서 기호적으로만 말하면 다음 대응이 성립된다.
\(\begin{align}\sum_{i=1}^n\rightarrow\int_a^b\qquad\Delta x_i\rightarrow dx\end{align}\)
이것이 적분기호 \(\int_a^bdx\)의 기원이다. 기호 \(\int\)는 합을 의미하는 Sum의 첫글자 S를 아래위로 당겨 늘인 것이다. 또, 정적분의 정의에 의하며 \(\int_a^bf(x)dx\)는 , f(x)에, x에 대한 작은 구간의 길이 dx를 곱하여 얻어지는 무한소 f(x)dx를 근사하는 것이므로, 이것을 정적분의 근사합이라고도 한다.
[주의 2] 정적분 \(\int_a^bf(x)dx\)는 하나의 함수 f(x)와 a, b가 정해지면 그 값이 확정된다. 따라서 독립변수를 나타내는 분자 x를 다른 분자로 바꾸어도 정적분의 값은 변하지 않는다. 다시 말하면
\(\begin{align}\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(u)du=\int_a^bf(t)dt\end{align}\)
이 경우 x, u, t를 각각 적분변수라 한다. 반면에 부정적분 \(\int f(x)dx\)는 변수 x의 함수인 것에 주의를 해야 한다.
지금까지는 a<b 인 경우에 정적분 \(\int_a^bf(x)dx\)를 정의하였다. a≥b 인 경우에도, 정적분을 다음과 같이 정의한다.
\(\begin{align}\int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx\ \cdot\cdot\cdot(5)\end{align}\)
따라서
\(\begin{align}\int_a^af(x)dx=0\end{align}\)
| 정리 2 \(\begin{align}\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx\end{align}\) |
<증명> a<c<b 인 경우, 구간 [a, b]의 분할 가운데 \(x_k=c\) (0<k<n)와 같이 c가 하나의 분할점이 되어 있는 분할 Δ를 취하면
\(\begin{align}\text{S}_n=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})=\sum_{i=1}^kf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})+\sum_{i=k+1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})\end{align}\)
가 된다. 이와 같이 분할 Δ만을 생각해서, 분할을 더 작게 해 나가면 합 \(\text{S}_n=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})\)은 극한값 \(\int_a^bf(x)dx\)에 접근해 가고, 두 개의 합 \(\sum_{i=1}^kf(\xi_i)(x_i-x_{i-1}),\,\sum_{i=k+1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})\)은 각각 \(\int_a^cf(x)dx,\,\int_c^bf(x)dx\)에 접근해 간다. 따라서
\(\begin{align}\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx\ \ (a<c<b)\end{align}\)
를 얻는다.
다음에, a<b<c 인 경우는 위에서 증명한 것처럼
\(\begin{align}\int_a^cf(x)dx=\int_a^bf(x)dx+\int_b^cf(x)dx\end{align}\)
그런데 정의 (5)에 의하면, c>b 이므로 \(\int_b^cf(x)dx=-\int_c^bf(x)dx\)가 되어
\(\begin{align}\int_a^cf(x)dx=\int_a^bf(x)dx-\int_c^bf(x)dx\end{align}\)
가 되어
\(\begin{align}\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx\ \ (a<b<c)\end{align}\)
를 얻는다.
그 밖의 경우에도 같은 방법으로 증명된다.
| 정리 3 \(\begin{align}&(1)\ \int_a^bkf(x)dx=k\int_a^bf(x)dx\ \ (k\text{는 상수})\\&(2)\ \int_a^b\left\{f(x)\pm g(x)\right\}dx=\int_a^bf(x)dx\pm\int_a^bg(x)dx\ \ (\text{복호동순})\end{align}\) |
(1) 분할 Δ에 있어서 함수 kf(x)에 관한 합은 다음과 같이 변형된다.
\(\begin{align}\text{S}_n=\sum_{i=1}^n\left\{kf(\xi_i)\right\}\Delta x_i=k\left\{\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta_i\right\}\end{align}\)
여기서 분할 Δ를 작게하면 좌우 양변은 주어진 등식에 수렴한다.
(2) 분할 Δ에 있어서 함수 f(x)±g(x)에 관한 합은 다음과 같이 변형된다.
\(\begin{align}\text{S}_n=\sum_{i=1}^n\left\{f(\xi_i)\pm g(\xi_i)\right\}\Delta x_i=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i\pm\sum_{i=1}^ng(\xi_i)\Delta x_i\end{align}\)\
여기서 분할 Δ를 작게하면 좌우 양변은 주어진 등식에 수렴한다.
정리 3의 공식을 이용하면 다음 공식을 용이하게 증명할 수 있다.
