면적모멘트법에 의한 보의 처짐 (Moment-Area Method)

보의 처짐을 구할 수 있는 다른 방법을 생각해 본다. 이 방법은 면적모멘트법(moment-area method)으로 알려져 있으며, 굽힘모멘트 선도의 면적 특성을 활용한 것이다. 이 방법은 오직 보의 한 점에서의 처짐(deflection) 또는 회전각(angle of rotation)이 요구될 때 적합하다. 왜냐하면 처짐곡선(deflection curve)의 완전한 방정식을 구하지 않고 그것들을 구할 수 있기 때문이다.

1차 면적모멘트 정리 (First moment-area theorem)

위의 그림과 같이 보의 처짐곡선의 일부인 AB를 생각하자. A점에서의 접선 AB'는 x축으로부터 양의 회전각 ${\theta }_a$를, 그리고 B점에서의 접선 C'B는 ${\theta }_b$를 이루고 있다. 이 접선들 간의 각도 ${\theta }_{ba}={\theta }_b-{\theta }_a$ 이다.

다음으로 거리 ds 만큼 떨어져 있는 두 점을 생각하자. 이들 두 점의 접선에 수직한 선들은 각도 dθ=ds/ρ를 (여기서 ρ는 곡률반경) 이루는 곡률 중심(center of curvature)에 교차한다. 각도 dθ는 처짐곡선의 미분방정식으로부터 얻을 수 있다.

$$d\theta =-\frac{Mdx}{EI}$$

여기서 M은 보의 굽힘모멘트이고 EI는 굽힘강성계수(flexural rigidity) 이다.

Mdx/EI는 단순한 기하학적 의미를 가진다. 위의 그림의 보 바로 아래 M/EI 선도가 그려져 있다. Mdx/EI 항은 M/EI 선도 내의 음영으로 된 띠의 면적이 된다.

이제 위의 식을 A점에서 B점까지 적분해보자 :

$${\theta }_{ba}={\theta }_b-{\theta }_a={\int }_A^{B}d\theta =-{\int }_A^B\frac{Mdx}{EI}$$

이 적분의 좌변은 B와 A 접선 사이의 상대 각도이다. 우변은 A와 B점 사이의 M/EI 선도의 면적과 같다. 이 방정식을 1차 면적모멘트 정리(first moment-area theorem)라 한다.

2차 면적모멘트 정리 (Second moment-area theorem)

위의 그림으로부터 수직거리 dδ는 xdθ 임을 알 수 있다. 여기서 x는 B점으로부터 미소요소 ds까지의 수평 거리이다. dθ=Mdx/EI 이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$d\delta =xd\theta =-x\frac{Mdx}{EI}$$

위의 식을 A에서 B점까지 적분하면

$${\delta }_{ba}={\int }_A^{B}d\delta =-{\int }_A^{B}x\frac{Mdx}{EI}$$

이다. 이 식의 좌변 ${\delta }_{ba}$는 A의 접선으로부터 B점까지의 수직거리이다. 우변의 적분은 A와 B 사이 M/EI 선도 면적의 B점에서의 1차 모멘트를 나타낸다. 이 방정식은 2차 면적모멘트 정리(second moment-area theorem)를 나타낸다.

[예제 1]  집중하중 P를 받는 외팔보 AB 자유단 B의 회전각 ${\theta }_b$와 처짐 ${\delta }_b$를 구하라.

<풀이>  아래의 자유물체도로부터 굽힘모멘트 선도를 구하면 위의 그림과 같이 삼각형이 된다.

$$M=Px-PL$$

1차 면적모멘트 정리로부터 접선 B와 A 사이의 회전각 ${\theta }_{ba}$는 M/EI 선도의 면적과 같다. 또한 ${\theta }_a=0$ 이므로

$${\theta }_{ba}={\theta }_b=-A=-\frac{1}{2}(L)(-\frac{PL}{EI})=\frac{P{L}^2}{2EI}$$

