함수의 연속성

정의 1 (함수의 연속) 함수 f가 다음 세 성질을 만족할 때 x=a 에서 연속(連續)이라 한다.

(1) f는 a에서 정의되어 있고,

(2) $\underset{x\to a}{lim}f(x)$가 존재하고,

(3) $\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$ 이다.

이 정의에 의하면 x→a 일 때 f(x)→f(a) 임을 뜻하므로 ε-δ법으로도 정의할 수 있다.

ε-δ법에 의한 정의

함수 f의 정의역내의 한 점을 a라 한다.
임의의 ε>0에 대하여 적당한 δ>0 이 존재하여

|x-a|<δ 일 때 |f(x)<f(a)|<ε

이면 f는 x=a에서 연속이라 한다.

이것을 기호로 ∀ε>0, ∃δ>0

|x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε

와 같이 나타낸다.

또, 폐구간 [a, b]에서 정의된 함수 f가 a 또는 b에서 연속이라 함은 각각

$$\underset{x\to a+0}{lim}f(x)=f(a),\underset{x\to b-0}{lim}=f(b)$$

를 뜻한다.

함수 f의 정의역내의 점 a 또는 b에서 위의 성질이 성립되면 f는 각각 a에서 우연속(右連續), b에서 좌연속(左連續)이라 한다. f가 c의 근방을 포함하는 구간에서 정의되어 있을 때 c에서 연속이라 함은 c에서 우 및 좌연속인 것이다.

정의 2 (불연속) 함수 f가 그 정의역내의 점 a에서 연속이 아닐 때 x=a에서 불연속(不連續)이라 한다.

정의 3 (연속함수) 함수 f가 그 정의역내의 모든 점에서 연속일 때 f를 연속함수(連續函數)라 한다.

[예제 1] f(x)=px+q (p, q는 상수)로 정의된 함수 f는 임의의 실수 a에서 연속임을 보여라.

<증명> 정의역은 -∞<x<∞ 이다. |f(x)-f(a)|=|p(x-a)|=|p||x-a| 이므로 p=0 일 때는 δ는 임의의 양수이면 된다. p≠0 일 때는 |f(x)-f(a)|=|p||x-a|<ε 이면 되므로 임의의 양수 ε에 대하여

$$\begin{array}{rl}& p=0\text{일 때}\delta =ϵ\\ & p\ne 0\text{일 때}\delta =\frac{ϵ}{|p|}\end{array}$$

라 하면

|x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε.

따라서 임의의 실수 a에서 f는 연속이다.

[예제 2] $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1& (x\ge 0)\\ -x-1& (x<0)\end{array}$
일 때 다음 각 구간에서 f의 연속성을 조사하여라.

(1) -∞<x<∞     (2) -1<x<1     (3) 0≤x     (4) x≤0

<풀이> x≠0 일 때는 일차함수이므로 분명히 연속이다. 그러나 x=0 에서는

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to +0}{lim}f(x)=1=f(0)\text{(우연속)},\\ & \underset{x\to -0}{lim}f(x)=-1\ne f(0).\end{array}$$

따라서 (1), (2), (4)의 경우는 x=0에서 불연속이고, (3)의 경우는 x=0에서 연속이다.

함수의 연속성을 조사할 때 모두 정의에 의해서 증명하면 번거로우므로 극한의 경우와 같이 기본적인 함수의 연속성에서 합, 차, 곱, 몫의 연속성을 유도하면 편리하다. 증명은 극한의 경우와 유사하므로 생략한다.

정리 1  함수 f, g가 x=a에서 연속이면 함수 (1) f+g          (2) fg 도 x=a에서 연속이다.

계  함수 f, g는 x=a에서 연속, k는 상수일 때 함수

(1) kf          (2) f-g

는 x=a 에서 연속이다.

정리 2  함수 g가 x=a에서 연속이고, g(a)≠0 이면 1/g도 x=a에서 연속이다.

계  함수 f, g는 x=a에서 연속이고, g(a)≠0 이면 함수 f/g는 x=a에서 연속이다.

정리 3  함수 f, g가 각각 a 및 b=f(a)에서 연속이면 합성함수 $g\circ f$는 a에서 연속이다.

계  f, g가 각 정의역에서 연속함수이면 합성함수 $g\circ f$는 그 정의역에서 연속함수이다.

위와 극한의 정리들로부터 간단한 함수의 연속성에 대하여 알아본다.

(1) 상수함수 f(x)=c는 모든 실수에서 연속이다.
(2) 항등함수 f(x)=x는 모든 실수에서 연속이다.

