면적모멘트법에 의한 보의 처짐 (Moment-Area Method)

보의 처짐을 구할 수 있는 다른 방법을 생각해 본다. 이 방법은 면적모멘트법(moment-area method)으로 알려져 있으며, 굽힘모멘트 선도의 면적 특성을 활용한 것이다. 이 방법은 오직 보의 한 점에서의 처짐(deflection) 또는 회전각(angle of rotation)이 요구될 때 적합하다. 왜냐하면 처짐곡선(deflection curve)의 완전한 방정식을 구하지 않고 그것들을 구할 수 있기 때문이다.

1차 면적모멘트 정리 (First moment-area theorem)

위의 그림과 같이 보의 처짐곡선의 일부인 AB를 생각하자. A점에서의 접선 AB'는 x축으로부터 양의 회전각 \(\theta_a\)를, 그리고 B점에서의 접선 C'B는 \(\theta_b\)를 이루고 있다. 이 접선들 간의 각도 \(\theta_{ba}=\theta_b-\theta_a\) 이다.

다음으로 거리 ds 만큼 떨어져 있는 두 점을 생각하자. 이들 두 점의 접선에 수직한 선들은 각도 dθ=ds/ρ를 (여기서 ρ는 곡률반경) 이루는 곡률 중심(center of curvature)에 교차한다. 각도 dθ는 처짐곡선의 미분방정식으로부터 얻을 수 있다.

\[d\theta=-\frac{Mdx}{EI}\]

여기서 M은 보의 굽힘모멘트이고 EI는 굽힘강성계수(flexural rigidity) 이다.

Mdx/EI는 단순한 기하학적 의미를 가진다. 위의 그림의 보 바로 아래 M/EI 선도가 그려져 있다. Mdx/EI 항은 M/EI 선도 내의 음영으로 된 띠의 면적이 된다.

이제 위의 식을 A점에서 B점까지 적분해보자 :

\[\theta_{ba}=\theta_b-\theta_a=\int_A^Bd\theta=-\int_A^B\frac{Mdx}{EI}\]

이 적분의 좌변은 B와 A 접선 사이의 상대 각도이다. 우변은 A와 B점 사이의 M/EI 선도의 면적과 같다. 이 방정식을 1차 면적모멘트 정리(first moment-area theorem)라 한다.

2차 면적모멘트 정리 (Second moment-area theorem)

위의 그림으로부터 수직거리 dδ는 xdθ 임을 알 수 있다. 여기서 x는 B점으로부터 미소요소 ds까지의 수평 거리이다. dθ=Mdx/EI 이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[d\delta=xd\theta=-x\frac{Mdx}{EI}\]

위의 식을 A에서 B점까지 적분하면

\[\delta_{ba}=\int_A^Bd\delta=-\int_A^Bx\frac{Mdx}{EI}\]

이다. 이 식의 좌변 \(\delta_{ba}\)는 A의 접선으로부터 B점까지의 수직거리이다. 우변의 적분은 A와 B 사이 M/EI 선도 면적의 B점에서의 1차 모멘트를 나타낸다. 이 방정식은 2차 면적모멘트 정리(second moment-area theorem)를 나타낸다.

[예제 1]  집중하중 P를 받는 외팔보 AB 자유단 B의 회전각 \(\theta_b\)와 처짐 \(\delta_b\)를 구하라.

<풀이>  아래의 자유물체도로부터 굽힘모멘트 선도를 구하면 위의 그림과 같이 삼각형이 된다.

\[M=Px-PL\]

1차 면적모멘트 정리로부터 접선 B와 A 사이의 회전각 \(\theta_{ba}\)는 M/EI 선도의 면적과 같다. 또한 \(\theta_a=0\) 이므로

\[\theta_{ba}=\theta_b=-A=-{1\over2}(L)\left(-{PL\over EI}\right)=\frac{PL^2}{2EI}\]

자유단의 처짐 \(\delta_b\)는 2차 정리로부터 얻을 수 있다. 이 경우 처짐 \(\delta_b\)는 접선 A로부터 B점까지의 수직 거리와 같다. B를 기준으로 M/EI 선도의 1차 면적모멘트를 취하면 아래와 같이 2차 면적모멘트 정리로부터 처짐 \(\delta_b\)를 얻는다.

\[\delta_b=-A\left({2L\over3}\right)=\frac{PL^2}{2EI}\left({2L\over3}\right)=\frac{PL^3}{3EI}\]

[예제 2]  아래 그림과 같이 균일 분포하중 q를 받고 있는 외팔보 AB의 자유단 B에서의 회전각 \(\theta_b\)와 처짐 \(\delta_b\)를 구하여라.