\(\begin{split}&\int_a^b\left\{\alpha f(x)+\beta g(x)+\cdot\cdot\cdot+\gamma h(x)\right\}dx\\&=\alpha\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx+\cdot\cdot\cdot+\gamma\int_a^bh(x)dx\end{split}\)
여기서 α, β, …, γ는 상수이다.
| 정리 4 a<b 라 한다. \(\begin{align}&(1)\ f(x)\ge0\ \text{이면}\ \int_a^bf(x)dx\ge0\\&(2)\ \int_a^b|f(x)|dx\ge\left|\int_a^bf(x)dx\right|\\&(3)\ g(x)\ge f(x)\ \text{이면}\ \int_a^bg(x)dx\ge\int_a^bf(x)dx\end{align}\) |
<증명>
(1) 구간 [a, b]의 한 분할 Δ를 생각하면 가정에 의해 합 \(\text{S}_n=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta_i\)에서 \(f(\xi_i)\ge0\ (i=1,\,2,\,\cdot\cdot\cdot,\,n)\) 이다. 또 b>a 이므로, \(\Delta_i>0\ (i=1,\,2,\,\cdot\cdot\cdot,\,n)\) 이다. 그러므로 \(f(\xi_i)\Delta_i\ge0\) 이다. 따라서
\[\text{S}_n=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i\ge0\]
여기서 분할 Δ를 작게 하면
\[\int_a^bf(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i\ge0\]
(2) |f(x)|≥f(x)≥-|f(x)| 이다. 그러므로 (3)에 의해서
\[\int_a^b|f(x)|dx\ge\int_a^bf(x)dx\ge-\int_a^b|f(x)|dx\]
따라서 윗 식은 주어진 공식과 같은 부등식이므로 증명되었다.
(3) g(x)≥f(x) 이므로 g(x)-f(x)≥0. 그러므로 (1)과 정리 3을 이용하면 증명된다.
\[\int_a^b\left\{g(x)-f(x)\right\}dx=\int_a^bg(x)dx-\int_a^bf(x)dx\ge0\]
[예제 2] 다음 정적분의 값을 구하여라.
\[\int_0^1x^2dx\]
<풀이> 구간 [0, 1]을 n 등분해서 얻은 분할을 Δ라 하면, 분할 Δ에 관한 정적분 \(\int_0^1f(x)dx\)의 근사합은
\[\text{S}_n=\sum_{i=1}^nf(\xi_i){1\over n}=\sum_{i=1}^n\left({i\over n}\right)^2{1\over n}={1\over n^3}\sum_{i=1}^ni^2=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\]
이다(\(\sum_{i=1}^ni^2\) 공식은 자연수 거듭제곱의 합 참조).
다음의 정리는 적분의 평균치 정리라 한다.
| 정리 5 함수 f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속이면 개구간 (a, b) 위에 적당한 한 점 x=c가 존재해서 다음 관계식이 성립한다. \[\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)\] |
<증명> a=b 인 경우에는 c=a=b 라 하면 당연히 성립한다. 따라서 a<b 라 가정한다.
함수 f(x)는 폐구간 [a, b]에서 연속이므로, [a, b]에 있어서 최대값 M과 최소값 m이 존재한다. 그러므로 m≤f(x)≤M, a≤x≤b. 따라서 정리 4에 의해서
\[\begin{split}\int_a^bmdx\le\int_a^bf(x)dx\le\int_a^b\text{M}dx\\m(b-a)\le\int_a^bf(x)dx\le\text{M}(b-a)\\\therefore\ m\le\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx\le\text{M}\ (\because\ a<b)\end{split}\]
그런데 f(x)는 [a, b]에서 연속이므로 미분학에서의 중간값 정리에 의해서 m≤η≤M을 만족하는 임의의 η에 대하여, 개구간 (a, b) 안에 한 점 x=c가 존재하여 f(c)=η가 된다. 그러므로 위의 부등식에 의해서
\[f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx\]
가 되는 점 x=c가 개구간 (a, b) 안에 존재한다. 따라서 이 c에 대하여 정리 5의 관계식이 성립한다.
[주의 3] 적분의 평균치 정리는 f(x)≥0에 대해서 다음과 같은 의미를 갖고 있다.
