기계공학 (Mechanical Engineering)

정의 1 (함수의 연속)  함수 f가 다음 세 성질을 만족할 때 x=a 에서 연속 (連續)이라 한다. (1) f는 a에서 정의되어 있고, (2) \(\lim_{x\to a}f(x)\)가 존재하고, (3) \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\) 이다. 이 정의에 의하면 x→a 일 때 f(x) →f(a) 임을 뜻하므로 ε-δ법으로도 정의할 수 있다. ε-δ법에 의한 정의 함수 f의 정의역내의 한 점을 a라 한다. 임의의 ε>0에 대하여 적당한  δ>0 이 존재하여 |x-a|< δ 일 때 |f(x)<f(a)|< ε 이면 f는 x=a에서 연속이라 한다. 이것을 기호로 ∀ε>0, ∃δ>0 |x-a|< δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε 와 같이 나타낸다. 또, 폐구간 [a, b]에서 정의된 함수 f가 a 또는 b에서 연속이라 함은 각각 \[\lim_{x\to a+0}f(x)=f(a),\quad\lim_{x\to b-0}=f(b)\] 를 뜻한다. 함수 f의 정의역내의 점 a 또는 b에서 위의 성질이 성립되면 f는 각각 a에서 우연속 (右連續), b에서 좌연속 (左連續)이라 한다. f가 c의 근방을 포함하는 구간에서 정의되어 있을 때 c에서 연속이라 함은 c에서 우 및 좌연속인 것이다. 정의 2 (불연속)  함수 f가 그 정의역내의 점 a에서 연속이 아닐 때 x=a에서 불연속 (不連續)이라 한다. 정의 3 (연속함수) 함수 f가 그 정의역내의 모든 점에서 연속일 때 f를 연속함수 (連續函數)라 한다. [예제 1] f(x)=px+q (p, q는 상수)로 정의된 함수 f는 임의의 실수 a에서 연속임을 보여라. <증명> 정의역은 -∞<x< ∞ 이다. |f(x)-f(a)|=|p(x-a)|=|p||x-a| 이므로 p=0 일 때는 δ는 임의의 양수이면 된다. p≠0 일 때는 |f(x)-f(a)|=|p||x-a|<ε 이면 되므로 임의의 양수  ε에 대하여 \[\begin{align}&

개요 (Introduction) 본 글은 고전적 보의 굽힘 이론(classical beam being theory)에 대하여 복습한다. 이는 거의 모든 구조 설계와 해석에 있어서 중요한 고려 대상이다. 다소 명확하지는 않지만, 기둥의 좌굴 (column buckling)과도 또한 관련이 있다. 곡률 반경 (Radius of Curvature) 보의 굽힘에 있어서 곡률 반경 은 기본이 되므로 복습하도록 한다. 곡률 반경은 통상 그리스 문자 ρ로 나타내고, 그래프의 일부분 도로의 커브, 또는 대부분 경로의 일부와 같은 곡률을 갖는 원의 반경으로 생각할 수 있다. 경로가 직선이면, ρ는 무한대이고 날카로운 곡선이면 매우 작을 것이다. 곡률 반경에 대한 수학적 표현을 알아 본다. 위의 그림과 같이 임의의 함수 y=f(x)를 생각한다. 호의 길이 s= ρθ이고, 여기서 θ는 호의 각도이다. 미소 증분은 ds= ρdθ이고 양변을 dx로 나누면 \[\rho\frac{d\theta}{dx}=\frac{ds}{dx}\] 이제 d θ/dx와 ds/dx에 대한 표현이 필요하므로 먼저 d θ/dx는 다음 관계를 상기하면 \[\tan\theta=\frac{dy}{dx},\ \text{따라서}\ \theta={\rm Tan}^{-1}(y')\] d θ/dx를 얻기 위해 x에 관해 미분하면 (미분과정은 링크 를 참조한다.) \[\frac{d\theta}{dx}=\frac{y''}{1+(y')^2}\] ds/dx를 얻기 위해서는 우선 경로증분을 생각하면 \[ds^2=dx^2+dy^2\] 양변을 dx로 나누고 제곱근을 취하면 \[\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}=\sqrt{1+(y')^2}\] 이들을 앞의 식에 대입하고 정리하면 유명한 다음 식을 얻는다. \[{1\over\rho}=\frac{y''}{\left\{1+(y')^2\right\}^{3/2}}\] 수많은 역

