삼각함수의 역함수

역정현함수ㆍ역여현함수

정현(sine)을 구간 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$에서 생각하여

$\begin{array}{r}f(x)=\sin x,-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}\end{array}$

로 두면 $f$는

(1) ${\text{D}}_f=[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],{\text{R}}_f=[-1,1]$

(2) 연속이고 강한 의미의 증가함수이다.

따라서 역함수 $g$가 존재하여 $g$는

(1) ${\text{D}}_g=[-1,1],{\text{R}}_g=[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$

(2) 연속이고 강한 의미의 증가함수이다.

이 때 $g$를 ${\text{Sin}}^{-1}$로 나타내고 다음과 같이 쓴다.

$g(x)={\text{Sin}}^{-1}x$

일반으로 $f(x)=\sin x$에서 $m$을 임의의 정수라 할 때

(a) ${\text{D}}_f=[(2m-\frac{1}{2})\pi ,(2m+\frac{1}{2})\pi ]$라고 하면 ${\text{R}}_f=[-1,1]$

$f$는 연속이고 강한 의미의 증가함수

(b) ${\text{D}}_f=[(2m+\frac{1}{2})\pi ,(2m+\frac{3}{2})\pi ]$라고 하면 ${\text{R}}_f=[-1,1]$

$f$는 연속이고 강한 의미의 감소함수

따라서 역함수 g가 존재하여 다음과 같이 된다.

(a) ${\text{D}}_g=[-1,1],{\text{R}}_g=[(2m-\frac{1}{2})\pi ,(2m+\frac{1}{2})\pi ]$

$g$는 연속이고 강한 의미의 증가함수

(b) ${\text{D}}_g=[-1,1],{\text{R}}_g=[(2m+\frac{1}{2})\pi ,(2m+\frac{3}{2})\pi ]$

$g$는 연속이고 강한 의미의 감소함수

정수 $m$의 각각의 값에 대응하는 역함수를 역정현함수(逆正弦函數)의 분지(分枝)라 하고, 특히 $m=0$인 경우 곧 ${\text{Sin}}^{-1}x$로 나타내는 분지를 주치(主値) 또는 주분지(主分枝)라 한다. 역정현함수의 일반적인 분지를 나타낼 때는 $\text{S}$를 소문자로 사용하여 ${\sin }^{-1}x$로 나타낸다.

${\sin }^{-1}x$는 정현의 값이 x인 각을 나타내고, ${\text{Sin}}^{-1}x$는 이와 같은 각 중에서 제1 또는 4 사분면에 있고 절대값이 최소인 것을 나타낸다. 곧,

$\begin{array}{rl}\theta & ={\sin }^{-1}x\mathrm{이}\mathrm{면}x=\sin \theta \\ x& =\sin \theta ,-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}\mathrm{이}\mathrm{면}\theta ={\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{-1}x\end{array}$

일반적으로 임의의 정수 $n$에 대하여

$\begin{array}{rl}x& =\sin \theta ,(n-\frac{1}{2})\pi \le \theta \le (n+\frac{1}{2})\mathrm{이}\mathrm{면}\\ \theta & =(-1{)}^n{\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{-1}x+n\pi \end{array}$

여현(cosine)의 경우도 정현과 마찬가지로 적당한 구간에서 역여현함수(逆余弦函數)가 존재한다.

$f(x)=\cos x,0\le x\le \pi$

라 놓으면 $f$는

(1) ${\mathrm{D}}_f=[0,\pi ],{\mathrm{R}}_f=[-1,1]$

(2) 연속이고 강한 의미의 감소함수

따라서 역함수 g가 존재하고, g는

(1) ${\mathrm{D}}_{\mathrm{ㅎ}}=[-1,1],{\mathrm{R}}_f=[0,\pi ]$

(2) 연속이고 강한 의미의 감소함수.

이 $g$를 ${\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}x$로 나타내고 $g(x)={\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}x$로 쓴다.

