코시-리만 방정식 (Cauchy-Riemann Equations)
코시-리만 방정식은 많은 다른 형태의 복소함수 도함수 간의 관계이다. 이들은 \({\bf Z}={\bf Z}(z)\)이고 \(z=x+iy\) 일 때 다음과 같다.
\[\begin{split}&{\rm Re}\frac{d{\bf Z}}{dz}=\frac{\partial{\rm Re}{\bf Z}}{\partial x}=\ \ \ \frac{\partial{\rm Im}{\bf Z}}{\partial y}\\&{\rm Im}\frac{d{\bf Z}}{dz}=\frac{\partial{\rm Im}{\bf Z}}{\partial x}=-\frac{\partial{\rm Re}{\bf Z}}{\partial y}\end{split}\]
이 방정식들은 도함수들 간의, 직관적이진 않지만, 흥미로운 관계를 보여준다. 예를 들면, 임의의 복소함수 \({\bf Z}(z)\)는 실수부와 허수부로 \({\bf Z}(z)={\rm Re}{\bf Z}+i{\rm Im}{\bf Z}\)와 같이 분해할 수 있다. 따라서 다음과 같이 코시-리만 방정식을 사용하여 도함수를 표현할 수 있다.
\[\frac{d{\bf Z}}{dz}={\rm Re}\frac{d{\bf Z}}{dz}+i{\rm Im}\frac{d{\bf Z}}{dz}=\frac{\partial{\rm Re}{\bf Z}}{\partial x}+i\frac{\partial{\rm Im}{\bf Z}}{\partial x}=\frac{\partial{\rm Im}{\bf Z}}{\partial y}-i\frac{\partial{\rm Re{\bf Z}}}{\partial y}\]
해석함수(解析函數, Analytic Function) 위의 관계는 \({\bf Z}(z)\) 일 때만 성립한다는 점에 유의해야 한다. 이러한 경우, \(\bf Z\)는 해석적(analytic)이라 한다. \(x\)와 \(y\)는 \(z\) 인수 안에 포함되어 있고 외연적으로는 함수에 드러나지 않는다. 예를 들면, \({\bf Z}(z)=z^2\) 뿐만 아니라 \({\bf Z}(z)=\sin(z)\)와 \({\bf Z}(z)=e^z\sin(z)/\sqrt{z}\) 조차도 해석함수이다. 반면에, \({\bf Z}=xz^2\)는 완벽한 함수이지만 해석적 범주에 들지 않으며 외연적으로 함수에 \(x\)가 포함되어 있으므로 코시-리만 방정식이 적용되지 않는다. |
코시-리만 방정식 예제(Cauchy-Riemann Equation Example) 함수 \({\bf Z}\)가 다음과 같을 때 \[{\bf Z}(z)=z^2=(x+iy)(x+iy)=x^2-y^2+i2xy\] 그 도함수는 \[\frac{d}{dz}\left(z^2\right)=2z=2x+i2y\] 이 함수의 코시-리만 방정식은 다음과 같이 주어진다. \[\begin{align}&{\rm Re}\frac{d{\bf Z}}{dz}=\frac{\partial{\rm Re}{\bf Z}}{\partial x}=\ \ \ \frac{\partial{\rm Im}{\bf Z}}{\partial y}=2x\\&{\rm Im}\frac{d{\bf Z}}{dz}=\frac{\partial{\rm Im}{\bf Z}}{\partial x}=-\frac{\partial{\rm Re}{\bf Z}}{\partial y}=2y\end{align}\] |
코시-리만 방정식 유도(Derivation of Cauchy-Riemann Equations)
코시-리만 방정식이 참이라는 것을 미분을 연계하여 증명하는 것은 상대적으로 쉽다. 단일 인수의 실함수, 즉 \(y=y(x)\)의 간단한 경우로 출발한다. 이 함수의 미소증분은 다음으로 주어진다.
\[dy=\frac{dy}{dx}dx\]
따라서 기울기, \(dy/dx\)가 5 라 하고, \(x\)가 2 만큼 변화하면\((dx=2)\), \(y\)는 10 만큼 변할 것이다\((dy=5*2=10)\).
\(z=z(x,y)\)인 경우와 같이 고차함수라면 다음과 같이 적용된다.
\[dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy\]
이제 복소함수 \({\bf Z}={\bf Z}(z)\) 이고 \(z=x+iy\) 로 놓으면 \(\partial z/\partial x=1\) 이고 \(\partial z/\partial y=i\) 이다. 또한 \(d{\bf Z}/dz\)는 실수부와 허수부로 나눌 수 있다. 따라서 미소증분은 다음과 같이 전개된다.