자유단의 처짐 ${\delta }_b$는 2차 정리로부터 얻을 수 있다. 이 경우 처짐 ${\delta }_b$는 접선 A로부터 B점까지의 수직 거리와 같다. B를 기준으로 M/EI 선도의 1차 면적모멘트를 취하면 아래와 같이 2차 면적모멘트 정리로부터 처짐 ${\delta }_b$를 얻는다.

$${\delta }_b=-A\left(\frac{2L}{3}\right)=\frac{P{L}^2}{2EI}\left(\frac{2L}{3}\right)=\frac{P{L}^3}{3EI}$$

[예제 2]  아래 그림과 같이 균일 분포하중 q를 받고 있는 외팔보 AB의 자유단 B에서의 회전각 ${\theta }_b$와 처짐 ${\delta }_b$를 구하여라.

<풀이>  아래 [0, a] 구간의 자유물체도로부터 굽힘모멘트를 구하면 M/EI 선도는 위와 같이 삼각 2차 포물선(parabolic spandrel of second degree)의 형태가 된다.

$$M=\frac{q}{2}\{x(2a-x)-a^2\}$$

A에서 접선이 수평이므로 ${\theta }_b$는 상대각도 ${\theta }_{ba}$와 같다. 따라서 1차 면적모멘트 정리로부터

$${\theta }_b=-A=\frac{a}{3}(-\frac{q{a}^2}{2})\left(\frac{1}{EI}\right)=\frac{q{a}^3}{6EI}$$

를 얻는다.

처짐 ${\delta }_b$는 이 경우 ${\delta }_{ab}$와 같으므로 B를 기준으로 하는 M/EI 선도의 1차 모멘트와 같다.

$${\delta }_b=-A(b+\frac{3a}{4})=\frac{q{a}^3}{6EI}(b+\frac{3a}{4})=\frac{q{a}^3}{24EI}(4L-a)$$

[예제 3]  아래와 같이 길이의 우측반에 걸쳐 균일 분포하중 q를 받는 외팔보 AB의 자유단 B에서의 회전각 ${\theta }_b$와 처짐 ${\delta }_b$를 구하여라.

<풀이>  구간 [0, L/2]에서의 자유물테도로부터 굽힘모멘트를 구하면

$$M=\frac{qL}{8}(4x-3L)$$

이다. 한편 구간 [L/2, L]에서 굽힘모멘트는

$$M=\frac{q}{2}(2Lx-x^2-L^2)$$

이므로 굽힘모멘트 선도는 위의 그림과 같이 B에서 C는 포물선, C에서 A는 직선으로 구성된다. 따라서 M/EI 선도도 동일 형태이며 회전각 ${\theta }_b$는 이 선도 면적의 음수와 같다:

$${\theta }_b=-(A_1+A_2+A_3)=\frac{q{L}^3}{48EI}+\frac{q{L}^3}{16EI}+\frac{q{L}^3}{16EI}=\frac{7q{L}^3}{48EI}$$

처짐 ${\delta }_b$는 B를 기준으로 하는 M/EI 선도 1차 모멘트의 음의 값과 같다.

$$\begin{array}{rl}{\delta }_b& =-(A_1{\bar{x}}_1+A_2{\bar{x}}_2+A_3{\bar{x}}_3)\\ & =\frac{q{L}^3}{48EI}\left(\frac{3L}{8}\right)+\frac{q{L}^3}{16EI}\left(\frac{3L}{4}\right)+\frac{q{L}^3}{3EI}\left(\frac{5L}{6}\right)=\frac{41q{L}^4}{384EI}\end{array}$$

[예제 4]  아래 그림과 같이 집중하중 P를 받는 단순보 AB가 있다. 지지부 A의 회전각 ${\theta }_a$, 하중점 P의 처짐 δ 및 최대처짐 ${\delta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$를 구하여라.