일반적으로 $f(x)=\cos x$에서 $m$을 임의의 정수라 할 때 $f$는

(1) ${\mathrm{D}}_f=[2m\pi ,(2m+1)\pi ],{\mathrm{R}}_f=[-1,1]$, 연속이고, 강한 의미의 단조감소함수

(2) ${\mathrm{D}}_f=[(2m-1)\pi ,2m\pi ],{\mathrm{R}}_f=[-1,1]$, 연속이고, 강한 의미의 단조증가함수

따라서 각각의 정의역을 정하면 역함수 $g$가 존재하고 $g$는

(1) ${\mathrm{D}}_g=[-1,1],{\mathrm{R}}_g=[2m\pi ,(2m+1)\pi ]$, 연속이고, 강한 의미의 단조감소함수

(2) ${\mathrm{D}}_g=[-1,1],{\mathrm{R}}_g=[(2m-1)\pi ,2m\pi ]$, 연속이고, 강한 의미의 단조증가함수

이와 같이 $\cos x$는 정의역이 $[-1,1]$이고, 치역이 다른 역함수를 무수히 갖는다. 정수 $m$의 각각의 값에 대응하여 얻어진 역함수를 각각 역여현함수의 분지(分枝)라고 하고, 특히 $m=0$ 일 때의 분지를 주치(主値) 또는 주분지(主分枝)라고 한다.

역여현함수의 일반적인 분지는 $\mathrm{C}$를 소문자로하여 ${\cos }^{-1}x$로 나타낸다. 곧,

$\begin{array}{rl}\theta & ={\cos }^{-1}x\mathrm{이}\mathrm{면}x=\cos \theta \\ x& =\cos \theta ,0\le \theta \le \pi \mathrm{이}\mathrm{면}\theta ={\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}x.\end{array}$

일반적으로 임의의 정수 $n$에 대하여

$\begin{array}{rl}x& =\cos \theta ,n\pi \le \theta \le (n+1)\pi \mathrm{이}\mathrm{면}\\ \theta & =(-1{)}^n{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}x+\{n+\frac{(-1{)}^{n-1}+1}{2}\pi \}\end{array}$

[예제 1] $x=\frac{1}{2},1,-\frac{1}{\sqrt{2}}$일 때 각각 ${\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{-1}x,{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}x$의 값을 구하여라.

<풀이> $\theta ={\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{-1}x$라 놓으면 $-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ 이고, $\sin \theta =x$ 이므로

$x=\frac{1}{2}$ 이면 $\sin \theta =\frac{1}{2}.\therefore \theta =\frac{\pi }{6}$

같은 방법으로 ${\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{-1}1=\frac{\pi }{2},{\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})=-\frac{\pi }{4}.$

$\theta ={\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}x$라 놓으면 $0\le \theta \le \pi$ 이고, $\cos \theta =x$ 이므로

$x=\frac{1}{2}$ 이면 $\cos \theta =\frac{1}{2}.\therefore \theta =\frac{\pi }{3}.$

같은 방법으로 ${\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}1=0,{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})=-\frac{3\pi }{4}.$

[예제 2] ${\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{-1}(-x)=-{\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{-1}x$ 임을 증명하여라.

<증명> $\theta ={\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{-1}x$라 놓으면 $x=\sin \theta$

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(-\theta )=-\theta =-\mathrm{x}$

또한, $-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ 이므로 $-\frac{\pi }{2}\le -\theta \le \frac{\pi }{2}$

$\therefore {\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{-1}(-x)=-\theta =-{\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{-1}x.$

[예제 3] ${\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{-1}x+{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}x=\frac{\pi }{2}$임을 증명하여라.

<증명> $-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2},\varphi =\frac{\pi }{2}-\theta$ 라고 하면

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi =\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\frac{\pi }{2}-\theta )=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta ,0\le \varphi \le \pi$이다.

여기서 $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta =\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi =x$라 놓으면

${\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{-1}x=\theta ,{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}x=\varphi ,\theta +\varphi =\frac{\pi }{2}$ 이므로

${\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{-1}x+{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}x=\frac{\pi }{2}.$

역정접함수ㆍ역여접함수

$\tan x$는 구간 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$에서 연속이고, 강한 의미의 단조증가함수이고, 치역은 $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ 이다. 따라서 정의역이 $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$, 치역이 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$, 연속이고 강한 의미의 증가함수인 역함수가 존재한다.