<풀이>  아래 [0, a] 구간의 자유물체도로부터 굽힘모멘트를 구하면 M/EI 선도는 위와 같이 삼각 2차 포물선(parabolic spandrel of second degree)의 형태가 된다.

\[M={q\over2}\left\{x(2a-x)-a^2\right\}\]

A에서 접선이 수평이므로 \(\theta_b\)는 상대각도 \(\theta_{ba}\)와 같다. 따라서 1차 면적모멘트 정리로부터

\[\theta_b=-A={a\over3}\left(-{qa^2\over2}\right)\left({1\over EI}\right)=\frac{qa^3}{6EI}\]

를 얻는다.

처짐 \(\delta_b\)는 이 경우 \(\delta_{ab}\)와 같으므로 B를 기준으로 하는 M/EI 선도의 1차 모멘트와 같다.

\[\delta_b=-A\left(b+{3a\over4}\right)=\frac{qa^3}{6EI}\left(b+{3a\over4}\right)=\frac{qa^3}{24EI}(4L-a)\]

[예제 3]  아래와 같이 길이의 우측반에 걸쳐 균일 분포하중 q를 받는 외팔보 AB의 자유단 B에서의 회전각 \(\theta_b\)와 처짐 \(\delta_b\)를 구하여라.

<풀이>  구간 [0, L/2]에서의 자유물테도로부터 굽힘모멘트를 구하면

\[M={qL\over8}(4x-3L)\]

이다. 한편 구간 [L/2, L]에서 굽힘모멘트는

\[M={q\over2}(2Lx-x^2-L^2)\]

이므로 굽힘모멘트 선도는 위의 그림과 같이 B에서 C는 포물선, C에서 A는 직선으로 구성된다. 따라서 M/EI 선도도 동일 형태이며 회전각 \(\theta_b\)는 이 선도 면적의 음수와 같다:

\[\theta_b=-(A_1+A_2+A_3)={qL^3\over48EI}+{qL^3\over16EI}+{qL^3\over16EI}={7qL^3\over48EI}\]

처짐 \(\delta_b\)는 B를 기준으로 하는 M/EI 선도 1차 모멘트의 음의 값과 같다.

\[\begin{align}\delta_b&=-(A_1\overline{x}_1+A_2\overline{x}_2+A_3\overline{x}_3)\\&={qL^3\over48EI}\left({3L\over8}\right)+{qL^3\over16EI}\left({3L\over4}\right)+{qL^3\over3EI}\left({5L\over6}\right)={41qL^4\over384EI}\end{align}\]

[예제 4]  아래 그림과 같이 집중하중 P를 받는 단순보 AB가 있다. 지지부 A의 회전각 \(\theta_a\), 하중점 P의 처짐 δ 및 최대처짐 \(\delta_{\rm max}\)를 구하여라.

<풀이>  굽힘모멘트 선도를 구하기 위해 먼저 지지부 A, B 각각의 반력 \(R_a,\,R_b\)를 구한다.

\[\begin{split}A{\rm 점에서}\ \sum M=0:Pa=R_bL\ \therefore\ R_b=Pa/L\\B{\rm 점에서}\ \sum M=0:Pb=RaL\ \therefore\ Ra=Pb/L\end{split}\]

구간 [0, a]에서의 굽힘모멘트는 아래 자유물체도로부터

\[M={Pbx\over L}\]

이고, [a, L]에서의 굽힘모멘트는

\[M={Pa\over L}(L-x)\]

이다. 따라서 굽힘모멘트 선도는 문제의 그림과 같이 삼각형이 되고 M/EI 선도도 동일한 형태를 갖는다. 이제 지지부 A에서의 접선 AB'로부터 B에서의 수직거리 BB'는 B점을 기준으로하는 2차 면적모멘트 정리로부터 구할 수 있다.

\[BB'=-\delta_{ba}=A_1\left({L+b\over3}\right)={L\over2}\left({Pab\over L}\right)\left({1\over EI}\right)\left(L+b\over3\right)={Pab\over6EI}(L+b)\]

또한, \(\theta_a\)는 미소하므로 길이 BB'를 보의 길이 L로 나눈 것과 같다.

\[\theta_a={BB'\over L}={Pab\over6LEI}(L+b)\]

하중 P에서의 처짐 δ는 거리 D'D''에서 D'D를 뺀 것과 같다. 거리 D'D''는 \(a\theta_a\)와 같고, D'D는 2차 면적모멘트 정리로부터 구할 수 있다. 그러므로 후자를 구하기 위해 M/EI 선도의 D를 기준으로 하는 1차 면적모멘트를 취한다.  거리 D'D는 \(\delta_{da}\)의 절대값과 같다:

\[D'D=-\delta_{da}=A_2\left({a\over3}\right)={a\over2}\left({Pab\over L}\right)\left({1\over EI}\right)\left(a\over3\right)={Pa^3b\over6LEI}\]

