단면 2차 모멘트 (Moments of Inertia of Areas)

x와 y축에 대한 단면의 관성 모멘트(moments of inertia)(아래 그림 참조)는 각각 적분

$${\mathrm{I}}_x=\int y^{2}d\mathrm{A}{\mathrm{I}}_y=\int x^{2}d\mathrm{A}$$

에 의해서 정의된다. 여기서 x와 y는 미소 면적요소 dA의 좌표이다. dA가 거리의 제곱과 곱해지기 때문에 관성 모멘트는 단면의 2차 모멘트(second moments)라고도 불리운다.

관성 모멘트가 어떻게 적분으로 얻을 수 있는가를 설명하기 위해, 아래 그림과 같은 사각단면을 생각한다. x와 y축의 원점은 도심에 위치하고 있다.

편의 상, 폭 b와 높이 dy의 얇은 띠 형태의 면적요소를 이용하면 dA=bdy 이다. 그러면 x축에 대한 관성 모멘트는

$${\mathrm{I}}_x={\int }_{-h/2}^{h/2}{y}^{2}bdy=\frac{b{h}^3}{12}$$

이다. 유사한 방법으로 세로 띠 형태의 면적요소 dA를 이용하면 y축ㅇ에 대한 관성 모멘트를 얻는다.

$${\mathrm{I}}_y={\int }_{-b/2}^{b/2}{x}^{2}hdx=\frac{h{b}^3}{12}$$

만약 다른 축을 선택하면 관성 모멘트는 다른 값을 갖게 된다. 예를 들어, 사각형의 하단 축을 생각하자. 이 경우에는 y를 하단축으로부터 면적요소 dA까지의 거리로 정의한다. 그러면 관성 모멘트의 계산은 다음과 같다.

$${\mathrm{I}}_{bottom}={\int }_0^h{h}^{2}bdy=\frac{b{h}^3}{3}$$

도심의 x축 보다 하단 축에 대한 관성 모멘트가 더 크다는 것에 주목한다. 일반적으로, 관성 모멘트는 기준축이 그 자신에 평행하게 도심으로부터 멀어질 수록 증가한다. 축의 선택과 무관하게 관성 모멘트는 x와 y좌표가 제곱되므로 항상 양수값을 갖는다(첫번째 식 참조).

특정 축에 대한 복합단면의 관성 모멘트는 각 부분들의 동일 축에 대한 관성 모멘트들의 합이다. 예를 들어 위의 그림 왼쪽 중공박스 단면이 있다. x축은 도심 C를 지나는 대칭 축이 된다. 이 x축에 대한 관성 모멘트는 두 사각형의 관성 모멘트의 차와 같다.

$${\mathrm{I}}_x=\frac{b_1{h}_1^3}{12}-\frac{b_2{h}_2^3}{12}$$

이 동일한 공식이 그림의 중앙 'ㄷ' 단면과 오른쪽 'Z' 단면에 각각 적용될 수 있다. 중공박스 단면에 대해서 관성 모멘트 ${\mathrm{I}}_y$는 동일한 기법이 적용될 수 있다. 하지만 'ㄷ' 단면과 'Z' 단면의 경우 평행축 정리(parallel-axis theorem)을 이용하는 것이 용이하다.

하지만 단면의 형상이 비정형일 경우 관성 모멘트는 수치해석(numerical method)으로만 얻을 수 있다. 그 과정은 단면을 미소요소 ΔA로 나누고, 축으로부터 거리의 제곱을 각 요소에 곱한 후, 그 곱들을 합하는 것이다.

회전반경 (Radius of gyration)

역학에서 단면의 회전반경이 종종 쓰인다. 이것은 관성 모멘트를 그 자신의 면적으로 나눈 것의 제곱근으로 정의된다; 따라서

$$r_x=\sqrt{\frac{{\mathrm{I}}_x}{\mathrm{A}}}{r}_y=\sqrt{\frac{{\mathrm{I}}_y}{\mathrm{A}}}$$

여기서 $r_x$와 $r_y$는 각각 x와 y축에 관한 회전반경을 나타낸다. $\mathrm{I}$의 단위는 길이의 4제곱이고 $\mathrm{A}$는 2제곱이므로, 회전반경은 길이의 단위를 갖는다. 단면의 회전반경은 해당 축으로부터 전면적이 집중되어 있고 원면적과 동일한 관성 모멘트를 가지는 점까지의 거리로 생각할 수 있다. 

[예제] 아래 그림의 반분할 포물선 단면의 관성 모멘트 ${\mathrm{I}}_x$와 ${\mathrm{I}}_y$를 결정하라.

<풀이> 그림의 수직 띠모양 면적요소 $d\mathrm{A}$를 이용한다. 이 면적요소의 모든 점은 y축으로부터 x에 있으므로, 이 요소의 y축에 대한 관성 모멘트는 $x^{2}d\mathrm{A}$ 이다. 그러므로 y축에 대한 전체 면적의 관성 모멘트는 다음과 같이 결정된다.

$${\mathrm{I}}_y=\int x^{2}d\mathrm{A}={\int }_0^b{x}^{2}ydx={\int }_0^b{x}^{2}h(1-\frac{x^2}{b^2})dx=\frac{2h{b}^3}{15}$$

x축에 대한 관성 모멘트를 얻기 위해서, 면적요소 $d\mathrm{A}$의 x축에 대한 관성 모멘트는 $y^{3}dx/3$인 것에 주목한다. 따라서 전체 면적의 관성 모멘트는

$${\mathrm{I}}_x={\int }_0^b\frac{y^3}{3}dx={\int }_0^b\frac{h^3}{3}(1-\frac{x^2}{b^2})dx=\frac{16b{h}^3}{105}$$

위와 같은 결과를 가로 띠 형태의 요소나 사각 면적요소 $d\mathrm{A}=dxdy$를 이용하여 이중적분을 수행해도 얻을 수 있다.