벡터의 다이애딕곱 (Diadic Product of Vectors)

두 벡터의 다이애딕곱(Diadic product)은 텐서(혹은 행열)을 반환하며 아래와 같이 정의한다.
\[{\bf a}\otimes{\bf b}=(a_1,a_2,a_3)\otimes(b_1,b_2,b_3)=\begin{bmatrix}a_1b_1&a_1b_2&a_1b_3\\a_2b_1&a_2b_2&a_2b_3\\a_3b_1&a_3b_2&a_3b_3\end{bmatrix}\]
\[a_i\otimes b_j=a_ib_j\]

댓글

댓글 쓰기

이 블로그의 인기 게시물

전단응력 (Shear Stress)

이미지
전단응력은 상대운동을 하는 유체 의 층 사이에서 발생하는 단위면적당의 마찰력이다. 고체의 경우는 전단응력이 전단변형률 (shear strain)에 비례하지만, 유체 내부에서 발생되는 전단응력은 전단 변형률의 시간에 따른 변화율(rate of shear strain)에 비례한다. 그리고 이 전단변형률의 변화율은 각 방향 속도구배의 합과 같다. 위의 그림과 같이 유동장 내 모든 부분에서의 속도 u가 동일한 x방향을 향하는 유동의 경우에, y방향으로만 속도가 변화한다고 가정하면 전단변형률의 시간에 따른 변화율은 y방향의 속도구배 와 같다. 따라서 전단응력 τ는 속도구배에 비례하므로 다음과 같이 표현한다. \(\begin{align*}\tau=\mu\frac{du}{dy}\end{align*}\) 여기서 비례상수 μ는 점성계수 (viscosity) 또는 절대점성계수 (absolute viscosity)라고 한다. 절대점성계수는 힘×시간/면적의 차원을 가지며 SI단위계에서 \(\rm Pa\cdot s(\equiv N\cdot s/m^2)\)의 단위를 갖는다. 특히 다음과 같은 고유의 단위를 갖는다. \(1\,\rm poise=10^{-1}\,Pa\cdot s=1\,dyne\cdot s/cm^2\) 여기서 poise는 포이슐(Poiseuille)의 업적을 기리기 위해 붙인 것이다. 영국단위계로는 \(\rm lbf\cdot s/ft^2\)이 단위로 사용된다. 대부분의 유체는 속도구배와 무관한 점성계수를 가지며, 이와 같은 유체를 뉴우톤 유체 (Newtonian fluid)라 한다. 그러나 혈액이나 플라스틱(plastic), 타르(tar) 등과 같은 유체들은 점성계수가 속도구배의 함수가 되어 유동상태에 따라 다른 μ값을 갖는다(아래 그림). 이러한 유체들을 비뉴우톤유체 (non-Newtonian fluid)라고 한다. 레올로지(rheology)라는 학문은 비뉴우톤유체의 유동과 변형을 다룬다. 출처 en.wikipedia.org 절대점성계수와 밀도의 비는 동점성계수 (k...
자세한 내용 보기

