벡터의 일차독립과 일차종속
정의 1. k개의 벡터 \({\bf a}_1,\,{\bf a}_2,\,\cdots,\,{\bf a}_k\)에 대하여
\[t_1{\bf a}_1+t_2{\bf a}_2+\cdots+t_k{\bf a}_k={\bf 0}\qquad(*)\]
를 만족하는 수의 짝\((t_1,\,t_2,\,\cdots,\,t_k)\)가 \((0,\,0,\,\cdots,\,0)\) 이외에
\[\begin{cases}\text{없을 때}\ {\bf a}_1,\,{\bf a}_2,\,\cdots,\,{\bf a}_k\text{는 일차독립이라 한다.}\\\text{있을 때}\ {\bf a}_1,\,{\bf a}_2,\,\cdots,\,{\bf a}_k\text{는 일차종속이라 한다.}\end{cases}\]
[주의 1] 일차종속이란 (*)를 만족하는 \((t_1,\,t_2,\,\cdots,\,t_k)\ne(0,\,0,\,\cdots,\,0)\)인 수의 짝 \(t_1,\,t_2,\,\cdots,\,t_k\)가 있을 때를 말한다. \((t_1,\,t_2,\,\cdots,\,t_k)\ne(0,\,0,\,\cdots,\,0)\)를 다른 형태로 표현해 보면
(ii) 적어도 한개는 0이 아닌 \(t_i\)가 존재한다.
[주의 2] \({\bf a}_1,\,{\bf a}_2,\,\cdots,\,{\bf a}_k\) 가운데 한개라도 영벡터가 있으면 \({\bf a}_1,\,{\bf a}_2,\,\cdots,\,{\bf a}_k\)는 일차종속이 된다. 지금 \({\bf a}_1={\bf 0}\)라고 가정하면
\[1\cdot{\bf a}_1+0\cdot{\bf a}_2+\cdots+0\cdot{\bf a}_k={\bf 0}\]
그리고 \((t_1,\,t_2,\,\cdots\,t_k)\)로서 \((1,\,0,\,\cdots,\,0)\)을 택할 수 있기 때문이다.
| 정리 1 (2개의 벡터가 일차종속일 조건) 2개의 벡터 a, b가 일차종속이기 위한 필요충분조건은 같은 점을 시점으로 하는 a, b를 만들 때, 이들 벡터가 동일직선상에 있는 것이다. |
<증명> 시점을 같은 점으로 잡고,
\[\overrightarrow{\rm OA}={\bf a},\ \overrightarrow{\rm OB}={\bf b}\]
라 한다.
필요조건 : \(t_1{\bf a}_1+t_2{\bf a}_2=0\)이 되도록 어느 한쪽이 0이 아닌 실수 \(t_1,\,t_2\)가 존재한다. \(t_1\ne0\) 일 때는
\[{\bf a}=-{t_2\over t_1}{\bf b}\]
로 나타낼 수 있다. 즉, \(\overrightarrow{\rm OA},\,\overrightarrow{\rm OB}\)는 동일 직선상에 있다.
충분조건 : \(\overrightarrow{\rm OA},\,\overrightarrow{\rm OB}\)가 동일 직선상에 있으면,
\[\overrightarrow{\rm OA}=t\overrightarrow{\rm OB}\text{ 또는 }\overrightarrow{\rm OB}=t\overrightarrow{\rm OA}\]
인 실수 t가 존재한다. 앞의 경우에는 1·a-t·b=0 로 고쳐서 \((t_1,\,t_2)\)로서 (1, -t)를 택할 수 있기 때문에 a, b는 일차종속이다. 뒤의 경우에도 마찬가지로 증명된다.
[주의] 동일직선성상에 있어서는 한개의 독립인 벡터를 만들 수 있으나 동일직선상에 있는 2개의 벡터 a, b를 택하면 항상 일차종속이 된다.
| 계 1. 2개의 벡터 a, b가 일차독립이기 위한 필요충분조건은\[{\bf a}=\overrightarrow{\rm OA},\,{\bf b}=\overrightarrow{\rm OB}\]라 할 때, 3점 O, A, B가 일직선상에 없는 것이다. |
<증명> 일차독립은 일차종속의 부정명제이다. a, b가 일차종속이란 것은 3점 O, A, B가 동일 직선상에 있을 때이므로, 일차독립이란 것은 O, A, B가 동일직선상에 없을 때이다.
