삼각함수의 역함수

역정현함수ㆍ역여현함수

정현(sine)을 구간 \(\left[-{\pi\over 2},\,{\pi\over 2}\right]\)에서 생각하여

\(\begin{align}f(x)=\sin x,\,-{\pi\over 2}\le x\le{\pi\over 2}\end{align}\)

로 두면 \(f\)는

(1) \(\text{D}_f=\left[-{\pi\over 2},\,{\pi\over 2}\right],\,\text{R}_f=[-1, 1]\)

(2) 연속이고 강한 의미의 증가함수이다.

따라서 역함수 \(g\)가 존재하여 \(g\)는

(1) \(\text{D}_g=[-1, 1],\,\text{R}_g=\left[-{\pi\over 2},\,{\pi\over 2}\right]\)

(2) 연속이고 강한 의미의 증가함수이다.

이 때 \(g\)를 \(\text{Sin}^{-1}\)로 나타내고 다음과 같이 쓴다.

\(g(x)=\text{Sin}^{-1}x\)

일반으로 \(f(x)=\sin x\)에서 \(m\)을 임의의 정수라 할 때

(a) \(\text{D}_f=\left[\left(2m-{1\over 2}\right)\pi,\,\left(2m+{1\over 2}\right)\pi\right]\)라고 하면 \(\text{R}_f=[-1,\,1]\)

\(f\)는 연속이고 강한 의미의 증가함수

(b) \(\text{D}_f=\left[\left(2m+{1\over 2}\right)\pi,\,\left(2m+{3\over 2}\right)\pi\right]\)라고 하면 \(\text{R}_f=[-1,\,1]\)

\(f\)는 연속이고 강한 의미의 감소함수

따라서 역함수 g가 존재하여 다음과 같이 된다.

(a) \(\text{D}_g=[-1, 1],\,\text{R}_g=\left[\left(2m-{1\over 2}\right)\pi, \left(2m+{1\over 2}\right)\pi\right]\)

\(g\)는 연속이고 강한 의미의 증가함수

(b) \(\text{D}_g=[-1, 1],\,\text{R}_g=\left[\left(2m+{1\over 2}\right)\pi, \left(2m+{3\over 2}\right)\pi\right]\)

\(g\)는 연속이고 강한 의미의 감소함수

정수 \(m\)의 각각의 값에 대응하는 역함수를 역정현함수(逆正弦函數)의 분지(分枝)라 하고, 특히 \(m=0\)인 경우 곧 \(\text{Sin}^{-1}x\)로 나타내는 분지를 주치(主値) 또는 주분지(主分枝)라 한다. 역정현함수의 일반적인 분지를 나타낼 때는 \(\text{S}\)를 소문자로 사용하여 \(\sin^{-1}x\)로 나타낸다.

\(\sin^{-1}x\)는 정현의 값이 x인 각을 나타내고, \(\text{Sin}^{-1}x\)는 이와 같은 각 중에서 제1 또는 4 사분면에 있고 절대값이 최소인 것을 나타낸다. 곧,

\(\begin{split}\theta&=\sin^{-1}x\ {\rm 이면}\ x=\sin\theta\\x&=\sin\theta,\,-{\pi\over 2}\le\theta\le{\pi\over 2}\ {\rm 이면}\ \theta={\rm Sin}^{-1}x\end{split}\)

일반적으로 임의의 정수 \(n\)에 대하여

\(\begin{align}x&=\sin\theta,\,\left(n-{1\over 2}\right)\pi\le\theta\le\left(n+{1\over 2}\right)\ {\rm 이면}\\\theta&=(-1)^n{\rm Sin}^{-1}x+n\pi\end{align}\)

여현(cosine)의 경우도 정현과 마찬가지로 적당한 구간에서 역여현함수(逆余弦函數)가 존재한다.

\(f(x)=\cos x,\,0\le x\le\pi\)

라 놓으면 \(f\)는

(1) \({\rm D}_f=[0, \pi],\,{\rm R}_f=[-1, 1]\)

(2) 연속이고 강한 의미의 감소함수

따라서 역함수 g가 존재하고, g는

(1) \({\rm D}_ㅎ=[-1, 1],\,{\rm R}_f=[0, \pi]\)

(2) 연속이고 강한 의미의 감소함수.

