함수의 연속성

정의 1 (함수의 연속) 함수 f가 다음 세 성질을 만족할 때 x=a 에서 연속(連續)이라 한다.

(1) f는 a에서 정의되어 있고,

(2) \(\lim_{x\to a}f(x)\)가 존재하고,

(3) \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\) 이다.

이 정의에 의하면 x→a 일 때 f(x)→f(a) 임을 뜻하므로 ε-δ법으로도 정의할 수 있다.

ε-δ법에 의한 정의

함수 f의 정의역내의 한 점을 a라 한다.
임의의 ε>0에 대하여 적당한 δ>0 이 존재하여

|x-a|<δ 일 때 |f(x)<f(a)|<ε

이면 f는 x=a에서 연속이라 한다.

이것을 기호로 ∀ε>0, ∃δ>0

|x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε

와 같이 나타낸다.

또, 폐구간 [a, b]에서 정의된 함수 f가 a 또는 b에서 연속이라 함은 각각

\[\lim_{x\to a+0}f(x)=f(a),\quad\lim_{x\to b-0}=f(b)\]

를 뜻한다.

함수 f의 정의역내의 점 a 또는 b에서 위의 성질이 성립되면 f는 각각 a에서 우연속(右連續), b에서 좌연속(左連續)이라 한다. f가 c의 근방을 포함하는 구간에서 정의되어 있을 때 c에서 연속이라 함은 c에서 우 및 좌연속인 것이다.

정의 2 (불연속) 함수 f가 그 정의역내의 점 a에서 연속이 아닐 때 x=a에서 불연속(不連續)이라 한다.

정의 3 (연속함수) 함수 f가 그 정의역내의 모든 점에서 연속일 때 f를 연속함수(連續函數)라 한다.

[예제 1] f(x)=px+q (p, q는 상수)로 정의된 함수 f는 임의의 실수 a에서 연속임을 보여라.

<증명> 정의역은 -∞<x<∞ 이다. |f(x)-f(a)|=|p(x-a)|=|p||x-a| 이므로 p=0 일 때는 δ는 임의의 양수이면 된다. p≠0 일 때는 |f(x)-f(a)|=|p||x-a|<ε 이면 되므로 임의의 양수 ε에 대하여

\[\begin{align}&p=0\ \text{일 때}\ \delta=\epsilon\\&p\ne0\ \text{일 때}\ \delta={\epsilon\over|p|}\end{align}\]

라 하면

|x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε.

따라서 임의의 실수 a에서 f는 연속이다.

[예제 2] \(f(x)=\begin{cases}\ \ \ x+1&\ (x\ge0)\\-x-1&\ (x<0)\end{cases}\)
일 때 다음 각 구간에서 f의 연속성을 조사하여라.

(1) -∞<x<∞     (2) -1<x<1     (3) 0≤x     (4) x≤0

<풀이> x≠0 일 때는 일차함수이므로 분명히 연속이다. 그러나 x=0 에서는

\[\begin{align}&\lim_{x\to+0}f(x)=1=f(0)\ \text{(우연속)},\\&\lim_{x\to-0}f(x)=-1\ne f(0).\end{align}\]

따라서 (1), (2), (4)의 경우는 x=0에서 불연속이고, (3)의 경우는 x=0에서 연속이다.

함수의 연속성을 조사할 때 모두 정의에 의해서 증명하면 번거로우므로 극한의 경우와 같이 기본적인 함수의 연속성에서 합, 차, 곱, 몫의 연속성을 유도하면 편리하다. 증명은 극한의 경우와 유사하므로 생략한다.

정리 1  함수 f, g가 x=a에서 연속이면 함수 (1) f+g          (2) fg 도 x=a에서 연속이다.

계  함수 f, g는 x=a에서 연속, k는 상수일 때 함수

(1) kf          (2) f-g

는 x=a 에서 연속이다.

정리 2  함수 g가 x=a에서 연속이고, g(a)≠0 이면 1/g도 x=a에서 연속이다.

계  함수 f, g는 x=a에서 연속이고, g(a)≠0 이면 함수 f/g는 x=a에서 연속이다.

정리 3  함수 f, g가 각각 a 및 b=f(a)에서 연속이면 합성함수 \(g\circ f\)는 a에서 연속이다.

계  f, g가 각 정의역에서 연속함수이면 합성함수 \(g\circ f\)는 그 정의역에서 연속함수이다.

위와 극한의 정리들로부터 간단한 함수의 연속성에 대하여 알아본다.

(1) 상수함수 f(x)=c는 모든 실수에서 연속이다.
(2) 항등함수 f(x)=x는 모든 실수에서 연속이다.

