삼각함수의 극한

정리 1. \(0<|x-c|<\delta_0\)를 만족하는 모든 x에 대하여 \(f(x)≤g(x)≤h(x)\), \(\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=\alpha=\lim_{x\to c}h(x)\text{ 이면 }\lim_{x\to c}g(x)=\alpha\)

<증명> 가정에 의하여 \(0<|x-c|<\delta_0\) 일 때 \(f(x)≤g(x)≤h(x)\cdots(1)\)

임의의 ε>0에 대하여 양수 \(\delta_1,\,\delta_2\)가 존재하고

\(0<|x-c|<\delta_1\) 일 때 \(|f(x)-\alpha|<\epsilon\cdots(2)\)

\(0<|x-c|<\delta_2\) 일 때 \(|h(x)-\alpha|<\epsilon\cdots(3)\)

여기서 \(\delta=\min\{\delta_0,\,\delta_1,\,\delta_2\}\)라 하면 \(0<|x-c|<\delta\)인 x는 (1), (2), (3)을 동시에 만족한다. 위의 부등식에서 \(\alpha-\epsilon<f(x)\le g(x)\le h(x)<\alpha+\epsilon\).

따라서 임의의 ε>0에 대하여 양수 δ가 존재하고 \(0<|x-c|<\delta\) 일 때 \(|g(x)-\alpha|<\epsilon\).

\(\therefore\displaystyle\lim_{x\to c}g(x)=\alpha\)

[예제 1] \(\displaystyle\lim_{\theta\to0}\sin\theta=0,\,\lim_{\theta\to0}\cos\theta=1\) 임을 증명하여라. 단, θ는 라디안이다.

<증명> 원점을 중심, 반경이 1인 원과 x축의 양의 부분과의 교점을 A라 하고, 이 원주상의 점 P를 잡아 ∠POA=θ라 한다\(\left(-{\pi\over2}<\theta<{\pi\over2}\right)\).

호AP의 길이를 s라 하면 \(θ=s>\overline{AP}\). 또, P에서 x축에 그은 수선의 발을 Q라 하면 피타고라스 정리에 의해 \(\overline{PQ}^2+\overline{QA}^2=\sin^2\theta+(1-\cos\theta)^2=\overline{AP}^2<s^2=\theta^2\) 이므로 \(\sin^2\theta\le\overline{AP}^2<\theta^2,\,(1-\cos\theta)^2\le\overline{AP}^2<\theta^2\).

이들 부등식에서 \(0\le|\sin\theta|<|\theta|,\,0\le1-\cos\theta<|\theta|\). 그런데 \(\displaystyle\lim_{\theta\to0}0=0,\,\lim_{\theta\to0}|\theta|=0\) 이므로 정리 1에 의하여 \(\displaystyle\lim_{\theta\to0}|\sin\theta|=0,\,\lim_{\theta\to0}(1-\cos\theta)=0\ \therefore\ \lim_{\theta\to0}\sin\theta=0,\,\lim_{\theta\to0}\cos\theta=1\)

정리 2. \(\displaystyle\lim_{\theta\to0}{\sin\theta\over\theta}=1.\)

<증명> 위의 그림에서 △POA<부채꼴 POA<△TOA. 곧, \({\sin\theta\over2}<{\theta\over2}<{\tan\theta\over2}.\)

\({\sin\theta\over2}\)로 나누면 \(1<{\theta\over\sin\theta}<{1\over\cos\theta}\) 이고 각 항이 양수이므로 \(1>{\sin\theta\over\theta}<\cos\theta\).