다음과 같은 미적분학의 기본정리가 성립된다.
| 정리 6 함수 f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속이면 함수 \[\text{F}(x)=\int_a^bf(x)dx\] 이 개구간 (a, b)에서 미분가능이고 \[\frac{d\text{F}(x)}{dx}=f(x)\] |
<증명> h≠0 라 하고, x와 x+h를 (a, b) 위에 취한다. 정리 2에 의해서
\(\begin{align}{\rm F}(x+h)-{\rm F}(x)&=\int_a^{x+h}f(x)dx-\int_a^xf(x)dx\\&=\int_x^af(x)dx+\int_a^{x+h}f(x)dx\\&=\int_x^{x+h}f(x)dx\end{align}\)
그런데, 정리 5에 의하면 두 수 x와 x+h 사이에 적당한 수 x+θh (0<θ<1)가 존재해서
\(\begin{align}\int_x^{x+h}f(x)dx=f(x+\theta h)h\\\therefore\ \frac{{\rm F}(x+h)-{\rm F}(x)}{h}=f(x+\theta h)\end{align}\)
여기서 h→0라 하면 f(x)는 연속이므로 f(x+θh)→f(x). 따라서 위의 식을 이용하여
\(\begin{gather}\lim_{h\to\infty}\frac{{\rm F}(x+h)-{\rm F}(x)}{h}=f(x)\\\therefore\ \frac{d{\rm F}(x)}{dx}=f(x)\end{gather}\)
결국 F(x)는 (a, b)에서 미분가능이므로 F'(x)=f(x) 이다.
《문 제》
1. 다음 정적분을 구하여라.
\(\begin{align}(2)\ \int_0^1x^3dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(\xi_i){1\over n}=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\left({i\over n}\right)^3{1\over n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{2n}\right)^2={1\over4}\end{align}\)
2. 다음 부등식을 증명하여라.
\(\begin{align}&(1)\ \int_a^bf(x)dx\int_a^b\frac{dx}{f(x)}\ge(b-a)^2\\&(2)\ \sqrt{\int_a^b\left\{f(x)-g(x)\right\}^2dx}+\sqrt{\int_a^b\left\{g(x)-h(x)\right\}^2dx}\ge\sqrt{\int_a^b\left\{f(x)-h(x)\right\}^2dx}\end{align}\)
<증명>
(1) 평균치 정리에 의해
\(\begin{align}\int_a^bf(x)dx=f(c_1)(b-a),\quad\int_a^b\frac{dx}{f(x)}=\frac{b-a}{f(c_2)}\end{align}\)
한편 Schwarz의 부등식에 대입하고 평균치 정리를 적용하면
\(\begin{align}\left\{\int_a^bdx\right\}^2\le\int_a^b\left\{f(x)\right\}^2dx\int_a^b\frac{dx}{\left\{f(x)\right\}^2},\quad1\le\left\{\frac{f(c_1)}{f(c_2)}\right\}^2\end{align}\)
\(f(c_1)\)과 \(f(c_2)\)는 동일부호이므로 \(f(c_1)/f(c_2)\ge1\) 이다. 따라서
\(\begin{align}\int_a^bf(x)\int_a^b\frac{dx}{f(x)}=(b-a)^2\frac{f(c_1)}{f(c_2)}\ge(b-a)^2\end{align}\)
(2) F(x)=f(x)-g(x), G(x)=g(x)-h(x)라 두면 F(x)+G(x)=f(x)-h(x) 이다. 따라서 주어진 부등식은
\(\begin{align}\sqrt{\int_a^b\left\{F(x)\right\}^2dx}+\sqrt{\int_a^b\left\{G(x)\right\}^2dx}\ge\sqrt{\int_a^b\left\{F(x)+g(x)\right\}^2dx}\end{align}\)
Schwarz의 부등식에 대입하면
\(\begin{align}\left\{\int_a^bF(x)G(x)dx\right\}^2\le\int_a^b\left\{F(x)\right\}^2dx\int_a^b\left\{G(x)\right\}^2dx\end{align}\)
앞의 식의 좌변을 제곱하면 윗식에 의해 다음 부등식이 성립하므로 증명되었다.
\(\begin{align}&\int_a^b\left\{F(x)\right\}^2dx+2\sqrt{\int_a^b\left\{F(x)\right\}^2dx\int_a^b\left\{G(x)\right\}^2dx}+\int_a^b\left\{G(x)\right\}^2dx\\&\ge\int_a^b\left\{F(x)\right\}^2dx+2\int_a^bF(x)G(x)dx+\int_a^b\left\{G(x)\right\}^2dx\\&=\int_a^b\left\{F(x)+G(x)\right\}^2dx\end{align}\)
3. 함수 f(x)가 연속이라 하고, 다음 함수를 미분하여라.
\(\begin{align}(2)\ \frac{d}{dx}\int_{\sin x}^af(t)dt=-\frac{d}{dx}\int_a^{\sin x}f(t)dt=-f(\sin x)\frac{d}{dx}\sin x=-f(\sin x)\cos x\end{align}\)
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