정의 2 벡터 \({\bf a}_1,\,{\bf a}_2,\,\cdots,\,{\bf a}_k\)에 대하여
\[{\bf r}=t_1{\bf a}_1+t_2{\bf a}_2+\cdots+t_k{\bf a}_k\]
로 표현되는 벡터 r은 \({\bf a}_1,\,{\bf a}_2,\,\cdots,\,{\bf a}_k\)의 일차결합(一次結合) 또는 선형결합(線形結合)이라 한다.
| 정리 2 (표현의 일의성) a, b를 일차독립인 2개의 벡터라 하고,\[{\bf a}=\overrightarrow{\rm OA},\,{\bf b}=\overrightarrow{\rm OB}\]라 할 때, 3점 O, A, B가 정하는 평면상의 임의의 점을 P라 한다.\[{\rm r}=\overrightarrow{\rm OP}\]라 할 때, r은 a와 b의 일차결합으로 표시되고, 그의 표현방법은 오직 한가지이다. |
<증명> 점 P를 지나고 a, b에 평행한 직선을 긋고, 직선 \(\overline{\rm OB},\,\overline{\rm OA}\)와의 교점을 각각 A', B'라 할 때
\[\begin{align}\overrightarrow{\rm OA'}=t_1\overrightarrow{\rm OA}=t_1{\bf a}\\\overrightarrow{\rm OB'}=t_2\overrightarrow{\rm OB}=t_2{\bf b}\end{align}\]
에 의해
\[{\bf r}=t_1{\bf a}+t_2{\bf b}\]
로 표시된다. 그의 표현방법은 \(\overrightarrow{\rm OP}\)가 \(\overrightarrow{\rm OA}\) 또는 \(\overrightarrow{\rm OB}\)와 동일직선상에 있을 경우에도 적용된다.
정의 3 일차독립인 2개의 벡터를 a, b라 하고,
\[{\bf a}=\overrightarrow{\rm OA},\,{\bf b}=\overrightarrow{\rm OB}\]
라 한다. a, b의 일차결합
\[{\bf r}=t_1{\bf a}+t_2{\bf b}\]
를 만들고
\[{\bf r}=\overrightarrow{\rm OP}\]
라 하면, 종점 P의 전체는 3점 O, A, B가 정하는 평면 전체가 된다. 이 평면을 벡터 a, b가 만드는 평면이라 한다. 같은 모양으로 0가 아닌 벡터 a의 일차결합 전체는 점 O, A가 지나는 직선을 만든다.
| 정리 3 (3개의 벡터가 일차종속일 조건) 3개의 벡터 a, b, c가 일차종속이기 위한 필요충분조건은, 동일한 점을 시점으로 하여 a, b, c를 만들때, 이들 벡터가 동일평면상에 있는 것이다. |
<증명>
\[\overrightarrow{\rm OA}={\bf a},\,\overrightarrow{\rm OB}={\bf b},\,\overrightarrow{\rm OC}={\bf c}\]
라 한다.
필요조건 : \(t_1{\bf a}+t_2{\bf b}+t_3{\bf c}={\bf 0}\) 를 만족하는 모두는 0이 아닌 \(t_1,\,t_2,\,t_3\)가 존재한다. 지금 \(t_3\ne0\)라 하면
\[{\bf c}=-{t_1\over t_3}{\bf a}-{t_2\over t_3}{\bf b}\]
라 표현되고 c는 a와 b의 일차결합이 된다. a, b가 일차독립이라면, \(\overrightarrow{\rm OC}\)는 \(\overrightarrow{\rm OA}\)와 \(\overrightarrow{\rm OB}\)가 만드는 평면상의 벡터이고, a와 b가 일차종속이라면, \(\overrightarrow{\rm OA},\,\overrightarrow{\rm OB},\,\overrightarrow{\rm OC}\)는 동일직선상에 있다.
충분조건 : \(\overrightarrow{\rm OA},\,\overrightarrow{\rm OB},\,\overrightarrow{\rm OC}\)가 동일평면상에 있을 때, 특히 동일직선상에 있을 때는 a, b, c가 평행하든지 아니면 영벡터일 경우로서 물론 일차종속이다. \(\overrightarrow{\rm OA},\,\overrightarrow{\rm OB},\,\overrightarrow{\rm OC}\)가 동일평면상에 있고, 한개가 직선상에 없을 때는 그 가운데 2개가 독립이다. 그것을 a, b라 하자. \(\overrightarrow{\rm OC}\)는 \(\overrightarrow{\rm OA}\)와 \(\overrightarrow{\rm OB}\)가 만드는 평면상에 있으므로
\[{\bf c}=t_1{\bf a}+t_2{\bf b}\text{ 즉, }t_1{\bf a}+t_2{\bf b}-{\bf c}={\bf 0}\]
으로 표현되기 때문에 a, b, c는 일차종속이다.