이 \(g\)를 \({\rm Cos}^{-1}x\)로 나타내고 \(g(x)={\rm Cos}^{-1}x\)로 쓴다.

일반적으로 \(f(x)=\cos x\)에서 \(m\)을 임의의 정수라 할 때 \(f\)는

(1) \({\rm D}_f=[2m\pi, (2m+1)\pi],\,{\rm R}_f=[-1, 1]\), 연속이고, 강한 의미의 단조감소함수

(2) \({\rm D}_f=[(2m-1)\pi, 2m\pi],\,{\rm R}_f=[-1, 1]\), 연속이고, 강한 의미의 단조증가함수

따라서 각각의 정의역을 정하면 역함수 \(g\)가 존재하고 \(g\)는

(1) \({\rm D}_g=[-1, 1],\,{\rm R}_g=[2m\pi, (2m+1)\pi]\), 연속이고, 강한 의미의 단조감소함수

(2) \({\rm D}_g=[-1, 1],\,{\rm R}_g=[(2m-1)\pi, 2m\pi]\), 연속이고, 강한 의미의 단조증가함수

이와 같이 \(\cos x\)는 정의역이 \([-1, 1]\)이고, 치역이 다른 역함수를 무수히 갖는다. 정수 \(m\)의 각각의 값에 대응하여 얻어진 역함수를 각각 역여현함수의 분지(分枝)라고 하고, 특히 \(m=0\) 일 때의 분지를 주치(主値) 또는 주분지(主分枝)라고 한다.

역여현함수의 일반적인 분지는 \(\rm C\)를 소문자로하여 \(\cos^{-1}x\)로 나타낸다. 곧,

\(\begin{split}\theta&=\cos^{-1}x\ {\rm 이면}\  x=\cos\theta\\x&=\cos\theta,\,0\le\theta\le\pi\ {\rm 이면}\ \theta={\rm Cos}^{-1}x.\end{split}\)

일반적으로 임의의 정수 \(n\)에 대하여

\(\begin{align}x&=\cos\theta,\,n\pi\le\theta\le(n+1)\pi\ {\rm 이면}\\\theta&=(-1)^n{\rm Cos}^{-1}x+\left\{n+\frac{(-1)^{n-1}+1}{2}\pi\right\}\end{align}\)

[예제 1] \(x={1\over 2}, 1, -{1\over\sqrt{2}}\)일 때 각각 \({\rm Sin}^{-1}x, {\rm Cos}^{-1}x\)의 값을 구하여라.

<풀이> \(\theta={\rm Sin}^{-1}x\)라 놓으면 \(-{\pi\over 2}\le\theta\le{\pi\over 2}\) 이고, \(\sin\theta=x\) 이므로

\(x={1\over 2}\) 이면 \(\sin\theta={1\over 2}.\:\therefore\,\theta={\pi\over 6}\)

같은 방법으로 \({\rm Sin}^{-1}1={\pi\over2},\,{\rm Sin}^{-1}\left(-{1\over\sqrt{2}}\right)=-{\pi\over 4}.\)

\(\theta={\rm Cos}^{-1}x\)라 놓으면 \(0\le\theta\le\pi\) 이고, \(\cos\theta=x\) 이므로

\(x={1\over 2}\) 이면 \(\cos\theta={1\over 2}.\:\therefore\,\theta={\pi\over 3}.\)

같은 방법으로 \({\rm Cos}^{-1}1=0,\,{\rm Cos}^{-1}\left(-{1\over\sqrt{2}}\right)=-{3\pi\over 4}.\)

[예제 2] \({\rm Sin}^{-1}(-x)=-{\rm Sin}^{-1}x\) 임을 증명하여라.

