정적분

함수 f(x)는 폐구간 I=[a, b]에서 정의된 연속인 함수이고 구간 I에서 f(x)≥0 라고 가정한다.

y=f(x)의 그래프와 y축에 평행인 두 직선 x=a, x=b 및 x축으로 둘려 싸인 도형 F, 다시 말하면 부등식 a≤x≤b, 0≤y≤f(x)를 만족하는 점 (x,y)의 집합 F를 생각한다. 이 도형 F의 면적 A를 어떻게 구할 수 있는지 알아 보자.

그림 1

위의 그림 1과 같이 구간 I=[a, b] 내부에 n-1 개의 점들을 다음과 같은 순으로 취한다.

$a<x_1<x_2<\cdot \cdot \cdot <x_{i-1}<x_i<\cdot \cdot \cdot <x_{n-1}<b$

이와 같은 분점을 취하는 방법을 구간 I=[a, b]의 하나의 분할 Δ라고 한다. 구간 I 안에 하나의 분할 Δ를 만들면 I는 n개의 소폐구간

${\mathrm{I}}_1=[a,x_1],{\mathrm{I}}_2=[x_1,x_2],\cdot \cdot \cdot ,{\mathrm{I}}_n=[x_{n-1},b]$

으로 나누어진다.

이제 y=f(x)의 그래프와 두 직선 $x=x_{i-1},x=x_i$ 및 x 축으로 둘러 싸인 도형 ${\mathrm{F}}_i$의 면적을 ${\mathrm{A}}_i$라 하고, 폐구간 ${\mathrm{I}}_i=[x_{i-1},x_i]$에 있어서 f(x)의 최대값을 ${\mathrm{M}}_i$, 최소값을 $m_i$라 하자. 그림 1에서 구간 I 위에 있는 두 개의 직사각형 중 큰 것을 $({\mathrm{F}}_i{)}_M$라 하고, 작은 것을 $({\mathrm{F}}_i{)}_m$라 하면 포함 관계

$({\mathrm{F}}_i{)}_m\subset {\mathrm{F}}_i\subset ({\mathrm{F}}_i{)}_M$

가 성립된다. 따라서 $({\mathrm{F}}_i{)}_M$의 면적을 $({\mathrm{A}}_i{)}_M,({\mathrm{F}}_i{)}_m$의 면적을 $({\mathrm{A}}_i{)}_m$라 하면

$m_i(x_i-x_{i-1})\le {\mathrm{A}}_i\le {\mathrm{M}}_i(x_i-x_{i-1})$

또 도형 F의 면적 A는

$\begin{array}{r}\mathrm{A}=\sum _{i=1}^n{\mathrm{A}}_i\end{array}$

이므로, $a=x_0,b=x_n$라 두면

$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^n{m}_i(x_i-x_{i-1})\le \mathrm{A}\le \sum _{i=1}^n\mathrm{M}(x_i-x_{i-1})\cdot \cdot \cdot (1)\end{array}$

여기서 분할 Δ를 더욱 작게 할 때, 두 개의 합

$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^n{m}_i(x_i-x_{i-1})\text{과}\sum _{i=1}^n\mathrm{M}(x_i-x_{i-1})\cdot \cdot \cdot (2)\end{array}$

는 동일한 극한 S를 갖는다고 가정하면 부등식 (1)에서 A=S가 된다는 것을 분명하다.

여기서 $\sum _{i=1}^n{m}_i(x_i-x_{i-1})$과 $\sum _{i=1}^n{\mathrm{M}}_i(x_i-x_{i-1})$의 극한값은 다음과 같이 등식

$\begin{array}{r}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n{m}_i(x_i-x_{i-1})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n{\mathrm{M}}_i(x_i-x_{i-1})\cdot \cdot \cdot (3)\end{array}$

가 성립되고, 처음에 생각한 도형 F의 면적 A가 확정되어, 그 값은 위의 등식의 공통값인 S가 된다. 이상이 평면도형 면적의 의미와 구하는 방법의 원리이다.