<풀이>  굽힘모멘트 선도를 구하기 위해 먼저 지지부 A, B 각각의 반력 $R_a,R_b$를 구한다.

$$\begin{array}{r}A\mathrm{점}\mathrm{에}\mathrm{서}\sum M=0:Pa=R_{b}L\therefore R_b=Pa/L\\ B\mathrm{점}\mathrm{에}\mathrm{서}\sum M=0:Pb=RaL\therefore Ra=Pb/L\end{array}$$

구간 [0, a]에서의 굽힘모멘트는 아래 자유물체도로부터

$$M=\frac{Pbx}{L}$$

이고, [a, L]에서의 굽힘모멘트는

$$M=\frac{Pa}{L}(L-x)$$

이다. 따라서 굽힘모멘트 선도는 문제의 그림과 같이 삼각형이 되고 M/EI 선도도 동일한 형태를 갖는다. 이제 지지부 A에서의 접선 AB'로부터 B에서의 수직거리 BB'는 B점을 기준으로하는 2차 면적모멘트 정리로부터 구할 수 있다.

$$B{B}^{\prime }=-{\delta }_{ba}=A_1\left(\frac{L+b}{3}\right)=\frac{L}{2}\left(\frac{Pab}{L}\right)\left(\frac{1}{EI}\right)\left(\frac{L+b}{3}\right)=\frac{Pab}{6EI}(L+b)$$

또한, ${\theta }_a$는 미소하므로 길이 BB'를 보의 길이 L로 나눈 것과 같다.

$${\theta }_a=\frac{B{B}^{\prime }}{L}=\frac{Pab}{6LEI}(L+b)$$

하중 P에서의 처짐 δ는 거리 D'D''에서 D'D를 뺀 것과 같다. 거리 D'D''는 $a{\theta }_a$와 같고, D'D는 2차 면적모멘트 정리로부터 구할 수 있다. 그러므로 후자를 구하기 위해 M/EI 선도의 D를 기준으로 하는 1차 면적모멘트를 취한다.  거리 D'D는 ${\delta }_{da}$의 절대값과 같다:

$$D^{\prime }D=-{\delta }_{da}=A_2\left(\frac{a}{3}\right)=\frac{a}{2}\left(\frac{Pab}{L}\right)\left(\frac{1}{EI}\right)\left(\frac{a}{3}\right)=\frac{P{a}^{3}b}{6LEI}$$

따라서, D점에서의 처짐 δ에 대해서 다음식을 얻는다.

$$\delta =D^{\prime }{D}^{″}-D^{\prime }D=a{\theta }_a-\frac{P{a}^{3}b}{6EI}=\frac{P{a}^2{b}^2}{3LEI}$$

최대 처짐을 결정하기 위해 a≥b 로 가정하여 최대처짐이 하중 왼편에서(또는 a=b의 특별한 경우 하중점에서) 발생하도록 한다. 최대 처짐은 E점(지지부 A에서 거리 $x_1$)에서 발생하며 그 점에서 처짐곡선은 수평한 접선을 갖는다. E와 A 사이의 상대각도 ${\theta }_{ea}={\theta }_e-{\theta }_a$는 1차 면적모멘트 정리에 따라 M/EI 선도 E와 A 사이의 면적의 음의 값이다. A와 E 사이의 굽힘모멘트 선도는 문제 그림 맨 하단에 나타나 있다. 또한 ${\theta }_e=0$ 이므로 앞에서 구한 ${\theta }_a$ 값을 대입하면 $x_1$을 구할 수 있는 식을 얻는다:

$${\theta }_{ea}=-{\theta }_a=-\frac{x_1}{2}\left(\frac{Pb{x}_1}{L}\right)\left(\frac{1}{EI}\right)=-\frac{Pb{x}_1^2}{2LEI}=-\frac{Pab}{6LEI}(L+b)$$

위의 식으로부터

$$x_1=\sqrt{\frac{L^2-b^2}{3}}$$

최대 처짐 ${\delta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$는 E'E''에서 E'E를 뺀 것과 같다: 전자는 $x_1{\theta }_a$ 이고 후자는 2차 면적모멘트 정리로부터 얻을 수 있다:

$${\delta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=x_1{\theta }_a-\frac{Pb{x}_1^2}{2LEI}\left(\frac{x_1}{3}\right)=\frac{Pb}{9\sqrt{3}LEI}(L^2-b^2{)}^{3/2}$$