따라서, D점에서의 처짐 δ에 대해서 다음식을 얻는다.

\[\delta=D'D''-D'D=a\theta_a-{Pa^3b\over6EI}={Pa^2b^2\over3LEI}\]

최대 처짐을 결정하기 위해 a≥b 로 가정하여 최대처짐이 하중 왼편에서(또는 a=b의 특별한 경우 하중점에서) 발생하도록 한다. 최대 처짐은 E점(지지부 A에서 거리 \(x_1\))에서 발생하며 그 점에서 처짐곡선은 수평한 접선을 갖는다. E와 A 사이의 상대각도 \(\theta_{ea}=\theta_e-\theta_a\)는 1차 면적모멘트 정리에 따라 M/EI 선도 E와 A 사이의 면적의 음의 값이다. A와 E 사이의 굽힘모멘트 선도는 문제 그림 맨 하단에 나타나 있다. 또한 \(\theta_e=0\) 이므로 앞에서 구한 \(\theta_a\) 값을 대입하면 \(x_1\)을 구할 수 있는 식을 얻는다:

\[\theta_{ea}=-\theta_a=-{x_1\over2}\left({Pbx_1\over L}\right)\left(1\over EI\right)=-{Pbx_1^2\over2LEI}=-{Pab\over6LEI}(L+b)\]

위의 식으로부터

\[x_1=\sqrt{\frac{L^2-b^2}{3}}\]

최대 처짐 \(\delta_{\rm max}\)는 E'E''에서 E'E를 뺀 것과 같다: 전자는 \(x_1\theta_a\) 이고 후자는 2차 면적모멘트 정리로부터 얻을 수 있다:

\[\delta_{\rm max}=x_1\theta_a-{Pbx_1^2\over2LEI}\left({x_1\over3}\right)={Pb\over9\sqrt{3}LEI}(L^2-b^2)^{3/2}\]

[문제 5]  보 ABC가 A와 B에서 단순 지지되고, B에서 C까지 돌출되어 있다. A에서 B까지의 폭은 10m 이고, 돌출부는 4m 이다. 40kN의 집중하중이 지지부 A에서 4m 떨어진 D점에 작용하고, 5kN/m의 균일하중이 돌출부에 작용한다. 보는 E=200GPa 및 \(\rm I=1.28\times10^9mm^4\)의 강재 광폭 플랜지 단면(steel wide-flange section)이다. (a) A, B, 그리고 C에서의 회전각 \(\theta_a,\,\theta_b,\,{\rm 및}\ \theta_c\)를 각각 계산하여라. 단, 그림에 나타낸 각도를 양수로 가정한다. (b) 자유단 C에서의 처짐 \(\delta_c\)를 계산하여라. (c) 폭 AB에서의 최대 처짐 \(\delta_{\rm max}\)를 계산하여라.

<풀이>  (a) 여러지점의 회전각과 처짐을 구하기 위하여 정적 평형(static equilibrium)으로부터 굽힘모멘트 선도를 구성한다. [0, 4] 구간에서는

\(M=20x\)

이다. 구간 [4, 20]은

\(M=-20x+160\)

이고, 구간 [10, 14]에서

\[M=-{5x^2\over2}+70x-49\]

이다. 이들을 조합하여 문제의 처짐곡선 아래에 나타내었다. 이 굽힘모멘트 선도는 선형적으로 변화하다가 B에서 2m 떨어진 지점에서 '0'이 된다. 이 모멘트가 '0' 이 되는 지점에서 굽힘모멘트는 부호가 바뀌므로; 곡률 또한 부호가 바뀐다. 결과적으로 보의 처짐곡선에서 곡률이 '0' 인 지점을 변곡점(inflection point) 또는 반곡점(point of contraflexure)이라 불리운다. 이 변곡점을 기준으로 왼쪽으로는 보가 위로 오목하고; 오른쪽으로는 아래로 오목하게 된다.

계산의 편의를 위해 문제의 네점째 그림과 같이 굽힘모멘트 선도를 다시 그린다. 이 모멘트 선도는 바로 위의 선도와 등가이다. 이 선도에서 위의 삼각형은 A에서 B까지 반력 A에 의한 모멘트를 나타내고, 아래 삼각형은 D에서 B까지 집중하중에 의한 모멘트이다.

