벡터의 일차독립과 일차종속

정의 1. k개의 벡터 ${\bf a}_1,\,{\bf a}_2,\,\cdots,\,{\bf a}_k$에 대하여

$$t_1{\bf a}_1+t_2{\bf a}_2+\cdots+t_k{\bf a}_k={\bf 0}\qquad(*)$$

를 만족하는 수의 짝$(t_1,\,t_2,\,\cdots,\,t_k)$가 $(0,\,0,\,\cdots,\,0)$ 이외에

$$\begin{cases}\text{없을 때}\ {\bf a}_1,\,{\bf a}_2,\,\cdots,\,{\bf a}_k\text{는 일차독립이라 한다.}\\\text{있을 때}\ {\bf a}_1,\,{\bf a}_2,\,\cdots,\,{\bf a}_k\text{는 일차종속이라 한다.}\end{cases}$$

[주의 1] 일차종속이란 (*)를 만족하는 $(t_1,\,t_2,\,\cdots,\,t_k)\ne(0,\,0,\,\cdots,\,0)$인 수의 짝 $t_1,\,t_2,\,\cdots,\,t_k$가 있을 때를 말한다. $(t_1,\,t_2,\,\cdots,\,t_k)\ne(0,\,0,\,\cdots,\,0)$를 다른 형태로 표현해 보면

(i) 모두는 0이 아닌 $t_1,\,t_2,\,\cdots,\,t_k$
(ii) 적어도 한개는 0이 아닌 $t_i$가 존재한다.

(iii) $t_1^2+t_2^2+\cdots+t_k^2\>0$

(iv) $|t_1|+|t_2|+\cdots+|t_k|\ne0$

[주의 2] ${\bf a}_1,\,{\bf a}_2,\,\cdots,\,{\bf a}_k$ 가운데 한개라도 영벡터가 있으면 ${\bf a}_1,\,{\bf a}_2,\,\cdots,\,{\bf a}_k$는 일차종속이 된다. 지금 ${\bf a}_1={\bf 0}$라고 가정하면

$$1\cdot{\bf a}_1+0\cdot{\bf a}_2+\cdots+0\cdot{\bf a}_k={\bf 0}$$

그리고 $(t_1,\,t_2,\,\cdots\,t_k)$로서 $(1,\,0,\,\cdots,\,0)$을 택할 수 있기 때문이다. 

정리 1 (2개의 벡터가 일차종속일 조건) 2개의 벡터 a, b가 일차종속이기 위한 필요충분조건은 같은 점을 시점으로 하는 a, b를 만들 때, 이들 벡터가 동일직선상에 있는 것이다.

<증명> 시점을 같은 점으로 잡고,

$$\overrightarrow{\rm OA}={\bf a},\ \overrightarrow{\rm OB}={\bf b}$$

라 한다.

필요조건 : $t_1{\bf a}_1+t_2{\bf a}_2=0$이 되도록 어느 한쪽이 0이 아닌 실수 $t_1,\,t_2$가 존재한다. $t_1\ne0$ 일 때는

$${\bf a}=-{t_2\over t_1}{\bf b}$$

로 나타낼 수 있다. 즉, $\overrightarrow{\rm OA},\,\overrightarrow{\rm OB}$는 동일 직선상에 있다.

충분조건 : $\overrightarrow{\rm OA},\,\overrightarrow{\rm OB}$가 동일 직선상에 있으면,

$$\overrightarrow{\rm OA}=t\overrightarrow{\rm OB}\text{ 또는 }\overrightarrow{\rm OB}=t\overrightarrow{\rm OA}$$

인 실수 t가 존재한다. 앞의 경우에는 1·a-t·b=0 로 고쳐서 $(t_1,\,t_2)$로서 (1, -t)를 택할 수 있기 때문에 a, b는 일차종속이다. 뒤의 경우에도 마찬가지로 증명된다.

[주의] 동일직선성상에 있어서는 한개의 독립인 벡터를 만들 수 있으나 동일직선상에 있는 2개의 벡터 a, b를 택하면 항상 일차종속이 된다.

계 1. 2개의 벡터 a, b가 일차독립이기 위한 필요충분조건은 $${\bf a}=\overrightarrow{\rm OA},\,{\bf b}=\overrightarrow{\rm OB}$$ 라 할 때, 3점 O, A, B가 일직선상에 없는 것이다.

<증명> 일차독립은 일차종속의 부정명제이다. a, b가 일차종속이란 것은 3점 O, A, B가 동일 직선상에 있을 때이므로, 일차독립이란 것은 O, A, B가 동일직선상에 없을 때이다.

정의 2 벡터 ${\bf a}_1,\,{\bf a}_2,\,\cdots,\,{\bf a}_k$에 대하여

$${\bf r}=t_1{\bf a}_1+t_2{\bf a}_2+\cdots+t_k{\bf a}_k$$

로 표현되는 벡터 r은 ${\bf a}_1,\,{\bf a}_2,\,\cdots,\,{\bf a}_k$의 일차결합(一次結合) 또는 선형결합(線形結合)이라 한다.