그림 2

도형의 면적을 구하는 방법을 일반적으로 변형시켜 보자. 구간 I 를 분할해서 얻은 소구간 ${\mathrm{I}}_i$에서 함수 f(x)의 최대값 ${\mathrm{M}}_i$와 최소값 $m_i$를 사용한 합 (2) 대신에, 각 소구간 ${\mathrm{I}}_i$에 포함된 임의의 수 ${\xi }_i$, 다시 말하면 부등식 $x_{i-1}\le {\xi }_i\le x_i$를 만족하는 임의의 ${\xi }_i$를 선택해서, $f({\xi }_i)$를 사용한 합 $\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$를 생각하면 부등식

$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^n{m}_i(x_i-x_{i-1})\le \sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})\le \sum _{i=1}^n{\mathrm{M}}_i(x_i-x_{i-1})\end{array}$

가 성립한다. 그러므로 등식 (3)이 성립할 때는, 각 소구간에서 임의로 선택한 ${\xi }_i$를 사용하여 만든 합 ${\mathrm{S}}_n=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$에 대한 극한

$\begin{array}{r}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{S}}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})\end{array}$

은 존재하고, 그 극한값은 ${\xi }_i$를 선택하는 방법에 무관하다. 이것이 곧 평면도형의 면적을 구하는 방법이다.

지금까지 도형의 면적을 구하는 방법을 바탕으로 정적분의 개념을 정의해 보자.

구간 I=[a, b]에서 정의된 함수 f(x)가 주어졌다고 하자. 구간 I의 분할 Δ에서 얻어지는 각 소구간 ${\mathrm{I}}_i$ 안에 있는 임의의 수 ${\xi }_i$를 취하여, $f({\xi }_i)$를 사용하여 만든 합 ${\mathrm{S}}_n=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$가 분할 Δ를 더 작게 해 갈 때, 그 극한값 S를 기호

$\begin{array}{r}\mathrm{S}={\int }_a^{b}f(x)dx\end{array}$

로 나타내고, 이 값 S를 f(x)의 구간 [a, b]에 있어서의 정적분이라 한다. 이 때 함수 f(x)는 구간 [a, b]에서 적분가능이라고 한다. 여기서 a와 b를 각각 적분의 상한과 하한이라 한다. 또 구간 [a, b]를 적분구간이라고 하고, ${\int }_a^{b}f(x)dx$를 f(x)의 a에서 b까지의 적분이라고도 한다.

위의 정의를 정확히 말하면 다음과 같다.

하나의 실수 S가 존재하고, 임의의 양수 ε에 대하여, 적당한 양수 δ를 택할 수 있어서

$|x_i-x_{i-1}|<\delta (i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,n)$

를 모든 i에 대해서 동시에 만족하는 구간 [a, b]의 임의의 분할과 각 소구간 ${\mathrm{I}}_i=[x_{i-1},x_i]$에 속하는 임의의 수 ${\xi }_i$에 대해서

$\begin{array}{r}|\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})-\mathrm{S}|<ϵ\end{array}$

가 성립되면, 함수 f(x)는 구간 [a, b]에서 적분가능이고

$\begin{array}{r}\mathrm{S}={\int }_a^{b}f(x)dx\end{array}$

이다.

정리 1  폐구간 [a, b]에서 연속인 함수 f(x)는 항상 [a, b]에서 적분가능이다.

[주의 1]  구간 I=[a, b]의 분할 Δ에 대해서 $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1}$라 두면, 분할 면적의 총합은

 $\begin{array}{r}{\text{S}}_n=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i\cdot \cdot \cdot (4)\end{array}$

로 나타내어, f(x)의 구간 [a, b]에서의 적분은

$\begin{array}{r}{\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i\end{array}$

가 된다. 여기서 기호적으로만 말하면 다음 대응이 성립된다.

$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^n\to {\int }_a^b\mathrm{\Delta }{x}_i\to dx\end{array}$

이것이 적분기호 ${\int }_a^{b}dx$의 기원이다. 기호 $\int$는 합을 의미하는 Sum의 첫글자 S를 아래위로 당겨 늘인 것이다. 또, 정적분의 정의에 의하며 ${\int }_a^{b}f(x)dx$는 , f(x)에, x에 대한 작은 구간의 길이 dx를 곱하여 얻어지는 무한소 f(x)dx를 근사하는 것이므로, 이것을 정적분의 근사합이라고도 한다.

[주의 2]  정적분 ${\int }_a^{b}f(x)dx$는 하나의 함수 f(x)와 a, b가 정해지면 그 값이 확정된다. 따라서 독립변수를 나타내는 분자 x를 다른 분자로 바꾸어도 정적분의 값은 변하지 않는다. 다시 말하면

$\begin{array}{r}{\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(u)du={\int }_a^{b}f(t)dt\end{array}$

이 경우 x, u, t를 각각 적분변수라 한다. 반면에 부정적분 $\int f(x)dx$는 변수 x의 함수인 것에 주의를 해야 한다.

지금까지는 a<b 인 경우에 정적분 ${\int }_a^{b}f(x)dx$를 정의하였다. a≥b 인 경우에도, 정적분을 다음과 같이 정의한다.

