극관성 모멘트 (Polar Moments of Inertia)
관성모멘트는 아래 그림의 x와 y축과 같이 단면 자신이 속한 평면에 놓여있는 축에 대하여 계산된다. 이제 단면이 속한 평면에 수직이고 원점 O에서 교차하는 축을 생각하자.
\(\begin{align}I_p=\int\rho^2dA=\int\left(x^2+y^2\right)dA=I_x+I_y\end{align}\)
여기서 ρ는 O점으로부터 면적요소 dA까지의 거리이다. 위의 식은 그림의 평면에 수직축에 대한 점 O에서의 극관성모멘트는 동일 점을 지나는 임의의 두 수직축 x와 y에 대한 관성모멘트의 합과 같다는 것을 보여준다.
극관성모멘트의 평행축 정리(parallel-axis theorem for polar moments of inertia)를 활용하면 여러점에 대한 극관성모멘트의 계산이 용이하다. 아래 그림을 참조하여 이 정리를 유도할 수 있다.
\(I_p=I_x+I_y\qquad I_{pc}=I_{xc}+I_{yc}\)
다음으로 평행축 정리를 적용한다.
\(I_x=I_{xc}+Ad_1^2\qquad I_y=I_{yc}+Ad_2^2\)
위의 두 식을 더하면
\(I_x+I_y=I_{xc}+I_{yc}+A(d_1^2+d_2^2)\)
이제 앞의 식으로부터 \(I_p\)와 \(I_{pc}\)를 대입하고, 또한 \(d^2=d_1^2+d_2^2\) 이므로 다음 식을 얻는다.
\(I_p=I_{pc}+Ad^2\)
이 식은 극관성모멘트의 평행축 정리를 나타낸다: 평면상의 임의의 점 O에 대한 단면의 극관성모멘트는 도심 C에 대한 극관성모멘트에 면적과 점 O부터 C까지 거리제곱의 곱을 더한 것과 같다.
극관성모멘트의 결정을 기술하기 위해서 아래 그림과 같은 반경 r의 원을 생각한다.
반경 ρ이고 두께 dρ인 얇은 고리모양 면적요소 dA를 취한다; 따라서 dA=2πρdρ. 이 요소의 모든 점은 원의 중심 C로부터 동일한 거리 ρ에 있기 때문에, C에 대한 요소의 극관성모멘트는 \(\rho^2dA\), 또는 \(2\pi\rho^3d\rho\)이다. 전체 원에 대한 극관성모멘트를 얻기 위해서, 다음과 같이 적분한다.
\(\begin{align}I_p=\int\rho^2dA=\int_0^r2\pi\rho^3d\rho=\frac{\pi r^4}{2}\end{align}\)
원주 상 임의의 점 B에 대한 극관성모멘트는 평행축 정리로부터 얻을 수 있다.
\(I_{pb}=I_{pc}+Ad^2=\dfrac{\pi r^4}{2}+\pi r^2(r^2)=\dfrac{3\pi r^4}{2}\)
우연의 일치로, 직경에 대한 관성모멘트를 첫번째식으로부터 쉽게 얻을 수 있다. 위의 그림으로부터
\(I_x=I_y=\dfrac{I_p}{2}=\dfrac{\pi r^4}{4}\)
원은 극관성모멘트를 적분으로 쉽게 구할 수 있는 특별한 경우이다. 그러나 공학 문제에서 접하는 대부분의 형상은 이 기법을 적용하기 어렵다. 그 대신 극관성모멘트는 통상 직교하는 두개의 축에 대한 관성모멘트를 합하여 구한다. 후자의 방법은 단면 2차모멘트와 평행축 정리 글을 참조한다.
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