[문제 5]  보 ABC가 A와 B에서 단순 지지되고, B에서 C까지 돌출되어 있다. A에서 B까지의 폭은 10m 이고, 돌출부는 4m 이다. 40kN의 집중하중이 지지부 A에서 4m 떨어진 D점에 작용하고, 5kN/m의 균일하중이 돌출부에 작용한다. 보는 E=200GPa 및 $\mathrm{I}=1.28\times {10}^9\mathrm{m}{\mathrm{m}}^4$의 강재 광폭 플랜지 단면(steel wide-flange section)이다. (a) A, B, 그리고 C에서의 회전각 ${\theta }_a,{\theta }_b,\mathrm{및}{\theta }_c$를 각각 계산하여라. 단, 그림에 나타낸 각도를 양수로 가정한다. (b) 자유단 C에서의 처짐 ${\delta }_c$를 계산하여라. (c) 폭 AB에서의 최대 처짐 ${\delta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$를 계산하여라.

<풀이>  (a) 여러지점의 회전각과 처짐을 구하기 위하여 정적 평형(static equilibrium)으로부터 굽힘모멘트 선도를 구성한다. [0, 4] 구간에서는

$M=20x$

이다. 구간 [4, 20]은

$M=-20x+160$

이고, 구간 [10, 14]에서

$$M=-\frac{5x^2}{2}+70x-49$$

이다. 이들을 조합하여 문제의 처짐곡선 아래에 나타내었다. 이 굽힘모멘트 선도는 선형적으로 변화하다가 B에서 2m 떨어진 지점에서 '0'이 된다. 이 모멘트가 '0' 이 되는 지점에서 굽힘모멘트는 부호가 바뀌므로; 곡률 또한 부호가 바뀐다. 결과적으로 보의 처짐곡선에서 곡률이 '0' 인 지점을 변곡점(inflection point) 또는 반곡점(point of contraflexure)이라 불리운다. 이 변곡점을 기준으로 왼쪽으로는 보가 위로 오목하고; 오른쪽으로는 아래로 오목하게 된다.

계산의 편의를 위해 문제의 네점째 그림과 같이 굽힘모멘트 선도를 다시 그린다. 이 모멘트 선도는 바로 위의 선도와 등가이다. 이 선도에서 위의 삼각형은 A에서 B까지 반력 A에 의한 모멘트를 나타내고, 아래 삼각형은 D에서 B까지 집중하중에 의한 모멘트이다.

사전 작업으로 등가 모멘트 선도의 부분 면적 3개를 계산한다.

$$\begin{array}{rl}{A}_1& =\frac{1}{2}(10\mathrm{m})(200\mathrm{k}\mathrm{N}\mathrm{m})=1000\mathrm{k}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\\ A_2& =\frac{1}{2}(6\mathrm{m})(-240\mathrm{k}\mathrm{N}\mathrm{m})=-720\mathrm{k}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\\ A_3& =\frac{1}{3}(4\mathrm{m})(-40\mathrm{k}\mathrm{N}\mathrm{m})=-53.33\mathrm{k}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\end{array}$$

이제 회전각 ${\theta }_a$를 계산한다. 이 각도는 거리 BB'를 폭 10 m로 나눈 것과 같다. 거리 BB'는 M/EI 선도의 1차 모멘트이므로:

$$EI(B{B}^{\prime })=A_1\left(\frac{10\mathrm{m}}{3}\right)+A_2\left(\frac{6\mathrm{m}}{3}\right)=1893\mathrm{k}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^3$$

$EI{\theta }_a$는 이제 계산될 수 있다:

$$EI{\theta }_a=\frac{EI(B{B}^{\prime })}{10\mathrm{m}}=189.3\mathrm{k}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2$$

회전각 ${\theta }_b$도 유사한 방법으로 결정된다. 먼저 거리 AA'를 2차 면적모멘트 정리로부터 구한다.

$$E(A{A}^{\prime })=A_1\left(\frac{2}{3}\right)(10\mathrm{m})+A_2\{4\mathrm{m}+\frac{2}{3}(6\mathrm{m})\}=906.7\mathrm{k}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^3$$

따라서 ${\theta }_b$(의 EI 곱)는

$$EI{\theta }_b=\frac{EI(A{A}^{\prime })}{10\mathrm{m}}=90.67\mathrm{k}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2$$