$\begin{array}{r}{\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx\cdot \cdot \cdot (5)\end{array}$

따라서

$\begin{array}{r}{\int }_a^{a}f(x)dx=0\end{array}$

정리 2  $\begin{array}{r}{\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx\end{array}$

<증명>  a<c<b 인 경우, 구간 [a, b]의 분할 가운데 $x_k=c$ (0<k<n)와 같이 c가 하나의 분할점이 되어 있는 분할 Δ를 취하면

$\begin{array}{r}{\text{S}}_n=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})=\sum _{i=1}^{k}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})+\sum _{i=k+1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})\end{array}$

가 된다. 이와 같이 분할 Δ만을 생각해서, 분할을 더 작게 해 나가면 합 ${\text{S}}_n=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$은 극한값 ${\int }_a^{b}f(x)dx$에 접근해 가고, 두 개의 합 $\sum _{i=1}^{k}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1}),\sum _{i=k+1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$은 각각 ${\int }_a^{c}f(x)dx,{\int }_c^{b}f(x)dx$에 접근해 간다. 따라서

$\begin{array}{r}{\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx(a<c<b)\end{array}$

를 얻는다.

다음에, a<b<c 인 경우는 위에서 증명한 것처럼

$\begin{array}{r}{\int }_a^{c}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx\end{array}$

그런데 정의 (5)에 의하면, c>b 이므로 ${\int }_b^{c}f(x)dx=-{\int }_c^{b}f(x)dx$가 되어

$\begin{array}{r}{\int }_a^{c}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx-{\int }_c^{b}f(x)dx\end{array}$

가 되어

$\begin{array}{r}{\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx(a<b<c)\end{array}$

를 얻는다.

그 밖의 경우에도 같은 방법으로 증명된다.

정리 3 $\begin{array}{rl}& (1){\int }_a^{b}kf(x)dx=k{\int }_a^{b}f(x)dx(k\text{는 상수})\\ & (2){\int }_a^b\{f(x)\pm g(x)\}dx={\int }_a^{b}f(x)dx\pm {\int }_a^{b}g(x)dx(\text{복호동순})\end{array}$

<증명>  구간 [a, b]의 한 분할을 Δ라 한다.

(1) 분할 Δ에 있어서 함수 kf(x)에 관한 합은 다음과 같이 변형된다.

$\begin{array}{r}{\text{S}}_n=\sum _{i=1}^n\{kf({\xi }_i)\}\mathrm{\Delta }{x}_i=k\{\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i){\mathrm{\Delta }}_i\}\end{array}$

여기서 분할 Δ를 작게하면 좌우 양변은 주어진 등식에 수렴한다.

(2) 분할 Δ에 있어서 함수 f(x)±g(x)에 관한 합은 다음과 같이 변형된다.

$\begin{array}{r}{\text{S}}_n=\sum _{i=1}^n\{f({\xi }_i)\pm g({\xi }_i)\}\mathrm{\Delta }{x}_i=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i\pm \sum _{i=1}^{n}g({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i\end{array}$\

여기서 분할 Δ를 작게하면 좌우 양변은 주어진 등식에 수렴한다.

정리 3의 공식을 이용하면 다음 공식을 용이하게 증명할 수 있다.

$\begin{array}{rl}& {\int }_a^b\{\alpha f(x)+\beta g(x)+\cdot \cdot \cdot +\gamma h(x)\}dx\\ & =\alpha {\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx+\cdot \cdot \cdot +\gamma {\int }_a^{b}h(x)dx\end{array}$

여기서 α, β, …, γ는 상수이다.

정리 4  a<b 라 한다. $\begin{array}{rl}& (1)f(x)\ge 0\text{이면}{\int }_a^{b}f(x)dx\ge 0\\ & (2){\int }_a^b|f(x)|dx\ge |{\int }_a^{b}f(x)dx|\\ & (3)g(x)\ge f(x)\text{이면}{\int }_a^{b}g(x)dx\ge {\int }_a^{b}f(x)dx\end{array}$

<증명>

(1) 구간 [a, b]의 한 분할 Δ를 생각하면 가정에 의해 합 ${\text{S}}_n=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i){\mathrm{\Delta }}_i$에서 $f({\xi }_i)\ge 0(i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,n)$ 이다. 또 b>a 이므로, ${\mathrm{\Delta }}_i>0(i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,n)$ 이다. 그러므로 $f({\xi }_i){\mathrm{\Delta }}_i\ge 0$ 이다. 따라서

$${\text{S}}_n=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i\ge 0$$

여기서 분할 Δ를 작게 하면

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i\ge 0$$

(2) |f(x)|≥f(x)≥-|f(x)| 이다. 그러므로 (3)에 의해서

$${\int }_a^b|f(x)|dx\ge {\int }_a^{b}f(x)dx\ge -{\int }_a^b|f(x)|dx$$

따라서 윗 식은 주어진 공식과 같은 부등식이므로 증명되었다.