이 부등식은 \(-{\pi\over2}<\theta<0\) 일 때도 성립하고 \(\displaystyle\lim_{\theta\to0}1=1.\,\lim_{\theta\to0}\cos\theta=1\) 이므로 \(\displaystyle\lim_{\theta\to0}{\sin\theta\over\theta}=1.\)

[예제 2] \(\displaystyle\lim_{x\to0}{\sin2x\over x}=\lim_{x\to0}{2\sin2x\over2x}=2\lim_{\theta\to0}{\sin\theta\over\theta}=2\)

[예제 3] \(\displaystyle\lim_{x\to0}{\tan x\over x}=\lim_{x\to0}\left({\sin x\over x}\cdot{1\over\cos x}\right)=\lim_{x\to0}{\sin x\over x}\cdot\lim_{x\to0}{1\over\cos x}=1\)

[예제 4] \(\displaystyle\lim_{\theta\to0}{1-\cos\theta\over\theta^2}=\lim_{\theta\to0}{1-\cos^2\theta\over\theta^2(1+\cos\theta)}=\lim_{\theta\to0}\left({\sin\theta\over\theta}\right)^2\cdot{1\over1+\cos\theta}=1^2\cdot{1\over1+1}={1\over2}\)

《문    제》

1. \(\displaystyle\lim_{x\to0}\sin{1\over x}\)은 존재하지 않음을 보여라.

<증명> \({1\over x}=\theta\)로 두면 x→0 일 때 θ→∞ 이므로 0<|sinθ|≤1.

\(\displaystyle\lim_{\theta\to\infty}0=0\ne\lim_{\theta\to\infty}1=1\) 이므로 \(\displaystyle\lim_{\theta\to\infty}\theta\)는 존재하지 않는다.

2. \(\displaystyle\lim_{x\to0}x\sin{1\over x}=0\)임을 보여라.

<증명> \(\left|\sin{1\over x}\right|\le1\) 이므로 |x|를 곱하면 \(\left|x\sin{1\over x}\right|\le|x|.\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0}|x|=0\) 이므로 \(\displaystyle\lim_{x\to0}x\sin{1\over x}=0.\)

3. 다음 극한값을 구하여라.

(1) \(\displaystyle\lim_{x\to\pi/6}(x+\sin x)={\pi\over6}+\sin{\pi\over6}={\pi\over6}+{1\over2}\)

(2) \(\displaystyle\lim_{x\to\pi/4}(1+\tan x)(1+\cot x)=\left(1+\tan{\pi\over4}\right)\left(1+\cot{\pi\over4}\right)=(1+1)(1+1)=4\)

(3) \(\displaystyle\lim_{x\to0}{x\over\sin x}=\lim_{x\to0}\frac{1}{\displaystyle\lim_{x\to0}{\sin x\over x}}={1\over1}=1\)

(4) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x\cos2x}{\sin x}=\lim_{x\to0}{x\over\sin x}\cdot\lim_{x\to0}\cos2x=1\cdot1=1\)

(5) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{4\sin3x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{12\sin3x}{3x}=12\lim_{\theta\to0}\frac{\sin\theta}{\theta}=12\)

(6) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x^2}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x^2}{x^2}\cdot x=\lim_{\theta\to0}\frac{\sin\theta}{\theta}\cdot\lim_{x\to0}x=0\)

(7) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin4x}{\sin5x}=\lim_{x\to0}\frac{\sin4x}{4x}\cdot\frac{5x}{\sin5x}\cdot{4\over5}={4\over5}\)

(8) \(\displaystyle\lim_{x\to0}(3x\cot5x)=\lim_{x\to0}\frac{3x}{\tan5x}=\lim_{x\to0}\frac{5x}{\tan5x}\cdot{3\over5}={3\over5}\)

(9) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin^22x}{x\sin3x}=\lim_{x\to0}\frac{\sin^22x}{(2x)^2}\cdot\frac{3x}{\sin3x}\cdot{4\over3}={4\over3}\)

\(\begin{split}(10)\ \lim_{x\to0}\frac{\sec2x-1}{x^2}&=\lim_{x\to0}\frac{1-\cos2x}{x^2\cos2x}=\lim_{x\to0}\frac{1-\cos^22x}{x^2\cos2x(1+\cos2x)}\\&=\lim_{x\to0}\frac{4\sin^22x}{(2x)^2\cos2x(1+\cos2x)}=4\cdot1\cdot\frac{1}{1(1+1)}=2\end{split}\)