편도함수 (Partial Derivative)

정의 1 (편미분계수)  2변수 함수 f(x, y)에 대하여

\[\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}\]

의 극한값이 존재하면, 이 값을 점 (a, b)에서 f의 x에 관한 편미분계수(偏微分係數)라 하고 기호

\[f_x(a,b)\qquad\text{or}\qquad\frac{\partial}{\partial x}f(a,b)\]

로 표시한다.

마찬가지로

\[\lim_{k\rightarrow0}\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k}\]

가 존재하면 이 값을 점 (a, b)에서 f의 y에 관한 편미분계수라 한다.

\(f_x(a,b)\)가 존재하면 f는 점 (a, b)에서 x에 관해 편미분가능(偏微分可能), \(f_y(a,b)\)가 존재하면, f는 점 (a, b)에서 y에 관해 편미분가능하다고 한다. \(f_x(a,b)\) 및 \(f_y(a,b)\)가 존재하면, 단순히 (a, b)에서 편미분가능하다고 한다.

f의 정의역 내의 각 점 (x, y)에서 \(f_x(x,y),\ f_y(x,y)\)가 존재하면, \(f_x\) 및 \(f_y\)는 2변수 함수이므로 \(f_x\)를 x에 관한 편도함수(偏導函數), \(f_y\)를 y에 관한 편도함수라 한다.

편도함수는 \(f_x,\ f_y\) 이외에

\[\begin{split}&\frac{\partial f}{\partial x},\qquad f_x(x,y),\qquad\frac{\partial f(a,y)}{\partial x}\\&\frac{\partial f}{\partial y},\qquad f_y(x,y),\qquad\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\end{split}\]

등의 기호로 표시한다. 또한, 2변수 함수가 z=f(x, y)로 주어질 경우에는 편도함수를

\[z_x,\ z_y\qquad\text{or}\qquad\frac{\partial z}{\partial x},\ \frac{\partial z}{\partial y}\]

로 표시한다.

일반적으로 2변수 함수 f에 대하여, 그의 편도함수를 구하는 것을 f를 x 또는 y에 대해 편미분(偏微分)한다고 한다. (넚은 의미로는 다변수 함수에 대한 정의)

[예제 1]    \(f(x,y)\begin{cases}\dfrac{xy}{x^2+y^2}\qquad(x,y)\ne(0,0)\\\quad\ \ 0\qquad\quad\ \,(x,y)=(0,0)\end{cases}\)
의 편도함수를 구하여라.

<풀이>   \(x^2+y^2\ne0\), 즉 (x, y)≠(0, 0) 이면

\[f_x(x,y)=\frac{y(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2},\qquad f_y(x,y)=\frac{x(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}\]

\(x^2+y^2=0\), 즉 (x, y)=(0, 0) 이면
f(x, 0)=0 이므로 \(f_x(0,0)=0\),
f(0, y)=0 이므로 \(f_y(0,0)=0\) 이다.