사전 작업으로 등가 모멘트 선도의 부분 면적 3개를 계산한다.

\[\begin{split}A_1&=\rm{1\over2}(10\ m)(200\ kNm)=1000\ kNm^2\\A_2&=\rm{1\over2}(6\ m)(-240\ kNm)=-720\ kNm^2\\A_3&=\rm{1\over3}(4\ m)(-40\ kNm)=-53.33\ kNm^2\end{split}\]

이제 회전각 \(\theta_a\)를 계산한다. 이 각도는 거리 BB'를 폭 10 m로 나눈 것과 같다. 거리 BB'는 M/EI 선도의 1차 모멘트이므로:

\[EI(BB')=A_1\left({10\ \rm m\over3}\right)+A_2\left({6\ \rm m\over3}\right)=1893\ \rm kNm^3\]

\(EI\theta_a\)는 이제 계산될 수 있다:

\[EI\theta_a=\frac{EI(BB')}{10\ \rm m}=189.3\ \rm kNm^2\]

회전각 \(\theta_b\)도 유사한 방법으로 결정된다. 먼저 거리 AA'를 2차 면적모멘트 정리로부터 구한다.

\[E(AA')=A_1\left({2\over3}\right)(10\ {\rm m})+A_2\left\{4\ \rm m+{2\over3}(6\ {\rm m})\right\}=906.7\ \rm kNm^3\]

따라서 \(\theta_b\)(의 EI 곱)는

\[EI\theta_b=\frac{EI(AA')}{10\ \rm m}=90.67\ \rm kNm^2\]

회전각 \(\theta_c\)는 1차 면적모멘트 정리에 의해 지지부 B에서의 각도 \(\theta_b\)와, B와 C 사이의 M/EI 선도 면적을 더한 것과 같다. 그러므로,

\[EI\theta_c=EI\theta_b+A_3=37.33\ kNm^2\]

이제 \(EI=256.0\ \rm MNm^2\)을 대입하여 실제 회전각도들을 결정할 수 있다.

\[\begin{split}\theta_a&=\rm\frac{189.3\ kNm^2}{256.0\ MNm^2}=739\times10^{-6}\ rad\\\theta_b&=\rm\frac{90.67\ kNm^2}{256.0\ MNm^2}=354\times10^{-6}\ rad\\\theta_c&=\rm\frac{37.33\ kNm^2}{256.0\ MNm^2}=146\times10^{-6}\ rad\end{split}\]

(b) 문제의 그림으로부터 처짐 \(\delta_c\)는 거리 C'C''에서 C'C를 뺀 것과 같다. 첫번째 거리는 \(\theta_b\)에 거리 BC를 곱하여 얻을 수 있다.

\[EI(C'C'')=EI\theta_b(4\ \rm m)=362.7\ kNm^3\]

거리 C'C는 접선 B로부터 C점의 수직거리이며 M/EI 선도 B와 C 사이 면적의 C를 기준으로 하는 1차 모멘트의 음의 값과 같다:

\[EI(CC')=-A_3\left({3\over4}\right)(4\ \rm m)=160.0\ kNm^3\]

EI를 대입하면

\[\delta_c=\rm\frac{202.7\ kNm^3}{256.0\ MNm^2}=0.792\ mm\]

(c) 최대처짐 \(\delta_{\rm max}\)는 D와 B 사이 E점에서 발생한다고 가정한다. E점에서 처짐곡선은 수평접선을 가져야 한다; 따라서, A와 E사이의 M/EI 선도 면적은 회전각 \(\delta_a\)와 같아야 한다. A에서 E까지의 거리를 \(x_1\)으로 나타내면, 다음과 같은 방정식을 쓸 수 있다:

\[\begin{split}EI\theta_a&={1\over2}(x_1)(20\ {\rm kN})(x_1)-{1\over2}(x_1-4\ {\rm m})(40\ {\rm kN})(x_1-4\ {\rm m})\\&=x_1^2(-10\ {\rm kN})+x_1(160\ {\rm kNm})-320\ {\rm kNm^2}\end{split}\]

\(EI\theta_a\) 값을 대입하면 다음의 \(x_1\)에 대한 2차 방정식을 얻는다:

\[x_1^2-16x_1+50.93=0\]

이 방정식을 풀면, \(x_1=4.385\ \rm m\) 이다.

최대처짐 \(\delta_{\rm max}\)는 E에서의 접선으로부터 A점까지 수직거리와 같다. 따라서, A와 E점 사이의 A를 기준으로 하는 1차 면적모멘트를 취해서 \(\delta_{\rm max}\)를 계산할 수 있다:

\[\begin{split}EI\delta_{\rm max}=&{1\over2}(x_1)(20\ {\rm kN})(x_1)\left({2x_1\over3}\right)\\&-{1\over2}(x_1-4\ {\rm m})(40\ {\rm m})\left\{4\ {\rm m}+{2\over3}(x_1-4\ \rm m)\right\}\\=&562.2\ \rm kNm^3-12.63\ kNm^3=549.6\   kNm^3\end{split}\]

최종적으로 \(\delta_{\rm max}\)를 계산한다:

\[\delta_\rm{max}=\frac{549.6\ kNm^3}{256.0\ MNm^2}=2.15\ mm\]