관성모멘트의 평행축 정리 (Parallel-Axis Theorem for Moments of Inertia)

평면상의 면적에서 임의의 축에 대한 단면의 관성모멘트는 평행축 정리(parallel-axis theorem)에 의하여 평행한 도심 축의 관성모멘트로부터 구해질 수 있다. 이 매우 유용한 정리를 유도하기 위하여 아래 그림과 같은 단면을 생각한다.

평행축 정리 유도

\(x_cy_c\)축은 원점이 단면의 도심에 위치한다고 가정한다. 이 \(x_cy_c\)축에 평행한 xy축의 원점은 O 이다. 해당 축간의 거리는 \(d_1\)과 \(d_2\) 이다. 관성모멘트의 정의로부터 x축에 대한 관성모멘트 \(I_x\)에 대한 식을 얻는다.

\[I_x=\int(y+d_1)^2dA=\int y^2dA+2d_1\int ydA+d_1^2\int dA\]

우변의 첫번째 적분은 \(x_c\)축에 대한 관성모멘트 \(I_{x_c}\) 이다; 두번째 적분은 \(x_c\)축이 도심을 지나므로 소거된다; 그리고 세번째 적분은 그림에서 단면의 면적 A이다. 따라서, 앞의 식은 다음과 같이 정리된다.

\[I_x=I_{x_c}+Ad_1^2\]

y축에 대하여 같은 방법으로 다음식을 얻는다.

\[I_y=I_{y_c}+Ad_2^2\]

위의 두 식은 관성모멘트에 대한 평행축 정리를 나타낸다: 평면상의 임의의 축에 대한 관성모멘트는 평행한 도심축에 대한 관성모멘트와 면적을 그 두 축간 거리의 제곱으로 곱한 것의 합과 같다.

평행축 정리에 따르면, 축이 자신으로부터 평행하게 도심으로부터 멀어질수록 관성모멘트는 증가한다. 따라서 도심축에 대한 관성모멘트는 해당 단면의 최소값이다(주어진 축방향에 대해서).

평행축 정리는 특히 복합단면의 관성모멘트를 구하는데 유용하다. 이 정리를 사용할 때는, 두 평행축 중 하나는 반드시 도심축(centroidal axis)이어야 한다. 이 점을 기술하기 위해, 아래 사각형을 생각한다.

도심을 지나는 x축에 대한 관성모멘트가 \(bh^3/12\) 임을 알고 있으므로 사각형 하단에 대한 관성모멘트를 신속해 결정할 수 이다:

\[I_{bottom}=I_x+Ad^2={bh^3\over12}+bh\left(h\over2\right)^2={bh^3\over3}\]

이 결과는 단면 2차 모멘트 글에서 적분으로 계산한 결과와 동일하다.

[예제 1] 아래 그림의 반포물성 도심에 대한 관성모멘트 \(I_{x_c}\)와 \(I_{y_c}\)를 결정하라.

반포물선의 면적은 2bh/3, 그리고 도심 C의 좌표와 x와 y축에 대한 관성모멘트는 다음과 같다.

\[\overline{x}={3b\over8}\qquad\overline{y}={2h\over5}\qquad I_x={16bh^3\over105}\qquad I_y={2hb^3\over15}\]

(도심과 관성모멘트 예제 참조)

<풀이> \(x_c\)축에 대한 관성모멘트를 얻기 위해, 평행축 정리를 다음과 같이 쓴다.

\[I_x=I_{x_c}+A\overline{y}^2\]

그러므로, 관성모멘트 \(I_{x_c}\) 및 \(y_c\)축에 대한 관성모멘트 \(I_{y_c}\)는

\[\begin{split}&I_{x_c}=I_x-A\overline{y}^2={16bh^3\over105}-{2bh\over3}\left(2h\over5\right)^2={8bh^3\over175}\\&I_{y_c}=I_y-A\overline{x}^2={2hb^3\over15}-{2bh\over3}\left(3b\over8\right)^2={19hb^3\over480}\end{split}\]

[예제 2] 아래 그림에서 보(beam)의 횡단면 도심 C를 지나는 수평축에 대한 관성모멘트 \(I_c\)를 결정하라.

복합단면의 도심 관성모멘트 \(I_c\)를 구하기 위해서, 3개 부재의 면적을 고려한다: (1)덮개판(cover plate), (2) H형 단면(wide-flange section), 그리고 (3) 수로형 단면(channel section). 또한, 다음과 같은 치수를 취한다.

\[\begin{split}&A_1=3.0\ {\rm in^2}\qquad A_2=20.8\ {\rm in^2}\qquad A_3=8.82\ {\rm in^2}\\&y_1=9.485\ {\rm in}\qquad y_3=9.884\ {\rm in}\qquad\overline{c}=1.80\ {\rm in}\end{split}\]

3개 부재의 각각의 도심에 대한 관성모멘트는 다음과 같다.

\[I_1={bh^3\over12}={6(0.5)^3\over12}=0.063\ {\rm in^4}\qquad I_2=1170\ {\rm in^4}\qquad I_3=3.94\ {\rm in^4}\]

이제 3개 부재의 도심축에 대한 관성모멘트를 계산하기 위해 평행축 정리를 이용할 수 있다.

\[\begin{split}&I_{c1}=I_1+A_1(y_1+\overline{c})^2=0.063+3.0(9.485+1.80)^2=382\ {\rm in^4}\\&I_{c2}=I_2+A_2\overline{c}^2=1170+20.8(1.80)^2=1237\ {\rm in^4}\\&I_{c3}=I_3+A_3(y_3-\overline{c})^2=3.94+882(9.884-1.80)^2=580\ {\rm in^4}\end{split}\]

이들 관성모멘트들의 합이 전체 단면의 도심에 대한 관성모멘트가 된다.

\[I_c=I_{c1}+I_{c2}+I_{c3}=2200\ {\rm in^4}\]