변형률 (Strain)

개요 (Introduction)

본 글에서는 소위 미소 변형률(infinitesmal) 정의에 대해 소개한다. 이것은 잘못된 명칭이다. 미소 변형률 방정식의 정확한 적용을 위해서 작아야될 것은 변형률 자체가 아니라 실제로는 회전이기 때문이다.

수직 변형률 (Normal Strains)

수직(normal) 변형률은 수직 응력(normal stress)에 의한 물체의 직접적인 길이 변화(늘음 또는 수축)을 의미한다. 이는 일반적으로 다음과 같이 정의된다.

$$ϵ=\frac{\mathrm{\Delta }L}{L_o}$$

여기서 각 계측량들은 위의 그림에 정의하였다. 이것은 또한 공학 변형률(Engineering Strain)로 알려져 있다. ΔL이 작을 때는 $L_o$는 $L_f$에 가까우므로 둘 중에 어느 것이 분모인지 구별은 사실 불필요하다.

전단 변형률 (Shear Strains)

전단 변형률은 통상 γ로 나타내며 다음과 같이 정의한다.

$$\gamma =\frac{D}{T}$$

이것은 공학 변형률의 전단 형태이다. 이 상황은 정사각형이 반기계 방향으로 회전하려는 경향이 있으므로 약간의 강체회전(rigid body rotation)을 포함하고 있음에 유의한다. 하지만 지금은 이 문제는 무시한다.

순수전단 변형률 (Pure Shear Strains)

더 바람직한, 하지만 약간 더 복잡한 정의는 다음과 같다.

$$\gamma =\frac{\mathrm{\Delta }x+\mathrm{\Delta }y}{T}$$

여기서도 시작은 똑같이 정사각형으로 가정한다. 위의 두 정의는 변위(displacement)와 변형률이 작을 때는 같은 결과를 준다. 다시 말하면

$$\mathrm{\Delta }x=\mathrm{\Delta }y=\frac{D}{2}(\mathrm{미}\mathrm{소}\mathrm{변}\mathrm{형}\mathrm{률})$$

이것은 두번째 정의를 사용하면서 첫번째 정의 측면으로도 생각할 수 있게 한다.

일반적 정의 (General Definition)

위의 정의들은 모든 변형률이 수직 또는 전단과 같은 간단한 경우에는 유용하다. 그러나 ${ϵ}_x,{ϵ}_y,{ϵ}_z,{\gamma }_{xy}$ 등 변형률 성분들이 동시에 존재하는 순간, 취급이 곤란하게 된다. 따라서 보다 일반화된 계산법이 필요하다.

이러한 모순에 대한 답은 ... 미적분에 있다. 이 다양한 변형률을 변위장, u(X)의 편미분으로 정의하는 것이다. 이는 앞의 단순한 경우의 정의법에도 적용할 수 있다.

수직 변형률 (Normal Strains)

수직 변형률 정의는 아래와 같다.

$${ϵ}_x=\frac{\partial u_x}{\partial X}{ϵ}_y=\frac{\partial u_y}{\partial Y}{ϵ}_z=\frac{\partial u_z}{\partial Z}$$

단순 단축 인장(uniaxial stretching)은 다음과 같이 기술된다.

$$x=\left(\frac{X}{L_o}\right)L_f$$

그리고 u=x-X 이므로, 윗 식을 대입하면 다음 식을 준다.

$$u_x=\left(\frac{X}{L-o}\right)(L_f-L_o)$$

따라서

$${ϵ}_x=\frac{\partial u_x}{\partial X}=\frac{L_f-L_o}{L_o}=\frac{\mathrm{\Delta }L}{L_o}$$

이므로 요구한 바와 같이 단순인장의 정의식을 재현할 수 있다.

전단 변형률 (Shear Strains)

전단 변형률의 방정식은

$${\gamma }_{xy}=\frac{\partial u_y}{\partial X}+\frac{\partial u_x}{\partial Y}$$

전단 변형의 경우 좌표계 상사 방정식(coordinate mapping equation)은

$$\begin{array}{rl}x& =X\\ y& =Y+XD/T\end{array}$$

그리고 변위장(displacement field)은

$$\begin{array}{rl}{u}_x& =0\\ u_y& =XD/T\end{array}$$

전단 변형률은 정의에 따라

$${\gamma }_{xy}=\frac{\partial u_y}{\partial X}+\frac{\partial u_x}{\partial Y}=\frac{\partial }{\partial X}(XD/T)+\frac{\partial }{\partial Y}(0)=\frac{D}{T}$$

이것은 앞의 단순전단의 경우와 같이 요구된 결과를 준다.

또한 이 방정식의 대칭성은 계산된 전단값이 비회전 조건(no-net-rotation criterion)을 만족한다는 것을 보장한다. 순수전단의 좌표계 상사 방정식은

$$\begin{array}{rl}x& =X+Y\mathrm{\Delta }x/T\\ y& =Y+X\mathrm{\Delta }y/T\end{array}$$

그리고 위의 식으로부터 다음 식이 유도된다.

$${\gamma }_{xy}=\frac{\mathrm{\Delta }x+\mathrm{\Delta }y}{T}$$

이 역시 요구된 결과를 주고 있다.

2-D 표기법 (2-D notation)

응력처럼, 변형률도 표준 좌표계 변환 원칙(standard coordinate transformation principles)을 따르기 때문에 텐서(tensor)이다. 이는 다음의 여러 형태 중 하나로 쓸 수 있다. 이들은 모두 동일한 표현이다.

$$\mathit{ϵ}=\left[\begin{array}{cc}{ϵ}_{11}& {ϵ}_{12}\\ {ϵ}_{21}& {ϵ}_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{ϵ}_{xx}& {ϵ}_{xy}\\ {ϵ}_{yx}& {ϵ}_{yy}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{ϵ}_{xx}& {\gamma }_{xy}/2\\ {\gamma }_{yx}/2& {ϵ}_{yy}\end{array}\right]$$

${\gamma }_{xy}={\gamma }_{yx}$ 이므로, 변형률 텐서는 대칭(symmetric) 이다.(사실 대칭이어야 한다.)

3-D 표기법 (3-D notation)

위의 2-D의 모든 규약은 3-D의 경우 또한 적용된다. 3-D 표기법은 다음과 같다.

$$\mathit{ϵ}=\left[\begin{array}{ccc}{ϵ}_{11}& {ϵ}_{12}& {ϵ}_{13}\\ {ϵ}_{21}& {ϵ}_{22}& {ϵ}_{23}\\ {ϵ}_{31}& {ϵ}_{32}& {ϵ}_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{ϵ}_{xx}& {ϵ}_{xy}& {ϵ}_{xz}\\ {ϵ}_{yx}& {ϵ}_{yy}& {ϵ}_{yz}\\ {ϵ}_{zx}& {ϵ}_{zy}& {ϵ}_{zx}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{ϵ}_{xx}& {\gamma }_{xy}/2& {\gamma }_{xz}/2\\ {\gamma }_{yx}/2& {ϵ}_{yy}& {\gamma }_{yz}/2\\ {\gamma }_{zx}/2& {\gamma }_{zy}/2& {ϵ}_{zz}\end{array}\right]$$

강체 회전이 제거된 변형률 텐서에서는 ${\gamma }_{xy}={\gamma }_{yx},{\gamma }_{yz}={\gamma }_{zy}\mathrm{및}{\gamma }_{zx}={\gamma }_{xz}$의 관계가 있다. 이 또한 대칭 텐서의 결과를 준다.

출처 http://www.continuummechanics.org