(3) $f(x)=x^n$ 이면 f는 모든 실수에서 연속이다.

(4) $f(x)=\frac{1}{x}$ 이면 f는 정의역내의 모든 점에서 연속이다.

(5) $f(x)=\frac{1}{x^n}$ 이면 f는 정의역내의 모든 점에서 연속이다.

(6) $f(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n(a_0,a_1,\cdots ,a_n\text{은 상수})$이라 할 때 f는 모든 실수에서 연속이다.

(7) $a_0,a_1,\cdots ,a_n,b_0,b_1,\cdots ,b_m$은 상수이고, $f(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n,g(x)=b_0{x}^n+b_1{x}^{n-1}+\cdots +b_m$ 이라 할 때 $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ 라 하면 함수 h는 g(x)≠0인 모든 점에서 연속이다.

(8) $f(x)=\sqrt{x}$라 할 때 함수 f는 x≥0인 모든 점에서 연속이다.

[예제 3] f(x)=[x]라 할 때 f는 x=n(정수)에서 불연속, 기타의 점에서는 연속임을 보여라.

<풀이> $[x]=\{\begin{array}{lll}& n& (n\le x<n+1)\\ & n-1& (n-1\le x<n)\end{array}$
이므로

$$\underset{x\to n+0}{lim}f(x)=n,\underset{x\to n-0}{lim}f(x)=n-1$$

따라서 x→n 일 때 f의 극한은 존재하지 않는다. 곧 f는 x=n에서 불연속이다.

한편 n<x<n+1 일 때는 f(x)=n(일정)이므로 (1)에 의하여 연속이다.

[예제 4] Dirichlet의 함수 f 곧,
$$f(x)=\{\begin{array}{l}1(x\text{가 유리수일 때})\\ 0(x\text{가 무리수일 때})\end{array}$$
는 모든 점에서 불연속임을 보여라.

<풀이> a를 임의의 실수라 하고, 0<ε<1 이 주어졌다고 하자.  어떤 δ>0를 취해도 a의 δ-근방
$${\mathbf{N}}_{\delta }=x||x-a|<\delta$$

는 유리수도 무리수도 포함하고 있다. 따라서

a가 유리수이면 무리수 $x\in {\mathbf{N}}_{\delta }$를 택하고

a가 무리수이면 유리수 $x\in {\mathbf{N}}_{\delta }$를 택하면

|f(x)-f(a)|=1>ε.

∴ f는 모든 점에서 불연속이다.

[예제 5] $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-1}{x(x-1)}& (x\ne 1)\\ 2& (x=1)\end{array}$
일 때 f의 연속성을 조사하여라.

<풀이> x≠1 일 때

$$\underset{x\to 1}{lim}f(x)=\underset{x\to 1}{lim}\frac{x+1}{x}=2.$$

또, 정의에 의하여 f(1)=2 이므로 f는 x=1에서 연속이다. 이 함수의 정의역은 x=0를 제외한 모든 실수이므로 정의역내 모든 점에서 f는 연속이다.

[예제 6] f(x)=sin x 일 때 f는 모든 점에서 연속임을 보여라.

<증명> 삼각함수의 극한 예제 1로부터 0<|θ|<π/2 일 때 0<|sinθ|<|θ|.
따라서 a를 임의의 실수라 하면 삼각함수 항등식에 의하여

$$\begin{array}{rl}|f(x)-f(a)|& =|\sin x-\sin a|\\ & =|2\cos \frac{x+a}{2}\sin \frac{x-a}{2}|\\ & \le |\sin \frac{x-a}{2}|<2\left|\frac{x-a}{2}\right|=|x-a|\end{array}$$

임의의 ε>0에 대하여 δ=ε 이라 하면 위의 식에 의하여 0<|x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε.

$$\therefore \underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$$

곧, f는 임의의 점 a에서 연속이다.

g(x)=cos x 도 cos x=sin(π/2-x) 이므로 연속함수이다.

《문     제》

1. tan x, cot x, sec x, csc x의 연속성을 조사하여라.

<풀이>
tan x : $x=\frac{2n-1}{2}\pi$(이하 n은 정수)에서 정의되지 않으므로 불연속이다.

cot x : $x=n\pi ,\frac{2n-1}{2}\pi$에서 정의되지 않으므로 불연속이다.

sec x : $x=\frac{2n-1}{2}\pi$에서 정의되지 않으므로 불연속이다.

csc x : $x=n\pi$에서 정의되지 않으므로 불연속이다.

2. f(x)=x-[x] 일 때 f는 x=n(정수)에서 불연속임을 보여라.