회전각 ${\theta }_c$는 1차 면적모멘트 정리에 의해 지지부 B에서의 각도 ${\theta }_b$와, B와 C 사이의 M/EI 선도 면적을 더한 것과 같다. 그러므로,

$$EI{\theta }_c=EI{\theta }_b+A_3=37.33kN{m}^2$$

이제 $EI=256.0\mathrm{M}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2$을 대입하여 실제 회전각도들을 결정할 수 있다.

$$\begin{array}{rl}{\theta }_a& =\frac{189.3\mathrm{k}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2}{256.0\mathrm{M}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2}=739\times {10}^{-6}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\\ {\theta }_b& =\frac{90.67\mathrm{k}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2}{256.0\mathrm{M}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2}=354\times {10}^{-6}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\\ {\theta }_c& =\frac{37.33\mathrm{k}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2}{256.0\mathrm{M}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2}=146\times {10}^{-6}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\end{array}$$

(b) 문제의 그림으로부터 처짐 ${\delta }_c$는 거리 C'C''에서 C'C를 뺀 것과 같다. 첫번째 거리는 ${\theta }_b$에 거리 BC를 곱하여 얻을 수 있다.

$$EI(C^{\prime }{C}^{″})=EI{\theta }_b(4\mathrm{m})=362.7\mathrm{k}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^3$$

거리 C'C는 접선 B로부터 C점의 수직거리이며 M/EI 선도 B와 C 사이 면적의 C를 기준으로 하는 1차 모멘트의 음의 값과 같다:

$$EI(C{C}^{\prime })=-A_3\left(\frac{3}{4}\right)(4\mathrm{m})=160.0\mathrm{k}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^3$$

EI를 대입하면

$${\delta }_c=\frac{202.7\mathrm{k}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^3}{256.0\mathrm{M}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2}=0.792\mathrm{m}\mathrm{m}$$

(c) 최대처짐 ${\delta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$는 D와 B 사이 E점에서 발생한다고 가정한다. E점에서 처짐곡선은 수평접선을 가져야 한다; 따라서, A와 E사이의 M/EI 선도 면적은 회전각 ${\delta }_a$와 같아야 한다. A에서 E까지의 거리를 $x_1$으로 나타내면, 다음과 같은 방정식을 쓸 수 있다:

$$\begin{array}{rl}EI{\theta }_a& =\frac{1}{2}(x_1)(20\mathrm{k}\mathrm{N})(x_1)-\frac{1}{2}(x_1-4\mathrm{m})(40\mathrm{k}\mathrm{N})(x_1-4\mathrm{m})\\ & =x_1^2(-10\mathrm{k}\mathrm{N})+x_1(160\mathrm{k}\mathrm{N}\mathrm{m})-320\mathrm{k}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\end{array}$$

$EI{\theta }_a$ 값을 대입하면 다음의 $x_1$에 대한 2차 방정식을 얻는다:

$$x_1^2-16x_1+50.93=0$$

이 방정식을 풀면, $x_1=4.385\mathrm{m}$ 이다.

최대처짐 ${\delta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$는 E에서의 접선으로부터 A점까지 수직거리와 같다. 따라서, A와 E점 사이의 A를 기준으로 하는 1차 면적모멘트를 취해서 ${\delta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$를 계산할 수 있다:

$$\begin{array}{rl}EI{\delta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=& \frac{1}{2}(x_1)(20\mathrm{k}\mathrm{N})(x_1)\left(\frac{2x_1}{3}\right)\\ & -\frac{1}{2}(x_1-4\mathrm{m})(40\mathrm{m})\{4\mathrm{m}+\frac{2}{3}(x_1-4\mathrm{m})\}\\ =& 562.2\mathrm{k}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^3-12.63\mathrm{k}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^3=549.6\mathrm{k}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^3\end{array}$$

최종적으로 ${\delta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$를 계산한다:

$${\delta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\frac{549.6\mathrm{k}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^3}{256.0\mathrm{M}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2}=2.15\mathrm{m}\mathrm{m}$$