<증명> \(\theta={\rm Sin}^{-1}x\)라 놓으면 \(x=\sin\theta\)

\({\rm sin}(-\theta)=-\rm\theta=-x\)

또한, \(-{\pi\over 2}\le\theta\le{\pi\over 2}\) 이므로 \(-{\pi\over 2}\le-\theta\le{\pi\over 2}\)

\(\therefore\,{\rm Sin}^{-1}(-x)=-\theta=-{\rm Sin}^{-1}x.\)

[예제 3] \({\rm Sin}^{-1}x+{\rm Cos}^{-1}x={\pi\over 2}\)임을 증명하여라.

<증명> \(-{\pi\over 2}\le\theta\le{\pi\over 2},\,\phi={\pi\over 2}-\theta\) 라고 하면

\({\rm cos}\phi={\rm cos}\left({\pi\over 2}-\theta\right)={\rm sin}\theta,\,0\le\phi\le\pi\)이다.

여기서 \({\rm sin}\theta={\rm cos}\phi=x\)라 놓으면

\({\rm Sin}^{-1}x=\theta,\,{\rm Cos}^{-1}x=\phi,\,\theta+\phi={\pi\over 2}\) 이므로

\({\rm Sin}^{-1}x+{\rm Cos}^{-1}x={\pi\over 2}.\)

역정접함수ㆍ역여접함수

\(\tan x\)는 구간 \(\left[-{\pi\over 2}, {\pi\over 2}\right]\)에서 연속이고, 강한 의미의 단조증가함수이고, 치역은 \((-\infty, \infty)\) 이다. 따라서 정의역이 \((-\infty, \infty)\), 치역이 \(\left[-{\pi\over 2}, {\pi\over 2}\right]\), 연속이고 강한 의미의 증가함수인 역함수가 존재한다.

이것을 \({\rm Tan}^{-1}x\)로 나타내고 역정접함수(逆正接函數)의 주치(主値) 또는 주분지(主分枝)라고 한다. 곧,

\(\begin{align}x=\tan\theta,\:-{\pi\over 2}<\theta<{\pi\over 2}\end{align}\) 이면 \(\theta={\rm Tan}^{-1}x\) 이다.

역정접함수도 무한히 많은 분지를 가지고 있다. 일반적인 분지를 나타낼 때는 \({\rm T}\)를 소문자로 하여 \({\rm tan}^{-1}x\)로 쓰고 그 정접이 \(x\)인 각을 나타낸다.

\({\rm Tan}^{-1}x\)는 그와 같은 각 중에서 제 1사분면 또는 제 4사분면에 있고 절대값이 최소인 것을 나타낸다. 일반으로

\(\begin{align}x&=\tan\theta,\,\left(n-{1\over 2}\right)\pi<\left(n+{1\over 2}\right)\pi\ {\rm 이면}\\\theta&={\rm Tan}^{-1}x+n\pi.\end{align}\)

\(\cot x\)는 구간 \((0, \pi)\)에서 연속인 강한 의미의 단조감소함수이고, 치역은 \((-\infty, \infty)\) 이다. 따라서 정의역이 \((-\infty, \infty)\), 치역이 \((0, \pi)\), 강한 의미의 단조감소하는 역함수가 존재한다. 이것을 \({\rm Cot}^{-1}x\)로 나타내고 역여접함수(逆余接函數)의 주치 또는 주분지라고 한다. 곧,

\(x=\cot\theta,\:0<\theta<\pi\) 이면 \(\theta={\rm Cot}^{-1}x.\)

역여접함수도 무한히 많은 분지를 가지며 일반적인 분지를 나타낼 때는 \({\rm C}\)를 소문자로 하여 \(\cot x\)로 쓴다.

[예제 4] \({\rm Tan}^{-1}x+{\rm Cot}^{-1}x={\pi\over 2}\)임을 증명하여라.

<증명> \(-{\pi\over 2}<\theta<{\pi\over 2},\,\phi={\pi\over 2}-\theta\)라고 놓으면

\({\rm tan}\theta={\rm cot}\phi=x,\,0<\theta<\pi.\)

따라서 \({\rm Tan}^{-1}x=\theta,\,{\rm Cot}^{-1}x=\phi,\,\theta+\phi={\rm Tan}^{-1}x+{\rm Cot}^{-1}x={\pi\over 2}\)

역정할함수ㆍ역여할함수

정할(secant), 여할(cosecant)에 대해서도 적당한 구간에서 역함수를 정의할 수 있다. 이 경우에도 무한히 많은 분지를 갖고 그 주치는 다음과 같이 정한다.