<풀이> $\underset{x\to n+0}{lim}f(x)=0,\underset{x\to n-0}{lim}f(x)=1.$

따라서 x→n 일 때 f의 극한은 존재하지 않는다. 곧 f는 x=n에서 불연속이다.

3. 다음 식으로 정의된 함수 f의 a에서의 연속성을 조사하여라.
$(1)f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x(x+1)}{x^2-1}& (x\ne -1)\\ \frac{1}{2}& (x=-1)\end{array}a=-1$
$(2)f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x(x+1)}{x^2-1}& (x\ne 1)\\ \frac{1}{2}& (x=1)\end{array}a=1$
$(3)f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x(x+2)}{x^2-4}& (x\ne -2)\\ \frac{1}{2}& (x=-2)\end{array}a=-2$
$(4)f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x(x+2)}{x^2-4}& (x\ne -2)\\ \frac{1}{2}& (x=-2)\end{array}a=2$

<풀이>
$(1)\underset{x\to -1}{lim}f(x)=\underset{x\to -1}{lim}\frac{x}{x-1}=\frac{1}{2}=f(-1):\text{연속}$

$(2)\underset{x\to 1+0}{lim}f(x)=\underset{x\to 1+0}{lim}\frac{x}{x-1}=\mathrm{\infty },\underset{x\to 1-0}{lim}\frac{x}{x-1}=-\mathrm{\infty }:\text{불연속}$

$(3)\underset{x\to -2}{lim}f(x)=\underset{x\to -2}{lim}\frac{x}{x-2}=\frac{1}{2}=f(-2):\text{연속}$

$(4)x=2\text{에서 함수가 정의되어 있지 않음:불연속}$

4. 개구간 (a-r, a+r)에서 정의된 함수 f가 x=a에서 연속이고, f(a)≠0 일 때 적당한 δ>0을 택하면 |x-a|<δ인 모든 x에 대하여 f(x)가 같은 부호를 가지도록 할 수 있음을 보여라.

<풀이> 가정에 의하여 임의의 ε>0에 대하여 적당한 δ>0가 존재하고 |x-a|<δ인 x에 대하여 |f(x)-f(a)|<ε 이다. 이 때 ε=|f(a)|/2로 놓으면

f(x)-f(a)>0 이고 f(a)>0 일 때 0<f(x)-f(a)<  f(a)/2 이므로 0<f(a)<f(x)<3f(a)/2.
f(x)-f(a)>0 이고 f(a)<0 일 때 0<f(x)-f(a)<-f(a)/2 이므로 f(a)<f(x)<f(a)/2<0.

f(x)-f(a)<0 이고 f(a)>0 일 때 0>f(x)-f(a)>-f(a)/2 이므로 f(a)>f(x)>f(a)/2>0.

f(x)-f(a)<0 이고 f(a)<0 일 때 0>f(x)-f(a)>  f(a)/2 이므로 0>f(a)>f(x)>3f(a)/2.

위의 사실들로부터 f(x)와 f(a)는 같은 부호로 할 수 있다.

5. $f(x)=x^2+\frac{x^2}{1+x^2}+\frac{x^2}{(1+x^2{)}^2}+\cdots +\frac{x^2}{(1+x^2{)}^n}+\cdots$ 으로 정의된 함수 f는 x=0에서 불연속임을 보여라.

<풀이> 함수 f(x)는 초항이 $a=x^2$, 공비가 $r=1+x^2$ 인 등비수열의 무한한 합이므로
${\mathrm{S}}_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}=1+x^2-\frac{1}{(1+x^2{)}^{n-1}},$

$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{1+x^2-\frac{1}{(1+x^2{)}^{n-1}}\}=\{\begin{array}{ll}0& (x=0)\\ 1+x^2& (x\ne 0)\end{array}$

$\underset{x\to 0}{lim}(1+x^2)=1\ne f(0).$ 곧, f는 x=0에서 불연속이다.

6. 함수 f는
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x& (0\le x\le 1)\\ c-2x& (1<x\le 2)\end{array}$$
로 정의되어 있다. 이 함수가 x=1에서 연속이 되도록 c의 값을 정하여라.

<풀이> $\underset{x\to 1-0}{lim}f(x)=\underset{x\to 1-0}{lim}2x=2,\underset{x\to 1+0}{lim}f(x)=\underset{x\to 1+0}{lim}(c-2x)=c-2.$
x=1에서 연속이기 위해서는 $\underset{x\to 1-0}{lim}f(x)=\underset{x\to 1+0}{lim}f(x)$이 되어야 한다.
$\therefore c=4.$