정리 2 (표현의 일의성) a, b를 일차독립인 2개의 벡터라 하고, $${\bf a}=\overrightarrow{\rm OA},\,{\bf b}=\overrightarrow{\rm OB}$$ 라 할 때, 3점 O, A, B가 정하는 평면상의 임의의 점을 P라 한다. $${\rm r}=\overrightarrow{\rm OP}$$ 라 할 때, r은 a와 b의 일차결합으로 표시되고, 그의 표현방법은 오직 한가지이다.

<증명> 점 P를 지나고 a, b에 평행한 직선을 긋고, 직선 $\overline{\rm OB},\,\overline{\rm OA}$와의 교점을 각각 A', B'라 할 때

$$\begin{align}\overrightarrow{\rm OA'}=t_1\overrightarrow{\rm OA}=t_1{\bf a}\\\overrightarrow{\rm OB'}=t_2\overrightarrow{\rm OB}=t_2{\bf b}\end{align}$$

에 의해

$${\bf r}=t_1{\bf a}+t_2{\bf b}$$

로 표시된다. 그의 표현방법은 $\overrightarrow{\rm OP}$가 $\overrightarrow{\rm OA}$ 또는 $\overrightarrow{\rm OB}$와 동일직선상에 있을 경우에도 적용된다.

다음에, r의 표시방법이 이 이외에도 있다하고

$${\bf r}=t_1'{\bf a}+t_2'{\bf b}$$

라 하자. 이들 r의 2개의 등식을 서로 빼면 ${\bf 0}=(t_1-t_1'){\bf a}+(t_2-t_2'){\bf b}$ 이고, 한편 a와 b가 일차독립이기 때문에, 그의 정의로부터 $t_1-t_1'=0,\,t_2-t_2'=0$. 이것은 모순이다.

정의 3 일차독립인 2개의 벡터를 a, b라 하고,

$${\bf a}=\overrightarrow{\rm OA},\,{\bf b}=\overrightarrow{\rm OB}$$

라 한다. a, b의 일차결합

$${\bf r}=t_1{\bf a}+t_2{\bf b}$$

를 만들고

$${\bf r}=\overrightarrow{\rm OP}$$

라 하면, 종점 P의 전체는 3점 O, A, B가 정하는 평면 전체가 된다. 이 평면을 벡터 a, b가 만드는 평면이라 한다. 같은 모양으로 0가 아닌 벡터 a의 일차결합 전체는 점 O, A가 지나는 직선을 만든다.

정리 3 (3개의 벡터가 일차종속일 조건) 3개의 벡터 a, b, c가 일차종속이기 위한 필요충분조건은, 동일한 점을 시점으로 하여 a, b, c를 만들때, 이들 벡터가 동일평면상에 있는 것이다.

<증명>

$$\overrightarrow{\rm OA}={\bf a},\,\overrightarrow{\rm OB}={\bf b},\,\overrightarrow{\rm OC}={\bf c}$$

라 한다.

필요조건 : $t_1{\bf a}+t_2{\bf b}+t_3{\bf c}={\bf 0}$ 를 만족하는 모두는 0이 아닌 $t_1,\,t_2,\,t_3$가 존재한다. 지금 $t_3\ne0$라 하면

$${\bf c}=-{t_1\over t_3}{\bf a}-{t_2\over t_3}{\bf b}$$

라 표현되고 c는  a와 b의 일차결합이 된다. a, b가 일차독립이라면, $\overrightarrow{\rm OC}$는 $\overrightarrow{\rm OA}$와 $\overrightarrow{\rm OB}$가 만드는 평면상의 벡터이고, a와 b가 일차종속이라면, $\overrightarrow{\rm OA},\,\overrightarrow{\rm OB},\,\overrightarrow{\rm OC}$는 동일직선상에 있다.

충분조건 : $\overrightarrow{\rm OA},\,\overrightarrow{\rm OB},\,\overrightarrow{\rm OC}$가 동일평면상에 있을 때, 특히 동일직선상에 있을 때는 a, b, c가 평행하든지 아니면 영벡터일 경우로서 물론 일차종속이다. $\overrightarrow{\rm OA},\,\overrightarrow{\rm OB},\,\overrightarrow{\rm OC}$가 동일평면상에 있고, 한개가 직선상에 없을 때는 그 가운데 2개가 독립이다. 그것을 a, b라 하자. $\overrightarrow{\rm OC}$는 $\overrightarrow{\rm OA}$와 $\overrightarrow{\rm OB}$가 만드는 평면상에 있으므로

$${\bf c}=t_1{\bf a}+t_2{\bf b}\text{ 즉, }t_1{\bf a}+t_2{\bf b}-{\bf c}={\bf 0}$$

으로 표현되기 때문에 a, b, c는 일차종속이다.

[주의] 동일평면상에는 2개의 독립인 벡터가 존재하고, 동일평면상에 있는 3개의 벡터는 항상 일차종속이다.

