삼각함수의 극한

정리 1. $0<|x-c|<{\delta }_0$를 만족하는 모든 x에 대하여 $f(x)\le g(x)\le h(x)$, ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}f(x)=\alpha =\underset{x\to c}{lim}h(x)\text{ 이면 }\underset{x\to c}{lim}g(x)=\alpha }$

<증명> 가정에 의하여 $0<|x-c|<{\delta }_0$ 일 때 $f(x)\le g(x)\le h(x)\cdots (1)$

임의의 ε>0에 대하여 양수 ${\delta }_1,{\delta }_2$가 존재하고

$0<|x-c|<{\delta }_1$ 일 때 $|f(x)-\alpha |<ϵ\cdots (2)$

$0<|x-c|<{\delta }_2$ 일 때 $|h(x)-\alpha |<ϵ\cdots (3)$

여기서 $\delta =min\{{\delta }_0,{\delta }_1,{\delta }_2\}$라 하면 $0<|x-c|<\delta$인 x는 (1), (2), (3)을 동시에 만족한다. 위의 부등식에서 $\alpha -ϵ<f(x)\le g(x)\le h(x)<\alpha +ϵ$.

따라서 임의의 ε>0에 대하여 양수 δ가 존재하고 $0<|x-c|<\delta$ 일 때 $|g(x)-\alpha |<ϵ$.

$\therefore {\displaystyle \underset{x\to c}{lim}g(x)=\alpha }$

[예제 1] ${\displaystyle \underset{\theta \to 0}{lim}\sin \theta =0,\underset{\theta \to 0}{lim}\cos \theta =1}$ 임을 증명하여라. 단, θ는 라디안이다.

<증명> 원점을 중심, 반경이 1인 원과 x축의 양의 부분과의 교점을 A라 하고, 이 원주상의 점 P를 잡아 ∠POA=θ라 한다$(-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2})$.

호AP의 길이를 s라 하면 $\theta =s>\overline{AP}$. 또, P에서 x축에 그은 수선의 발을 Q라 하면 피타고라스 정리에 의해 ${\overline{PQ}}^2+{\overline{QA}}^2={\sin }^2\theta +(1-\cos \theta {)}^2={\overline{AP}}^2<s^2={\theta }^2$ 이므로 ${\sin }^2\theta \le {\overline{AP}}^2<{\theta }^2,(1-\cos \theta {)}^2\le {\overline{AP}}^2<{\theta }^2$.

이들 부등식에서 $0\le |\sin \theta |<|\theta |,0\le 1-\cos \theta <|\theta |$. 그런데 ${\displaystyle \underset{\theta \to 0}{lim}0=0,\underset{\theta \to 0}{lim}|\theta |=0}$ 이므로 정리 1에 의하여 ${\displaystyle \underset{\theta \to 0}{lim}|\sin \theta |=0,\underset{\theta \to 0}{lim}(1-\cos \theta )=0\therefore \underset{\theta \to 0}{lim}\sin \theta =0,\underset{\theta \to 0}{lim}\cos \theta =1}$

정리 2. ${\displaystyle \underset{\theta \to 0}{lim}\frac{\sin \theta }{\theta }=1.}$

<증명> 위의 그림에서 △POA<부채꼴 POA<△TOA. 곧, $\frac{\sin \theta }{2}<\frac{\theta }{2}<\frac{\tan \theta }{2}.$

$\frac{\sin \theta }{2}$로 나누면 $1<\frac{\theta }{\sin \theta }<\frac{1}{\cos \theta }$ 이고 각 항이 양수이므로 $1>\frac{\sin \theta }{\theta }<\cos \theta$.

이 부등식은 $-\frac{\pi }{2}<\theta <0$ 일 때도 성립하고 ${\displaystyle \underset{\theta \to 0}{lim}1=1.\underset{\theta \to 0}{lim}\cos \theta =1}$ 이므로 ${\displaystyle \underset{\theta \to 0}{lim}\frac{\sin \theta }{\theta }=1.}$

[예제 2] ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 2x}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{2\sin 2x}{2x}=2\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{\sin \theta }{\theta }=2}$

[예제 3] ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x}{x}=\underset{x\to 0}{lim}(\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{\cos x})=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}\cdot \underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}=1}$

[예제 4] ${\displaystyle \underset{\theta \to 0}{lim}\frac{1-\cos \theta }{{\theta }^2}=\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{1-{\cos }^2\theta }{{\theta }^2(1+\cos \theta )}=\underset{\theta \to 0}{lim}{\left(\frac{\sin \theta }{\theta }\right)}^2\cdot \frac{1}{1+\cos \theta }=1^2\cdot \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}}$

《문    제》

1. ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\sin \frac{1}{x}}$은 존재하지 않음을 보여라.

<증명> $\frac{1}{x}=\theta$로 두면 x→0 일 때 θ→∞ 이므로 0<|sinθ|≤1.

${\displaystyle \underset{\theta \to \mathrm{\infty }}{lim}0=0\ne \underset{\theta \to \mathrm{\infty }}{lim}1=1}$ 이므로 ${\displaystyle \underset{\theta \to \mathrm{\infty }}{lim}\theta }$는 존재하지 않는다.

2. ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}x\sin \frac{1}{x}=0}$임을 보여라.

<증명> $|\sin \frac{1}{x}|\le 1$ 이므로 |x|를 곱하면 $|x\sin \frac{1}{x}|\le |x|.$
${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}|x|=0}$ 이므로 ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}x\sin \frac{1}{x}=0.}$

3. 다음 극한값을 구하여라.

(1) ${\displaystyle \underset{x\to \pi /6}{lim}(x+\sin x)=\frac{\pi }{6}+\sin \frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+\frac{1}{2}}$

(2) ${\displaystyle \underset{x\to \pi /4}{lim}(1+\tan x)(1+\cot x)=(1+\tan \frac{\pi }{4})(1+\cot \frac{\pi }{4})=(1+1)(1+1)=4}$

(3) ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{{\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}}}=\frac{1}{1}=1}$

(4) ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{x\cos 2x}{\sin x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}\cdot \underset{x\to 0}{lim}\cos 2x=1\cdot 1=1}$

(5) ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{4\sin 3x}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{12\sin 3x}{3x}=12\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{\sin \theta }{\theta }=12}$

(6) ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x^2}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x^2}{x^2}\cdot x=\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{\sin \theta }{\theta }\cdot \underset{x\to 0}{lim}x=0}$

(7) ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 4x}{\sin 5x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 4x}{4x}\cdot \frac{5x}{\sin 5x}\cdot \frac{4}{5}=\frac{4}{5}}$

(8) ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}(3x\cot 5x)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{3x}{\tan 5x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{5x}{\tan 5x}\cdot \frac{3}{5}=\frac{3}{5}}$

(9) ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{{\sin }^{2}2x}{x\sin 3x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\sin }^{2}2x}{(2x{)}^2}\cdot \frac{3x}{\sin 3x}\cdot \frac{4}{3}=\frac{4}{3}}$

$\begin{array}{rl}(10)\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sec 2x-1}{x^2}& =\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos 2x}{x^2\cos 2x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-{\cos }^{2}2x}{x^2\cos 2x(1+\cos 2x)}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{4{\sin }^{2}2x}{(2x{)}^2\cos 2x(1+\cos 2x)}=4\cdot 1\cdot \frac{1}{1(1+1)}=2\end{array}$