단면 2차 모멘트 (Moments of Inertia of Areas)

x와 y축에 대한 단면의 관성 모멘트(moments of inertia)(아래 그림 참조)는 각각 적분

\[{\rm I}_x=\int y^2d{\rm A}\qquad{\rm I}_y=\int x^2d{\rm A}\]

에 의해서 정의된다. 여기서 x와 y는 미소 면적요소 dA의 좌표이다. dA가 거리의 제곱과 곱해지기 때문에 관성 모멘트는 단면의 2차 모멘트(second moments)라고도 불리운다.

관성 모멘트가 어떻게 적분으로 얻을 수 있는가를 설명하기 위해, 아래 그림과 같은 사각단면을 생각한다. x와 y축의 원점은 도심에 위치하고 있다.

편의 상, 폭 b와 높이 dy의 얇은 띠 형태의 면적요소를 이용하면 dA=bdy 이다. 그러면 x축에 대한 관성 모멘트는

\[{\rm I}_x=\int_{-h/2}^{h/2}y^2bdy=\frac{bh^3}{12}\]

이다. 유사한 방법으로 세로 띠 형태의 면적요소 dA를 이용하면 y축ㅇ에 대한 관성 모멘트를 얻는다.

\[{\rm I}_y=\int_{-b/2}^{b/2}x^2hdx=\frac{hb^3}{12}\]

만약 다른 축을 선택하면 관성 모멘트는 다른 값을 갖게 된다. 예를 들어, 사각형의 하단 축을 생각하자. 이 경우에는 y를 하단축으로부터 면적요소 dA까지의 거리로 정의한다. 그러면 관성 모멘트의 계산은 다음과 같다.

\[{\rm I}_{bottom}=\int_0^hh^2bdy=\frac{bh^3}{3}\]

도심의 x축 보다 하단 축에 대한 관성 모멘트가 더 크다는 것에 주목한다. 일반적으로, 관성 모멘트는 기준축이 그 자신에 평행하게 도심으로부터 멀어질 수록 증가한다. 축의 선택과 무관하게 관성 모멘트는 x와 y좌표가 제곱되므로 항상 양수값을 갖는다(첫번째 식 참조).

특정 축에 대한 복합단면의 관성 모멘트는 각 부분들의 동일 축에 대한 관성 모멘트들의 합이다. 예를 들어 위의 그림 왼쪽 중공박스 단면이 있다. x축은 도심 C를 지나는 대칭 축이 된다. 이 x축에 대한 관성 모멘트는 두 사각형의 관성 모멘트의 차와 같다.

\[{\rm I}_x=\frac{b_1h_1^3}{12}-\frac{b_2h_2^3}{12}\]

이 동일한 공식이 그림의 중앙 'ㄷ' 단면과 오른쪽 'Z' 단면에 각각 적용될 수 있다. 중공박스 단면에 대해서 관성 모멘트 \({\rm I}_y\)는 동일한 기법이 적용될 수 있다. 하지만 'ㄷ' 단면과 'Z' 단면의 경우 평행축 정리(parallel-axis theorem)을 이용하는 것이 용이하다.

하지만 단면의 형상이 비정형일 경우 관성 모멘트는 수치해석(numerical method)으로만 얻을 수 있다. 그 과정은 단면을 미소요소 ΔA로 나누고, 축으로부터 거리의 제곱을 각 요소에 곱한 후, 그 곱들을 합하는 것이다.

회전반경 (Radius of gyration)

역학에서 단면의 회전반경이 종종 쓰인다. 이것은 관성 모멘트를 그 자신의 면적으로 나눈 것의 제곱근으로 정의된다; 따라서

\[r_x=\sqrt{{\rm I}_x\over{\rm A}}\qquad r_y=\sqrt{{\rm I}_y\over{\rm A}}\]

여기서 \(r_x\)와 \(r_y\)는 각각 x와 y축에 관한 회전반경을 나타낸다. \(\rm I\)의 단위는 길이의 4제곱이고 \(\rm A\)는 2제곱이므로, 회전반경은 길이의 단위를 갖는다. 단면의 회전반경은 해당 축으로부터 전면적이 집중되어 있고 원면적과 동일한 관성 모멘트를 가지는 점까지의 거리로 생각할 수 있다. 

[예제] 아래 그림의 반분할 포물선 단면의 관성 모멘트 \({\rm I}_x\)와 \({\rm I}_y\)를 결정하라.

<풀이> 그림의 수직 띠모양 면적요소 \(d{\rm A}\)를 이용한다. 이 면적요소의 모든 점은 y축으로부터 x에 있으므로, 이 요소의 y축에 대한 관성 모멘트는 \(x^2d{\rm A}\) 이다. 그러므로 y축에 대한 전체 면적의 관성 모멘트는 다음과 같이 결정된다.

\[{\rm I}_y=\int x^2d{\rm A}=\int_0^bx^2ydx=\int_0^bx^2h\left(1-{x^2\over b^2}\right)dx={2hb^3\over15}\]

x축에 대한 관성 모멘트를 얻기 위해서, 면적요소 \(d{\rm A}\)의 x축에 대한 관성 모멘트는 \(y^3dx/3\)인 것에 주목한다. 따라서 전체 면적의 관성 모멘트는

\[{\rm I}_x=\int_0^b{y^3\over3}dx=\int_0^b{h^3\over3}\left(1-{x^2\over b^2}\right)dx={16bh^3\over105}\]

위와 같은 결과를 가로 띠 형태의 요소나 사각 면적요소 \(d{\rm A}=dxdy\)를 이용하여 이중적분을 수행해도 얻을 수 있다.