(3) g(x)≥f(x) 이므로 g(x)-f(x)≥0. 그러므로 (1)과 정리 3을 이용하면 증명된다.

$${\int }_a^b\{g(x)-f(x)\}dx={\int }_a^{b}g(x)dx-{\int }_a^{b}f(x)dx\ge 0$$

[예제 2]  다음 정적분의 값을 구하여라.

$${\int }_0^1{x}^{2}dx$$

<풀이>  구간 [0, 1]을 n 등분해서 얻은 분할을 Δ라 하면, 분할 Δ에 관한 정적분 ${\int }_0^{1}f(x)dx$의 근사합은

$${\text{S}}_n=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\frac{1}{n}=\sum _{i=1}^n{\left(\frac{i}{n}\right)}^2\frac{1}{n}=\frac{1}{n^3}\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$$

이다($\sum _{i=1}^n{i}^2$ 공식은 자연수 거듭제곱의 합 참조).

n→∞ 라 하면 분할 Δ는 한없이 작게 되므로

$${\int }_0^1{x}^{2}dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\text{S}}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{6}(1+\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n})=\frac{1}{3}$$

다음의 정리는 적분의 평균치 정리라 한다.

정리 5  함수 f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속이면 개구간 (a, b) 위에 적당한 한 점 x=c가 존재해서 다음 관계식이 성립한다. $${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$$

<증명>  a=b 인 경우에는 c=a=b 라 하면 당연히 성립한다. 따라서 a<b 라 가정한다.

함수 f(x)는 폐구간 [a, b]에서 연속이므로, [a, b]에 있어서 최대값 M과 최소값 m이 존재한다. 그러므로 m≤f(x)≤M, a≤x≤b. 따라서 정리 4에 의해서

$$\begin{array}{r}{\int }_a^{b}mdx\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^b\text{M}dx\\ m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le \text{M}(b-a)\\ \therefore m\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx\le \text{M}(\because a<b)\end{array}$$

그런데 f(x)는 [a, b]에서 연속이므로 미분학에서의 중간값 정리에 의해서 m≤η≤M을 만족하는 임의의 η에 대하여, 개구간 (a, b) 안에 한 점 x=c가 존재하여 f(c)=η가 된다. 그러므로 위의 부등식에 의해서

$$f(c)=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$$

가 되는 점 x=c가 개구간 (a, b) 안에 존재한다. 따라서 이 c에 대하여 정리 5의 관계식이 성립한다.

[주의 3]  적분의 평균치 정리는 f(x)≥0에 대해서 다음과 같은 의미를 갖고 있다.

위의 그림에서 음영 도형의 면적은 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 인데, 이것이 직사각형 ABCD의 면적 f(c)(b-a)와 같게 되는 점 c가 두 점 a와 b 사이에 적어도 하나 존재한다. 이 정리는 연속이 아닌 함수 f(x)에 대해서는 일반적으로 성립하지 않는다.

다음과 같은 미적분학의 기본정리가 성립된다.

정리 6  함수 f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속이면 함수 $$\text{F}(x)={\int }_a^{b}f(x)dx$$ 이 개구간 (a, b)에서 미분가능이고 $$\frac{d\text{F}(x)}{dx}=f(x)$$

<증명>  h≠0 라 하고, x와 x+h를 (a, b) 위에 취한다. 정리 2에 의해서

$\begin{array}{rl}\mathrm{F}(x+h)-\mathrm{F}(x)& ={\int }_a^{x+h}f(x)dx-{\int }_a^{x}f(x)dx\\ & ={\int }_x^{a}f(x)dx+{\int }_a^{x+h}f(x)dx\\ & ={\int }_x^{x+h}f(x)dx\end{array}$

그런데, 정리 5에 의하면 두 수 x와 x+h 사이에 적당한 수 x+θh (0<θ<1)가 존재해서

$\begin{array}{r}{\int }_x^{x+h}f(x)dx=f(x+\theta h)h\\ \therefore \frac{\mathrm{F}(x+h)-\mathrm{F}(x)}{h}=f(x+\theta h)\end{array}$

여기서 h→0라 하면 f(x)는 연속이므로 f(x+θh)→f(x). 따라서 위의 식을 이용하여

$\begin{array}{c}\underset{h\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\mathrm{F}(x+h)-\mathrm{F}(x)}{h}=f(x)\\ \therefore \frac{d\mathrm{F}(x)}{dx}=f(x)\end{array}$

결국 F(x)는 (a, b)에서 미분가능이므로 F'(x)=f(x) 이다.

