변형률 (Strain)
개요 (Introduction)
본 글에서는 소위 미소 변형률(infinitesmal) 정의에 대해 소개한다. 이것은 잘못된 명칭이다. 미소 변형률 방정식의 정확한 적용을 위해서 작아야될 것은 변형률 자체가 아니라 실제로는 회전이기 때문이다.
수직 변형률 (Normal Strains)
여기서 각 계측량들은 위의 그림에 정의하였다. 이것은 또한 공학 변형률(Engineering Strain)로 알려져 있다. ΔL이 작을 때는
전단 변형률 (Shear Strains)
이것은 공학 변형률의 전단 형태이다. 이 상황은 정사각형이 반기계 방향으로 회전하려는 경향이 있으므로 약간의 강체회전(rigid body rotation)을 포함하고 있음에 유의한다. 하지만 지금은 이 문제는 무시한다.
순수전단 변형률 (Pure Shear Strains)
더 바람직한, 하지만 약간 더 복잡한 정의는 다음과 같다.
이것은 두번째 정의를 사용하면서 첫번째 정의 측면으로도 생각할 수 있게 한다.
일반적 정의 (General Definition)
위의 정의들은 모든 변형률이 수직 또는 전단과 같은 간단한 경우에는 유용하다. 그러나
이러한 모순에 대한 답은 ... 미적분에 있다. 이 다양한 변형률을 변위장, u(X)의 편미분으로 정의하는 것이다. 이는 앞의 단순한 경우의 정의법에도 적용할 수 있다.
수직 변형률 (Normal Strains)
수직 변형률 정의는 아래와 같다.
단순 단축 인장(uniaxial stretching)은 다음과 같이 기술된다.
그리고 u=x-X 이므로, 윗 식을 대입하면 다음 식을 준다.
따라서
이므로 요구한 바와 같이 단순인장의 정의식을 재현할 수 있다.
전단 변형률 (Shear Strains)
전단 변형률의 방정식은
전단 변형의 경우 좌표계 상사 방정식(coordinate mapping equation)은
그리고 변위장(displacement field)은
전단 변형률은 정의에 따라
이것은 앞의 단순전단의 경우와 같이 요구된 결과를 준다.
또한 이 방정식의 대칭성은 계산된 전단값이 비회전 조건(no-net-rotation criterion)을 만족한다는 것을 보장한다. 순수전단의 좌표계 상사 방정식은
그리고 위의 식으로부터 다음 식이 유도된다.
이 역시 요구된 결과를 주고 있다.
2-D 표기법 (2-D notation)
응력처럼, 변형률도 표준 좌표계 변환 원칙(standard coordinate transformation principles)을 따르기 때문에 텐서(tensor)이다. 이는 다음의 여러 형태 중 하나로 쓸 수 있다. 이들은 모두 동일한 표현이다.
3-D 표기법 (3-D notation)
위의 2-D의 모든 규약은 3-D의 경우 또한 적용된다. 3-D 표기법은 다음과 같다.
강체 회전이 제거된 변형률 텐서에서는
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