개요 (Introduction) 본 글에서는 소위 미소 변형률(infinitesmal) 정의에 대해 소개한다. 이것은 잘못된 명칭이다. 미소 변형률 방정식의 정확한 적용을 위해서 작아야될 것은 변형률 자체가 아니라 실제로는 회전이기 때문이다. 수직 변형률 (Normal Strains) 수직(normal) 변형률은 수직 응력 (normal stress)에 의한 물체의 직접적인 길이 변화(늘음 또는 수축)을 의미한다. 이는 일반적으로 다음과 같이 정의된다. \[\epsilon={\Delta L\over L_o}\] 여기서 각 계측량들은 위의 그림에 정의하였다. 이것은 또한 공학 변형률(Engineering Strain)로 알려져 있다. ΔL이 작을 때는 \(L_o\)는 \(L_f\)에 가까우므로 둘 중에 어느 것이 분모인지 구별은 사실 불필요하다. 전단 변형률 (Shear Strains) 전단 변형률은 통상 γ로 나타내며 다음과 같이 정의한다. \[\gamma={D\over T}\] 이것은 공학 변형률의 전단 형태이다. 이 상황은 정사각형이 반기계 방향으로 회전하려는 경향이 있으므로 약간의 강체회전(rigid body rotation)을 포함하고 있음에 유의한다. 하지만 지금은 이 문제는 무시한다. 순수전단 변형률 (Pure Shear Strains) 더 바람직한, 하지만 약간 더 복잡한 정의는 다음과 같다. \[\gamma={\Delta x+\Delta y\over T}\] 여기서도 시작은 똑같이 정사각형으로 가정한다. 위의 두 정의는 변위(displacement)와 변형률이 작을 때는 같은 결과를 준다. 다시 말하면 \[\Delta x=\Delta y={D\over2}\qquad(\rm 미소 변형률)\] 이것은 두번째 정의를 사용하면서 첫번째 정의 측면으로도 생각할 수 있게 한다. 일반적 정의 (General Definition) 위의 정의들은 모든 변형률이 수직 또는 전단과 같은 간단한 경우에는 유용하다. 그러나 \(\epsi

실수 전체 집합 R의 원과 직선 상의 점 전체 집합 L 간에는 일대일 대응이 성립한다. 이 때 L의 점 P의 좌표가 x 이면 P(x)로 나타낸다. 실수 a, b에 의하여 정해진 집합을 구간 (區間)이라고 한다. \[\begin{split}(a,\,b)&=\left\{x\in{\bf R}|a<x<b\right\}\\\left[a,\,b\right)&=\left\{x\in{\bf R}|a\le x<b\right\}\\\left(a,\,b\right]&=\left\{x\in{\bf R}|a<x\le b\right\}\\\left[a,\,b\right]&=\left\{x\in{\bf R}|a\le x\le b\right\}\end{split}\] (a, b)를 개구간 (開區間), [a, b), (a, b]를 반개구간 (半開區間), [a, b]를 폐구간 (閉區間)이라 한다. b-a는 그 구간의 나비 이다. 이들은 유한구간 (有限區間)이라고도 한다. 다음 각 조건을 만족하는 x로 이루어지는 집합을 생각해 본다. \[x>a,\quad x\ge a,\quad x<a,\quad x\le a\] 이들을 각각 다음과 같이 표시한다. \[(a,\,\infty),\quad[a,\,\infty),\quad(-\infty,\,a),\quad(-\infty,\,a]\] 이들은 무한구간 (無限區間)이라 한다. 같은 방법으로 실수 전체 집합 R 을 (-∞,  ∞)로 나타낸다. 점 a에서의 거리가 ε(>0) 보다 작은 점들의 집합 |x-a|<ε 를 만족하는 x의 집합, 개구간 (a-ε, a+ε)을 점 a의 'ε-근방'이라 하고 다음과 같이 표기한다. \[{\rm N}_\epsilon(a)=\left\{x\in{\bf R}|a-\epsilon<x<a+\epsilon\right\}\] 《문      제》 1. 다음 구간에 속하는 x의 조건을 부등식으로 나타내라. (1) [0, 1],   (0,