편도함수 (Partial Derivative)

정의 1 (편미분계수)  2변수 함수 f(x, y)에 대하여

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}$$

의 극한값이 존재하면, 이 값을 점 (a, b)에서 f의 x에 관한 편미분계수(偏微分係數)라 하고 기호

$$f_x(a,b)\text{or}\frac{\partial }{\partial x}f(a,b)$$

로 표시한다.

마찬가지로

$$\underset{k\to 0}{lim}\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k}$$

가 존재하면 이 값을 점 (a, b)에서 f의 y에 관한 편미분계수라 한다.

$f_x(a,b)$가 존재하면 f는 점 (a, b)에서 x에 관해 편미분가능(偏微分可能), $f_y(a,b)$가 존재하면, f는 점 (a, b)에서 y에 관해 편미분가능하다고 한다. $f_x(a,b)$ 및 $f_y(a,b)$가 존재하면, 단순히 (a, b)에서 편미분가능하다고 한다.

f의 정의역 내의 각 점 (x, y)에서 $f_x(x,y),f_y(x,y)$가 존재하면, $f_x$ 및 $f_y$는 2변수 함수이므로 $f_x$를 x에 관한 편도함수(偏導函數), $f_y$를 y에 관한 편도함수라 한다.

편도함수는 $f_x,f_y$ 이외에

$$\begin{array}{rl}& \frac{\partial f}{\partial x},f_x(x,y),\frac{\partial f(a,y)}{\partial x}\\ & \frac{\partial f}{\partial y},f_y(x,y),\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\end{array}$$

등의 기호로 표시한다. 또한, 2변수 함수가 z=f(x, y)로 주어질 경우에는 편도함수를

$$z_x,z_y\text{or}\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$$

로 표시한다.

일반적으로 2변수 함수 f에 대하여, 그의 편도함수를 구하는 것을 f를 x 또는 y에 대해 편미분(偏微分)한다고 한다. (넚은 의미로는 다변수 함수에 대한 정의)

[예제 1]    $f(x,y)\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{xy}{x^2+y^2}}(x,y)\ne (0,0)\\ 0(x,y)=(0,0)\end{array}$
의 편도함수를 구하여라.

<풀이>   $x^2+y^2\ne 0$, 즉 (x, y)≠(0, 0) 이면

$$f_x(x,y)=\frac{y(y^2-x^2)}{(x^2+y^2{)}^2},f_y(x,y)=\frac{x(x^2-y^2)}{(x^2+y^2{)}^2}$$

$x^2+y^2=0$, 즉 (x, y)=(0, 0) 이면
f(x, 0)=0 이므로 $f_x(0,0)=0$,
f(0, y)=0 이므로 $f_y(0,0)=0$ 이다.