\(\begin{split}x&={\rm sec}\theta,\:0\le\theta\le x\left(\theta\neq{\pi\over 2}\right)\ {\rm 이면}\ {\rm Sec}^{-1}x=\theta\\x&={\rm csc}\theta,\:-{\pi\over 2}\le\theta\le{\pi\over 2}(\theta\neq0)\ {\rm 이면}\ {\rm Csc}^{-1}x=\theta.\end{split}\)

따라서 \({\rm Sec}^{-1}\) 및 \({\rm Csc}^{-1}x\)의 정의역은

\(\mid x\mid\ge1 곧, (-\infty, -1]\cup[1, \infty)\)

이고 치역은

\(\begin{split}\theta&={\rm Sec}^{-1}x 일 때는 \left[0, {\pi\over 2}\right)\cup\left({\pi\over 2}, \pi\right]\\\theta&={\rm Csc}^{-1}x 일 때는 \left[-{\pi\over 2}, 0\right)\cup\left(0, {\pi\over 2}\right]\end{split}\)

역정할, 역여할함수에 대해서도 일반적인 분지를 각각 \({\rm sec}^{-1}x,\,{\rm csc}^{-1}x\)로 나타낸다.

[예제 5] \({\rm Sec}^{-1}x={\rm Cos}^{-1}{1\over x},\,{\rm Csc}^{-1}x={\rm Sin}^{-1}{1\over x}\) 임을 증명하여라.

<증명> \({\rm Sec}^{-1}x=\theta\)라 놓으면 \(x=\sec\theta={1\over{\cos\theta}}\)

\(\therefore\:\cos\theta={1\over x},\,\theta={\rm Cos}^{-1}{1\over x}\)

또한, \({\rm Csc}^{-1}x=\theta\)라 놓으면 \(x=\csc\theta={1\over{\sin\theta}}\)

\(\therefore\:\sin\theta={1\over x},\,\theta={\rm Sin}^{-1}{1\over x}\)

《문      제》

1. 다음 값을 구하여라.

(1) \({\rm Cos}^{-1}{\sqrt{2}\over 2}={\pi\over 4}\)

(2) \({\rm Sin}^{-1}{\sqrt{3}\over 2}={\pi\over 3}\)

(3) \({\rm Tan}^{-1}1={\pi\over 4}\)

(4) \({\rm Sin}^{-1}(-1)=-{\pi\over 2}\)

(5) \({\rm Tan}^{-1}\sqrt{3}={\pi\over 3}\)

(6) \({\rm sin}\left({\rm Tan}^{-1}2\right)=\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2}}={2\over\sqrt{5}}\)

(7) \({\rm Cos}^{-1}\left\{{\rm tan}\left(-{\pi\over 4}\right)\right\}={\rm Cos}^{-1}(-1)=\pi\)

(8) \({\rm cos}\left({\rm Sin}^{-1}{3\over 5}\right)=\frac{\sqrt{5^2-3^2}}{5}={4\over 5}\)

(9) \({\rm cos}\left({\rm Cos}^{-1}{2\over 3}+{\pi\over 2}\right)=-{\rm sin}\left({\rm Cos}^{-1}{2\over 3}\right)=-\frac{\sqrt{3^2-2^2}}{3}=-{\sqrt{5}\over 3}\)

2. \({\rm Tan}^{-1}{1\over x}=\begin{cases}{\rm Cot}^{-1}x,\quad\quad\ \ \ \ \ 0<x<\infty\\{\rm Cot}^{-1}x-\pi,\,-\infty<x<0\end{cases}\) 임을 증명하여라.