《문      제》

1. 다음 정적분을 구하여라.

$\begin{array}{r}(1){\int }_0^{2}xdx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\frac{1}{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n\left(\frac{i}{n}\right)\frac{1}{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}\end{array}$
$\begin{array}{r}(2){\int }_0^1{x}^{3}dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\frac{1}{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n{\left(\frac{i}{n}\right)}^3\frac{1}{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{n+1}{2n}\right)}^2=\frac{1}{4}\end{array}$

2. 다음 부등식을 증명하여라.

$\begin{array}{rl}& (1){\int }_a^{b}f(x)dx{\int }_a^b\frac{dx}{f(x)}\ge (b-a{)}^2\\ & (2)\sqrt{{\int }_a^b{\{f(x)-g(x)\}}^{2}dx}+\sqrt{{\int }_a^b{\{g(x)-h(x)\}}^{2}dx}\ge \sqrt{{\int }_a^b{\{f(x)-h(x)\}}^{2}dx}\end{array}$

<증명>

(1) 평균치 정리에 의해

$\begin{array}{r}{\int }_a^{b}f(x)dx=f(c_1)(b-a),{\int }_a^b\frac{dx}{f(x)}=\frac{b-a}{f(c_2)}\end{array}$

한편 Schwarz의 부등식에 대입하고 평균치 정리를 적용하면

$\begin{array}{r}{\left\{{\int }_a^{b}dx\right\}}^2\le {\int }_a^b{\{f(x)\}}^{2}dx{\int }_a^b\frac{dx}{{\{f(x)\}}^2},1\le {\left\{\frac{f(c_1)}{f(c_2)}\right\}}^2\end{array}$

$f(c_1)$과 $f(c_2)$는 동일부호이므로 $f(c_1)/f(c_2)\ge 1$ 이다. 따라서

$\begin{array}{r}{\int }_a^{b}f(x){\int }_a^b\frac{dx}{f(x)}=(b-a{)}^2\frac{f(c_1)}{f(c_2)}\ge (b-a{)}^2\end{array}$

(2) F(x)=f(x)-g(x), G(x)=g(x)-h(x)라 두면 F(x)+G(x)=f(x)-h(x) 이다. 따라서 주어진 부등식은

$\begin{array}{r}\sqrt{{\int }_a^b{\{F(x)\}}^{2}dx}+\sqrt{{\int }_a^b{\{G(x)\}}^{2}dx}\ge \sqrt{{\int }_a^b{\{F(x)+g(x)\}}^{2}dx}\end{array}$

Schwarz의 부등식에 대입하면

$\begin{array}{r}{\{{\int }_a^{b}F(x)G(x)dx\}}^2\le {\int }_a^b{\{F(x)\}}^{2}dx{\int }_a^b{\{G(x)\}}^{2}dx\end{array}$

앞의 식의 좌변을 제곱하면 윗식에 의해 다음 부등식이 성립하므로 증명되었다.

$\begin{array}{rl}& {\int }_a^b{\{F(x)\}}^{2}dx+2\sqrt{{\int }_a^b{\{F(x)\}}^{2}dx{\int }_a^b{\{G(x)\}}^{2}dx}+{\int }_a^b{\{G(x)\}}^{2}dx\\ & \ge {\int }_a^b{\{F(x)\}}^{2}dx+2{\int }_a^{b}F(x)G(x)dx+{\int }_a^b{\{G(x)\}}^{2}dx\\ & ={\int }_a^b{\{F(x)+G(x)\}}^{2}dx\end{array}$

3. 함수 f(x)가 연속이라 하고, 다음 함수를 미분하여라.

$\begin{array}{r}(1)\frac{d}{dx}{\int }_0^{x^2}f(t)dt=f(x^2)\frac{d}{dx}{x}^2=2xf(x^2)\end{array}$
$\begin{array}{r}(2)\frac{d}{dx}{\int }_{\sin x}^{a}f(t)dt=-\frac{d}{dx}{\int }_a^{\sin x}f(t)dt=-f(\sin x)\frac{d}{dx}\sin x=-f(\sin x)\cos x\end{array}$

$\begin{array}{rl}(3)\frac{d}{dx}{\int }_a^x(x-t)f(t)dt& =\frac{d}{dx}\{x{\int }_a^{x}f(t)dt-{\int }_a^{x}tf(t)dt\}={\int }_a^{x}f(t)dt+xf(x)-xf(x)\\ & ={\int }_a^{x}f(t)dt\end{array}$