이것을 ${\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}x$로 나타내고 역정접함수(逆正接函數)의 주치(主値) 또는 주분지(主分枝)라고 한다. 곧,

$\begin{array}{r}x=\tan \theta ,-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}\end{array}$ 이면 $\theta ={\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}x$ 이다.

역정접함수도 무한히 많은 분지를 가지고 있다. 일반적인 분지를 나타낼 때는 $\mathrm{T}$를 소문자로 하여 ${\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}x$로 쓰고 그 정접이 $x$인 각을 나타낸다.

${\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}x$는 그와 같은 각 중에서 제 1사분면 또는 제 4사분면에 있고 절대값이 최소인 것을 나타낸다. 일반으로

$\begin{array}{rl}x& =\tan \theta ,(n-\frac{1}{2})\pi <(n+\frac{1}{2})\pi \mathrm{이}\mathrm{면}\\ \theta & ={\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}x+n\pi .\end{array}$

$\cot x$는 구간 $(0,\pi )$에서 연속인 강한 의미의 단조감소함수이고, 치역은 $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ 이다. 따라서 정의역이 $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$, 치역이 $(0,\pi )$, 강한 의미의 단조감소하는 역함수가 존재한다. 이것을 ${\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{t}}^{-1}x$로 나타내고 역여접함수(逆余接函數)의 주치 또는 주분지라고 한다. 곧,

$x=\cot \theta ,0<\theta <\pi$ 이면 $\theta ={\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{t}}^{-1}x.$

역여접함수도 무한히 많은 분지를 가지며 일반적인 분지를 나타낼 때는 $\mathrm{C}$를 소문자로 하여 $\cot x$로 쓴다.

[예제 4] ${\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}x+{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{t}}^{-1}x=\frac{\pi }{2}$임을 증명하여라.

<증명> $-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2},\varphi =\frac{\pi }{2}-\theta$라고 놓으면

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta =\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\varphi =x,0<\theta <\pi .$

따라서 ${\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}x=\theta ,{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{t}}^{-1}x=\varphi ,\theta +\varphi ={\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}x+{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{t}}^{-1}x=\frac{\pi }{2}$

역정할함수ㆍ역여할함수

정할(secant), 여할(cosecant)에 대해서도 적당한 구간에서 역함수를 정의할 수 있다. 이 경우에도 무한히 많은 분지를 갖고 그 주치는 다음과 같이 정한다.

$\begin{array}{rl}x& =\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\theta ,0\le \theta \le x(\theta \ne \frac{\pi }{2})\mathrm{이}\mathrm{면}{\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}}^{-1}x=\theta \\ x& =\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\theta ,-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}(\theta \ne 0)\mathrm{이}\mathrm{면}{\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{c}}^{-1}x=\theta .\end{array}$

따라서 ${\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}}^{-1}$ 및 ${\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{c}}^{-1}x$의 정의역은

$\mid x\mid \ge 1곧,(-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,\mathrm{\infty })$

이고 치역은

$\begin{array}{rl}\theta & ={\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}}^{-1}x일때는[0,\frac{\pi }{2})\cup (\frac{\pi }{2},\pi ]\\ \theta & ={\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{c}}^{-1}x일때는[-\frac{\pi }{2},0)\cup (0,\frac{\pi }{2}]\end{array}$

역정할, 역여할함수에 대해서도 일반적인 분지를 각각 ${\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}}^{-1}x,{\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}}^{-1}x$로 나타낸다.

[예제 5] ${\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}}^{-1}x={\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}\frac{1}{x},{\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{c}}^{-1}x={\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{-1}\frac{1}{x}$ 임을 증명하여라.

<증명> ${\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}}^{-1}x=\theta$라 놓으면 $x=\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta }$

$\therefore \cos \theta =\frac{1}{x},\theta ={\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}\frac{1}{x}$

또한, ${\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{c}}^{-1}x=\theta$라 놓으면 $x=\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta }$

$\therefore \sin \theta =\frac{1}{x},\theta ={\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{-1}\frac{1}{x}$

《문      제》

1. 다음 값을 구하여라.