표면장력 공식

이미지
중력 이나 기타 외력들을 무시하면 기체 내의 액체 덩어리는 완전한 구형을 유지한다. 그 이유는 액체 방울 내부의 분자들은 동종의 분자들로 둘러싸여 모든 방향에서 균일한 인력(cohesive force, 응집력)을 받는 반면에, 액체 방울 표면에 위치한 분자들은 내부로부터는 동종의 분자들 사이에 작용하는 응집력을 받고 외부로부터는 이종의 분자들 사이에 작용하는 인력(adhesive force, 부착력)을 받기 때문이다. 즉, 액체 분자들 사이에 작용하는 응집력이 액체와 기체 분자 사이에 작용하는 부착력보다 크기 때문에, 표면 상의 액체 분자들은 내부로 향하는 힘을 받게 되어 완전한 구형을 이루게 된다.  그러므로, 액체 방울 내부의 분자를 표면으로 옮기기 위해서는 일정량의 일을 해주어야 한다. 일정량의 액체가 구형을 이루고 있는 액체 방울에 첨가될 경우, 표면적의 증가로 내부 분자들의 표면 가까이 이동해야 한다. 이러한 이동을 위해서는 앞서 언듭한 바와 같이 일정량의 일이 수행되어야 하며, 이 일의 양은 표면적의 증가량에 비례한다. 따라서 표면적의 확장은 에너지를 필요로 하며, 단위 표면적당의 일의 의미를 갖는 이 에너지는 표면장력이라 불리운다. 표면장력은 σ의 기호로 표시되며, 힘/길이의 차원을 N/m, lbf/ft 등의 단위로 나타낸다. 위의 과정으로 볼 때 실제로 표면장력을 포함하는 표면은 존재하지 않으나, 계산상의 편의를 위해 액체의 표면은 접선 방향의 균일한 인장력이 작용하는 막으로 취급된다. 표면장력의 크기는 일반적으로 온도와 압력 에 따라 변한다. 이러한 표면장력은 고체나 다른 유체와 접촉하는 액체 표면상에서 항상 작용한다. 많은 유체역학 문제들에서 이 힘은 다른 힘들에 비해 크기가 작아 무시되지만, 모세관 현상이나 기포의 형성, 물줄기의 분열, 액체 방울의 형성 등의 현상을 지배하는 힘이 된다. 구형 액체방울의 압력과 표면장력 표면장력이 작용하는 표면을 가로질러서는 항상 압력강하가 일어난다. 압력강하와 표면장력과의 관계를 알기 위...
자세한 내용 보기

굽힘모멘트 적분에 의한 보의 처짐 (Deflections by Bending-Moment Integration)

이미지
굽힘모멘트 항으로 나타낸 처짐곡선(deflection curve) 의 방정식은 x의 함수 로 v를 구하기 위해 적분할 수 있다. 2차 미분방정식이므로 두번의 적분이 요구된다. 그 해법의 첫번째 단계는 자유물체도(free-body diagram)와 정적평형(static equilibrium)을 이용하여 굽힘모멘트의 방정식 을 쓰는 것이다. 만약 보의 차중이 축을 따라 급격히 변하면, 이러한 변화가 발생하는 보의 지점들 사이의 각 구간 마다 별도의 모멘트 방정식이 존재한다. 이들 각 구간에 대해서 M의 표현식을 미분방정식에 대입한다. 그 다음 이 방정식은 v'을 얻기 위해 적분할 수 있고, 이 과정에서 적분상수가 생기게 된다. 두번째 적분을 통해 처짐 v를 구할 수 있고, 또 다른 적분상수가 생긴다. 결과적으로 보의 각 구간마다 두개의 적분상수가 존재하게 된다. 이들 상수들은 보의 지지부와 적분구간이 만나는 점에서 v와 v'의 경계조건을 통하여 구할 수 있다. 이러한 각 조건들은 하나 또는 그 이상의 적분상수를 포함한 방정식을 준다. 이 조건들은 개수와 상수의 숫자들은 항상 짝을 이루기 때문에, 상수들을 구하기 위해 이 방정식들을 풀 수 있다. 이렇게 구한 상수들을 다시 v에 대한 표현식에 대입하면 최종적으로 처짐곡선의 방정식을 구하게 된다. 예제 1 균일 분포하중(uniform load of intensity) q를 지지하는 단순보(simple beam) AB의 처짐곡선의 방정식을 결정하라. 또한 보의 중단에서의 최대 처짐 δ와 지지부의 회전각 \(\theta_a\)와 \(\theta_b\)를 결정하라. 균일 분포하중을 받는 단순보의 처짐 좌단 지지부를 좌표계 원점으로 잡으면 아래 자유물체도의 모멘트 평형으로부터 굽힘모멘트의 방정식은 자유물체도 \(M=\dfrac{qLx}{2}-\dfrac{qx^2}{2}\) 따라서 2차 미분방정식은 다음과 같다. \(EIv''=-\dfrac{qLx}{2}+\dfrac{qx^2}{2}\) 양...
자세한 내용 보기