(3) \(f(x)=x^n\) 이면 f는 모든 실수에서 연속이다.

(4) \(f(x)={1\over x}\) 이면 f는 정의역내의 모든 점에서 연속이다.

(5) \(f(x)={1\over x^n}\) 이면 f는 정의역내의 모든 점에서 연속이다.

(6) \(f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n(a_0,\,a_1,\,\cdots,\,a_n\text{은 상수})\)이라 할 때 f는 모든 실수에서 연속이다.

(7) \(a_0,\,a_1,\,\cdots,\,a_n,\,b_0,\,b_1,\,\cdots,\,b_m\)은 상수이고, \(f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n,\,g(x)=b_0x^n+b_1x^{n-1}+\cdots+b_m\) 이라 할 때 \(h(x)={f(x)\over g(x)}\) 라 하면 함수 h는 g(x)≠0인 모든 점에서 연속이다.

(8) \(f(x)=\sqrt{x}\)라 할 때 함수 f는 x≥0인 모든 점에서 연속이다.

[예제 3] f(x)=[x]라 할 때 f는 x=n(정수)에서 불연속, 기타의 점에서는 연속임을 보여라.

<풀이> \([x]=\begin{cases}&n&(n\le x<n+1)\\&n-1&(n-1\le x<n)\end{cases}\)
이므로

\[\lim_{x\to n+0}f(x)=n,\quad\lim_{x\to n-0}f(x)=n-1\]

따라서 x→n 일 때 f의 극한은 존재하지 않는다. 곧 f는 x=n에서 불연속이다.

한편 n<x<n+1 일 때는 f(x)=n(일정)이므로 (1)에 의하여 연속이다.

[예제 4] Dirichlet의 함수 f 곧,
\[f(x)=\begin{cases}1\ (x\text{가 유리수일 때})\\0\ (x\text{가 무리수일 때})\end{cases}\]
는 모든 점에서 불연속임을 보여라.

<풀이> a를 임의의 실수라 하고, 0<ε<1 이 주어졌다고 하자.  어떤 δ>0를 취해도 a의 δ-근방
\[{\bf N}_\delta={x||x-a|<\delta}\]

는 유리수도 무리수도 포함하고 있다. 따라서

a가 유리수이면 무리수 \(x\in {\bf N}_\delta\)를 택하고

a가 무리수이면 유리수 \(x\in {\bf N}_\delta\)를 택하면

|f(x)-f(a)|=1>ε.

∴ f는 모든 점에서 불연속이다.

[예제 5] \(f(x)=\begin{cases}\frac{x^2-1}{x(x-1)}&(x\ne1)\\2&(x=1)\end{cases}\)
일 때 f의 연속성을 조사하여라.

<풀이> x≠1 일 때

\[\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}{x+1\over x}=2.\]

또, 정의에 의하여 f(1)=2 이므로 f는 x=1에서 연속이다. 이 함수의 정의역은 x=0를 제외한 모든 실수이므로 정의역내 모든 점에서 f는 연속이다.

[예제 6] f(x)=sin x 일 때 f는 모든 점에서 연속임을 보여라.

<증명> 삼각함수의 극한 예제 1로부터 0<|θ|<π/2 일 때 0<|sinθ|<|θ|.
따라서 a를 임의의 실수라 하면 삼각함수 항등식에 의하여

\[\begin{split}|f(x)-f(a)|&=|\sin x-\sin a|\\&=\left|2\cos{x+a\over2}\sin{x-a\over2}\right|\\&\le\left|\sin{x-a\over2}\right|<2\left|x-a\over2\right|=|x-a|\end{split}\]

임의의 ε>0에 대하여 δ=ε 이라 하면 위의 식에 의하여 0<|x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε.

\[\therefore\ \lim_{x\to a}f(x)=f(a)\]

곧, f는 임의의 점 a에서 연속이다.

g(x)=cos x 도 cos x=sin(π/2-x) 이므로 연속함수이다.

《문     제》

1. tan x, cot x, sec x, csc x의 연속성을 조사하여라.

<풀이>
tan x : \(x={2n-1\over2}\pi\)(이하 n은 정수)에서 정의되지 않으므로 불연속이다.

cot x : \(x=n\pi,\,{2n-1\over2}\pi\)에서 정의되지 않으므로 불연속이다.

sec x : \(x={2n-1\over2}\pi\)에서 정의되지 않으므로 불연속이다.

csc x : \(x=n\pi\)에서 정의되지 않으므로 불연속이다.

2. f(x)=x-[x] 일 때 f는 x=n(정수)에서 불연속임을 보여라.