<증명> \(0<x<\infty\) 일 때 \({\rm Cot}^{-1}x=\theta\)라 놓으면

\(0<\theta<{\pi\over 2}\) 이고 \(x={\rm cot}\theta={1\over{{\rm tan}\theta}}\) 이므로

\({\rm tan}\theta={1\over x}.\ \therefore\theta={\rm Tan}^{-1}{1\over x}={\rm Cot}^{-1}x\)

또한, \(-\infty<x<0\) 일 때 \({\rm Cot}^{-1}x-\pi=\theta\)라 놓으면

\({\pi\over 2}<\theta<\pi\) 이고 \(x={\rm cot}(\theta+\pi)={\rm cot}\theta={1\over{{\rm tan}\theta}}\) 이므로

\({\rm tan}\theta={1\over x}.\ \therefore\theta={\rm Tan}^{-1}{1\over x}={\rm Cot}^{-1}x-\pi\)

3. \({\rm Tan}^{-1}\frac{2x}{1-x^2}=2{\rm Tan}^{-1}x,\ -1<x<1\) 임을 증명하여라.

<증명> 삼각함수 항등식을 활용한다.

\({\rm Tan}^{-1}x=\theta\)로 두면 \(x={\rm tan}\theta.\)

\({\rm tan}2\theta=\frac{2{\rm tan}\theta}{1-{\rm tan}^2\theta}=\frac{2x}{1-x^2}\) 이므로

\(2\theta=2{\rm Tan}^{-1}x={\rm Tan}^{-1}\frac{2x}{1-x^2}.\)

4. \({\rm Sin}^{-1}\sqrt{1-x^2}=\begin{cases}{\rm Cos}^{-1}x,\quad\quad\quad\ 0\le x\le1\\\pi-{\rm Cos}^{-1}x,\,-1\le x\le0\end{cases}\) 임을 증명하여라.

<증명> \(0\le x\le1\) 일 때 \({\rm Cos}^{-1}=\theta\)라 놓으면

\(0\le\theta\le{\pi\over 2}\) 이고 \(x={\rm cos}\theta\) 이므로 \({\rm sin}\theta=\sqrt{1-{\rm cos}^2\theta}=\sqrt{1-x^2}.\)

\(\therefore\ \theta={\rm Sin}^{-1}\sqrt{1-x^2}=\pi-{\rm Cos}^{-1}x\)

5. \({\rm Sec}^{-1}x+{\rm Csc}^{-1}x={\pi\over 2}\)임을 증명하여라.

<증명> \({\rm Sec}^{-1}x=\theta,\,0\le\theta\le\pi\left(\theta\neq{\pi\over 2}\right),\,\phi={\pi\over 2}-\theta\)라 놓으면

\({\rm sec}\theta={\rm sec}\left({\pi\over 2}-\phi\right)={\rm csc}\phi=x\) 이므로 \({\rm Sec}^{-1}x=\theta,\,{\rm Csc}^{-1}=\phi.\)

\(\therefore\,\theta+\phi={\rm Sec}^{-1}x+{\rm Csc}^{-1}x={\pi\over 2}\)

6. \({\rm tan}\left(2{\rm Tan}^{-1}{3\over 4}+{\rm Tan}^{-1}{5\over 12}\right)\)의 값을 구하여라.

<풀이> 삼각함수 항등식을 활용한다.

\(\alpha={\rm Tan}^{-1}{3\over 4},\,\beta={\rm Tan}^{-1}{5\over 12}\)라 두면

\({\rm tan}\alpha={3\over 4},\,{\rm tan}\beta={5\over 12}\) 이므로

\({\rm tan}2\alpha=\frac{2{\rm tan}\alpha}{1-{\rm tan}^2\alpha}=\frac{(2)(3/4)}{1-(3/4)^2}={24\over 7}.\) 따라서

\({\rm tan}\left(2{\rm Tan}^{-1}{3\over 4}+{\rm Tan}^{-1}{5\over 12}\right)={\rm tan}(2\alpha+\beta)\)

\(=\frac{{\rm tan}2\alpha+{\rm tan}\beta}{1-\tan2\alpha{\rm tan}\beta}=\frac{24/7+5/12}{1-(24/7)(5/12)}=-{323\over 36}.\)