이렇게 3개의 벡터에 대해서도 2개의 벡터의 경우와 같이 다음이 성립한다.

계 2. 3개의 벡터 a, b, c가 일차독립이기 위한 필요충분조건은, $${\bf a}=\overrightarrow{\rm OA},\,{\bf b}=\overrightarrow{\rm OB},\,{\bf c}=\overrightarrow{\rm OC}$$ 일 때, 4점 O, A, B, C가 동일평면상에 없는 것이다.

정리 4 (표현의 일의성) a, b, c를 일차독립인 벡터라 하고 $${\bf a}=\overrightarrow{\rm OA},\,{\bf b}=\overrightarrow{\rm OB},\,{\bf c}=\overrightarrow{\rm OC}$$ <로 잡는다. 공간내의 임의의 점을 P라 하고, $${\bf r}=\overrightarrow{\rm OP}$$ 라 할 때, r은 a, b, c의 일차결합으로서 표시되고 그의 표현방법은 오직 한가지이다.

정의 3 일차독립인 3개의 벡터 a, b, c의 일차결합 r에 대하여, 정점 O를 시점으로 하고

$${\bf r}=\overrightarrow{\rm OP}$$

라 할 때 종점 P 전체는 한개의 공간 전체가 된다. 이 공간을 a, b, c가 만드는 공간이라 한다.

《문     제》

1. 한개의 벡터 a가 일차독립이기 위한 필요충분조건은, a≠0 인 것을 증명하여라.

<증명>
필요조건 : a가 일차독립이면 $t_1{\bf a}={\bf 0}$를 만족하는 $t_1$이 0 이외에는 없어야 하므로 a≠0 이다.
충분조건 : a≠0 이면 $t_1{\bf a}={\bf 0}$를 만족하기 위해서는 $t_1=0$ 이므로 a는 일차독립이다.

2. k개의 벡터 ${\bf a}_1,\,{\bf a}_2,\,\cdots,\,{\bf a}_k$(k>1)가 일차종속이기 위한 필요충분조건은, 적어도 한개의 ${\bf a}_i$(i=1, 2, …, k)가 나머지 k-1개의 벡터의 일차결합으로써 표시되는 것이다. 이것을 증명하여라.

<증명>
필요조건 : 가정에 의해 $t_1{\bf a}_1+t_2{\bf a}_2+\cdots+t_k{\bf a}_k=0$ 이고 $t_i\ne0$ 이라 하면

$${\bf a}_i=-{t_1\over t_i}{\bf a}_1-{t_2\over t_i}{\bf a}_2-\cdots-{t_{i-1}\over t_i}{\bf a}_{i-1}-{t_{i+1}\over t_i}{\bf a}_{i+1}-\cdots-{t_k\over t_i}{\bf a}_k$$

이므로 ${\bf a}_i$는 k-1개 벡터의 일차결합이다.

충분조건 : ${\bf a}_i$는 k-1개 벡터의 일차결합이므로

$${\bf a}_i=t_i{\bf a}_1+t_2{\bf a}_2+\cdots+t_{i-1}{\bf a}_{i-1}+t_{i+1}{\bf a}_{i+1}+\cdots+t_k{\bf a}_k\\t_1{\bf a}_1+t_2{\bf a}_2+\cdots-{\bf a}_i+\cdots+t_k{\bf a}_k=0$$

$t_i=-1$ 이므로 ${\bf a}_1,\,{\bf a}_2,\,\cdots,\,{\bf a}_k$(k>1)는 일차종속이다.

3. 3개의 벡터의 독립성에 관한 계2를 증명하여라.

<증명> a, b, c가 일차종속이란 것은 3점 O, A, B, C가 동일평면상에 있을 때이므로, 일차독립이란 것은 점 O, A, B, C가 동일평면상에 없을 때이다.

4. 3개의 벡터에 관한 표현의 일의성 정리를 증명하여라.

 <증명> 동일평면상의 2개의 독립인 벡터를 a, b 라 하면 정리 2에 의해 평면상 임의의 점 Q를 종점으로하는 벡터 ${\bf d}=t_1{\bf a}+t_2{\bf b}$가 존재한다. 이 때 벡터 c와 d도 일차독립이므로

$${\bf r}=t_3{\bf c}+t_4{\bf d}=t_1t_4{\bf a}+t_2t_4{\bf b}+t_3{\bf c}$$

로 표시된다. r의 표시방법이 이 이외에도 있다하고

$${\bf r}=t_1'{\bf a}+t_2'{\bf b}+t_3'{\bf c}$$

라 하자. 이들 r의 2개의 등식을 서로 빼면 ${\bf 0}=(t_1t_4-t_1'){\bf a}+(t_2t_4-t_2'){\bf b}+(t_3-t_3'){\bf c}$ 이고, 한편 a, b, c가 모두 일차독립이기 때문에, 그의 정의로부터 $t_1t_4-t_1'=0,\,t_2t_4-t_2'=0,\,t_3-t_3'=0$. 이것은 모순이다.