(1) ${\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$

(2) ${\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{-1}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3}$

(3) ${\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}1=\frac{\pi }{4}$

(4) ${\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{-1}(-1)=-\frac{\pi }{2}$

(5) ${\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}\sqrt{3}=\frac{\pi }{3}$

(6) $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}2\right)=\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$

(7) ${\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}\left\{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(-\frac{\pi }{4})\right\}={\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}(-1)=\pi$

(8) $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{-1}\frac{3}{5}\right)=\frac{\sqrt{5^2-3^2}}{5}=\frac{4}{5}$

(9) $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}\frac{2}{3}+\frac{\pi }{2})=-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}\frac{2}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3^2-2^2}}{3}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$

2. ${\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}\frac{1}{x}=\{\begin{array}{l}{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{t}}^{-1}x,0<x<\mathrm{\infty }\\ {\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{t}}^{-1}x-\pi ,-\mathrm{\infty }<x<0\end{array}$ 임을 증명하여라.

<증명> $0<x<\mathrm{\infty }$ 일 때 ${\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{t}}^{-1}x=\theta$라 놓으면

$0<\theta <\frac{\pi }{2}$ 이고 $x=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\theta =\frac{1}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta }$ 이므로

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta =\frac{1}{x}.\therefore \theta ={\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}\frac{1}{x}={\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{t}}^{-1}x$

또한, $-\mathrm{\infty }<x<0$ 일 때 ${\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{t}}^{-1}x-\pi =\theta$라 놓으면

$\frac{\pi }{2}<\theta <\pi$ 이고 $x=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}(\theta +\pi )=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\theta =\frac{1}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta }$ 이므로

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta =\frac{1}{x}.\therefore \theta ={\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}\frac{1}{x}={\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{t}}^{-1}x-\pi$

3. ${\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}\frac{2x}{1-x^2}=2{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}x,-1<x<1$ 임을 증명하여라.

<증명> 삼각함수 항등식을 활용한다.

${\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}x=\theta$로 두면 $x=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta .$

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}2\theta =\frac{2\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta }{1-{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}}^2\theta }=\frac{2x}{1-x^2}$ 이므로

$2\theta =2{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}x={\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}\frac{2x}{1-x^2}.$

4. ${\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{-1}\sqrt{1-x^2}=\{\begin{array}{l}{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}x,0\le x\le 1\\ \pi -{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}x,-1\le x\le 0\end{array}$ 임을 증명하여라.

<증명> $0\le x\le 1$ 일 때 ${\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}=\theta$라 놓으면

$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ 이고 $x=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta$ 이므로 $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta =\sqrt{1-{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^2\theta }=\sqrt{1-x^2}.$

$\therefore \theta ={\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{-1}\sqrt{1-x^2}=\pi -{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}x$

5. ${\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}}^{-1}x+{\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{c}}^{-1}x=\frac{\pi }{2}$임을 증명하여라.

<증명> ${\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}}^{-1}x=\theta ,0\le \theta \le \pi (\theta \ne \frac{\pi }{2}),\varphi =\frac{\pi }{2}-\theta$라 놓으면

$\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\theta =\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}(\frac{\pi }{2}-\varphi )=\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\varphi =x$ 이므로 ${\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}}^{-1}x=\theta ,{\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{c}}^{-1}=\varphi .$

$\therefore \theta +\varphi ={\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}}^{-1}x+{\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{c}}^{-1}x=\frac{\pi }{2}$

6. $\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(2{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}\frac{3}{4}+{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}\frac{5}{12})$의 값을 구하여라.

<풀이> 삼각함수 항등식을 활용한다.

$\alpha ={\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}\frac{3}{4},\beta ={\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}\frac{5}{12}$라 두면

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\alpha =\frac{3}{4},\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta =\frac{5}{12}$ 이므로

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}2\alpha =\frac{2\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\alpha }{1-{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}}^2\alpha }=\frac{(2)(3/4)}{1-(3/4{)}^2}=\frac{24}{7}.$ 따라서

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(2{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}\frac{3}{4}+{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}\frac{5}{12})=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(2\alpha +\beta )$

$=\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}2\alpha +\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta }{1-\tan 2\alpha \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta }=\frac{24/7+5/12}{1-(24/7)(5/12)}=-\frac{323}{36}.$