[주의] 동일평면상에는 2개의 독립인 벡터가 존재하고, 동일평면상에 있는 3개의 벡터는 항상 일차종속이다.
이렇게 3개의 벡터에 대해서도 2개의 벡터의 경우와 같이 다음이 성립한다.
| 계 2. 3개의 벡터 a, b, c가 일차독립이기 위한 필요충분조건은, \[{\bf a}=\overrightarrow{\rm OA},\,{\bf b}=\overrightarrow{\rm OB},\,{\bf c}=\overrightarrow{\rm OC}\]일 때, 4점 O, A, B, C가 동일평면상에 없는 것이다. |
| 정리 4 (표현의 일의성) a, b, c를 일차독립인 벡터라 하고 \[{\bf a}=\overrightarrow{\rm OA},\,{\bf b}=\overrightarrow{\rm OB},\,{\bf c}=\overrightarrow{\rm OC}\]<로 잡는다. 공간내의 임의의 점을 P라 하고, \[{\bf r}=\overrightarrow{\rm OP}\]라 할 때, r은 a, b, c의 일차결합으로서 표시되고 그의 표현방법은 오직 한가지이다. |
정의 3 일차독립인 3개의 벡터 a, b, c의 일차결합 r에 대하여, 정점 O를 시점으로 하고
\[{\bf r}=\overrightarrow{\rm OP}\]
라 할 때 종점 P 전체는 한개의 공간 전체가 된다. 이 공간을 a, b, c가 만드는 공간이라 한다.
《문 제》
1. 한개의 벡터 a가 일차독립이기 위한 필요충분조건은, a≠0 인 것을 증명하여라.
필요조건 : a가 일차독립이면 \(t_1{\bf a}={\bf 0}\)를 만족하는 \(t_1\)이 0 이외에는 없어야 하므로 a≠0 이다.
충분조건 : a≠0 이면 \(t_1{\bf a}={\bf 0}\)를 만족하기 위해서는 \(t_1=0\) 이므로 a는 일차독립이다.
2. k개의 벡터 \({\bf a}_1,\,{\bf a}_2,\,\cdots,\,{\bf a}_k\)(k>1)가 일차종속이기 위한 필요충분조건은, 적어도 한개의 \({\bf a}_i\)(i=1, 2, …, k)가 나머지 k-1개의 벡터의 일차결합으로써 표시되는 것이다. 이것을 증명하여라.
필요조건 : 가정에 의해 \(t_1{\bf a}_1+t_2{\bf a}_2+\cdots+t_k{\bf a}_k=0\) 이고 \(t_i\ne0\) 이라 하면
3. 3개의 벡터의 독립성에 관한 계2를 증명하여라.
<증명> a, b, c가 일차종속이란 것은 3점 O, A, B, C가 동일평면상에 있을 때이므로, 일차독립이란 것은 점 O, A, B, C가 동일평면상에 없을 때이다.
4. 3개의 벡터에 관한 표현의 일의성 정리를 증명하여라.
<증명> 동일평면상의 2개의 독립인 벡터를 a, b 라 하면 정리 2에 의해 평면상 임의의 점 Q를 종점으로하는 벡터 \({\bf d}=t_1{\bf a}+t_2{\bf b}\)가 존재한다. 이 때 벡터 c와 d도 일차독립이므로
\[{\bf r}=t_3{\bf c}+t_4{\bf d}=t_1t_4{\bf a}+t_2t_4{\bf b}+t_3{\bf c}\]
로 표시된다. r의 표시방법이 이 이외에도 있다하고
\[{\bf r}=t_1'{\bf a}+t_2'{\bf b}+t_3'{\bf c}\]
라 하자. 이들 r의 2개의 등식을 서로 빼면 \({\bf 0}=(t_1t_4-t_1'){\bf a}+(t_2t_4-t_2'){\bf b}+(t_3-t_3'){\bf c}\) 이고, 한편 a, b, c가 모두 일차독립이기 때문에, 그의 정의로부터 \(t_1t_4-t_1'=0,\,t_2t_4-t_2'=0,\,t_3-t_3'=0\). 이것은 모순이다.
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