\[\begin{split}d{\bf Z}&=\frac{d{\bf Z}}{dz}dz\\&=\frac{d{\bf Z}}{dz}\frac{\partial z}{\partial x}dz+\frac{d{\bf Z}}{dz}\frac{\partial z}{\partial y}dy\\&=\frac{d{\bf Z}}{dz}dx+i\frac{d{\bf Z}}{dz}dy\\&=\left({\rm Re}\frac{d{\bf Z}}{dz}+i{\rm Im}\frac{d{\bf Z}}{dz}\right)dx+i\left({\rm Re}\frac{d{\bf Z}}{dz}+i{\rm Im}\frac{d{\bf Z}}{dz}\right)dy\\&={\rm Re}\frac{d{\bf Z}}{dz}dx+i{\rm Im}\frac{d{\bf Z}}{dz}dx+i{\rm Re}\frac{d{\bf Z}}{dz}dy-{\rm Im}\frac{d{\bf Z}}{dz}dy\end{split}\]
위의 식은 \(dx\)의 실수부와 허수부, \(dy\)의 실수부와 허수부의 4개 항으로 구성된다. 어떤항이 실수이고 허수인지 주의 깊게 관찰한다. 예를 들어 \({\rm Im}(d{\bf Z}/dz)dy\)는 이제 \(i\)가 없으므로 실수부이다. 반대로 \({\rm Re}(d{\bf Z}/dz)dy\)는 이제 \(i\)의 계수이므로 허수부이다.
이번에는 이 과정을 다시 밟아 이미 유도된 4개항과 반드시 같아야 될 다른 4개항의 조합을 유도한다. 다시 \({\bf Z}(z)={\rm Re}{\bf Z}+i{\rm Im}{\bf Z}\)에서 출발하면, \({\rm Re}{\bf Z}\)와 \({\rm Im}{\bf Z}\)는 실제로는 둘 다 \(x\)와 \(y\)의 실함수이다. 그러므로, 두 실수부와 허수부의 미분은 아래와 같이 직접 \(dx\)와 \(dy\)의 항으로 표현할 수 있다.
\[\begin{split}d{\bf Z}&=\frac{\partial}{\partial x}({\rm Re}{\bf Z}+i{\rm Im}{\bf Z})dx+\frac{\partial}{\partial y}({\rm Re}{\bf Z}+i{\rm Im}{\bf Z})dy\\&=\frac{\partial{\rm Re}{\bf Z}}{\partial x}dx+i\frac{\partial{\rm Im}{\bf Z}}{\partial x}dx+\frac{\partial{\rm Re}{\bf Z}}{\partial y}dy+i\frac{\partial{\rm Im}{\bf Z}}{\partial y}dy\end{split}\]
이것이 \(d\bf Z\)를 \(dx\)와 \(dy\)에 관한 4개의 항으로 표현한 두번째 방정식이다. 그리고 이들 4개항은 첫번째 식의 4개항과 반드시 같아야 한다. 따라서 이들 전체를 동일하다고 놓으면
\[\begin{align}&{\rm Re}\frac{d{\bf Z}}{dz}=\frac{\partial{\rm Re}{\bf Z}}{\partial x}\qquad{\rm Re}\frac{d{\bf Z}}{dz}=\ \ \ \frac{\partial{\rm Im}{\bf Z}}{\partial y}\\&{\rm Im}\frac{d{\bf Z}}{dz}=\frac{\partial{\rm Im}{\bf Z}}{\partial x}\qquad{\rm Im}\frac{d{\bf Z}}{dz}=-\frac{\partial{\rm Re}{\bf Z}}{\partial y}\end{align}\]
이고 다음과 같이 간결하게 쓸 수 있다.
\[\begin{split}&{\rm Re}\frac{d{\bf Z}}{dz}=\frac{\partial{\rm Re}{\bf Z}}{\partial x}=\ \ \ \frac{\partial{\rm Im}{\bf Z}}{\partial y}\\&{\rm Im}\frac{d{\bf Z}}{dz}=\frac{\partial{\rm Im}{\bf Z}}{\partial x}=-\frac{\partial{\rm Re}{\bf Z}}{\partial y}\end{split}\]
실수부와 허수부(Real and Imaginary Parts) 함수 \({\bf Z}(z)=z^2\)는 쉽게 실수부와 허수부로 분해된다. \[{\bf Z}(z)=z^2=(x+iy)(x+yi)=x^2-y^2+i2xy\] 하지만 분해가 가능하여도 항상 쉽게 되는 것은 아니다. 예를 들면, 함수 \({\bf Z}=\sin(z)\)는 쉽게 분해되지 않는다. 다음과 같은 몇가지 항등식이 요구된다. \[\begin{align}{\bf Z}&=\sin(z)\\&=\sin(x+iy)\\&=\sin(x)\cos(iy)+\cos(x)\sin(iy)\\&=\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y)\end{align}\] 복소함수를 실수부와 허수부로 나눌 때 수학적 항등식 활용이 여의치 않을 경우에는, 그 함수를 테일러 급수(Taylor series) 전개하는 것이다. \[\begin{align}{\bf Z}&=\sin(z)=z-{z^3\over3!}+{z^5\over5!}+\cdots\\&=(x+iy)-{(x+iy)^3\over6}+{(x+iy)^5\over120}+\cdots\\&=\left(x-{1\over6}x^3+{1\over2}xy^2+\cdots\right)+i\left(y-{1\over2}x^2+{1\over6}y^3+\cdots\right)\end{align}\] |
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