<풀이> \(\lim_{x\to n+0}f(x)=0,\,\lim_{x\to n-0}f(x)=1.\)

따라서 x→n 일 때 f의 극한은 존재하지 않는다. 곧 f는 x=n에서 불연속이다.

3. 다음 식으로 정의된 함수 f의 a에서의 연속성을 조사하여라.
\((1)\ f(x)=\begin{cases}{x(x+1)\over x^2-1}&(x\ne-1)\\{1\over2}&(x=-1)\end{cases}\quad a=-1\)
\((2)\ f(x)=\begin{cases}{x(x+1)\over x^2-1}&(x\ne1)\\{1\over2}&(x=1)\end{cases}\quad a=1\)
\((3)\ f(x)=\begin{cases}{x(x+2)\over x^2-4}&(x\ne-2)\\{1\over2}&(x=-2)\end{cases}\quad a=-2\)
\((4)\ f(x)=\begin{cases}{x(x+2)\over x^2-4}&(x\ne-2)\\{1\over2}&(x=-2)\end{cases}\quad a=2\)

<풀이>
\((1)\ \lim_{x\to-1}f(x)=\lim_{x\to-1}{x\over x-1}={1\over2}=f(-1):\text{연속}\)

\((2)\ \lim_{x\to1+0}f(x)=\lim_{x\to1+0}{x\over x-1}=\infty,\,\lim_{x\to1-0}{x\over x-1}=-\infty:\text{불연속}\)

\((3)\ \lim_{x\to-2}f(x)=\lim_{x\to-2}{x\over x-2}={1\over2}=f(-2):\text{연속}\)

\((4)\ x=2\text{에서 함수가 정의되어 있지 않음:불연속}\)

4. 개구간 (a-r, a+r)에서 정의된 함수 f가 x=a에서 연속이고, f(a)≠0 일 때 적당한 δ>0을 택하면 |x-a|<δ인 모든 x에 대하여 f(x)가 같은 부호를 가지도록 할 수 있음을 보여라.

<풀이> 가정에 의하여 임의의 ε>0에 대하여 적당한 δ>0가 존재하고 |x-a|<δ인 x에 대하여 |f(x)-f(a)|<ε 이다. 이 때 ε=|f(a)|/2로 놓으면

f(x)-f(a)>0 이고 f(a)>0 일 때 0<f(x)-f(a)<  f(a)/2 이므로 0<f(a)<f(x)<3f(a)/2.
f(x)-f(a)>0 이고 f(a)<0 일 때 0<f(x)-f(a)<-f(a)/2 이므로 f(a)<f(x)<f(a)/2<0.

f(x)-f(a)<0 이고 f(a)>0 일 때 0>f(x)-f(a)>-f(a)/2 이므로 f(a)>f(x)>f(a)/2>0.

f(x)-f(a)<0 이고 f(a)<0 일 때 0>f(x)-f(a)>  f(a)/2 이므로 0>f(a)>f(x)>3f(a)/2.

위의 사실들로부터 f(x)와 f(a)는 같은 부호로 할 수 있다.

5. \(f(x)=x^2+{x^2\over1+x^2}+{x^2\over(1+x^2)^2}+\cdots+{x^2\over(1+x^2)^n}+\cdots\) 으로 정의된 함수 f는 x=0에서 불연속임을 보여라.

<풀이> 함수 f(x)는 초항이 \(a=x^2\), 공비가 \(r=1+x^2\) 인 등비수열의 무한한 합이므로
\({\rm S}_n={a(1-r^n)\over1-r}=1+x^2-{1\over(1+x^2)^{n-1}},\)

\(f(x)=\lim_{n\to\infty}\left\{1+x^2-{1\over(1+x^2)^{n-1}}\right\}=\begin{cases}0&(x=0)\\1+x^2&(x\ne0)\end{cases}\)

\(\lim_{x\to0}(1+x^2)=1\ne f(0).\) 곧, f는 x=0에서 불연속이다.

6. 함수 f는
\[f(x)=\begin{cases}2x&(0\le x\le1)\\c-2x&(1<x\le2)\end{cases}\]
로 정의되어 있다. 이 함수가 x=1에서 연속이 되도록 c의 값을 정하여라.

<풀이> \(\lim_{x\to1-0}f(x)=\lim_{x\to1-0}2x=2,\,\lim_{x\to1+0}f(x)=\lim_{x\to1+0}(c-2x)=c-2.\)
x=1에서 연속이기 위해서는 \(\lim_{x\to1-0}f(x)=\lim_{x\to1+0}f(x)\)이 되어야 한다.
\(\therefore\ c=4.\)