비틀림(Torsion) -원형축의 동력전달(Transmission of Power by Circular Shafts)

원형축의 가장 중요한 쓰임새는 자동차의 구동축, 선박의 프로펠러 축 또는 자전거의 축 같이 하나의 장치에서 다른 장치로 기계적 동력(mechanical power)을 전달하는 것이다. 동력은 축의 회전운동으로 전달되며, 그 전달된 동력의 양은 토오크(torque)의 크기 및 회전속도에 달려 있다. 통상 설계문제는 재료의 허용응력을 초과하지 않고 특정 회전속도로 일정량의 동력을 전달할 수 있도록 축의 직경을 결정하는 것이다.

각속도 ω로 토오크 T를 전달하는 축 

위의 그림과 같은 각속도 ω(rad/s)로 회전하는 모터 구동축을 생각한다. 이 축은 토오크 T를 전달한다. 일반적으로, 일정 토오크에 의한 일 W는 토오크와 회전각도의 곱과 같다. 즉,

$$W=T\varphi$$

여기서 $\varphi$는 라디안 단위의 회전각도(angular rotation)이다. 동력(일률, power)는 시간에 대한 행하여진 일의 미분이므로

$$P=\frac{dW}{dt}=T\frac{d\varphi }{dt}=T\omega$$

여기서 P는 동력의 기호이고 t는 시간을 나타낸다.

또한 각속도는 단위시간 당 회전수(frequency of revolution) f로 표현된다. 회전수의 단위는 헤르츠(Hz)이며 초당 1회전을 나타낸다.($s^{-1}$). 한번 회전은 2π 라디안(radian)이므로

$$P=2\pi fT=\frac{2\pi nT}{60}(f=[\mathrm{H}\mathrm{z}]=[{\mathrm{s}}^{-1}],n=[\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m}])$$

여기서 n은 통상 사용되는 분당 회전수(rpm)이다(n=60f).

T가 뉴튼 미터(Nm) 단위를 갖는다면 P는 왓트(W)가 되고, T가 풋-파운드(ft-lb) 단위를 가지면 P는 초당 풋-파운드(ft-lb/s)가 된다.

미국 공학분야에서는 동력은 종종 550 ft-lb/s와 동일한 마력(hp, horsepower)으로 표현된다.

$$H=\frac{2\pi nT}{60(550)}=\frac{2\pi nT}{33,000}(n=[\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m}],T=[\mathrm{f}\mathrm{t}-\mathrm{l}\mathrm{b}],H=[\mathrm{h}\mathrm{p}])$$

1 마력은 대략 746W 이다. 앞의 식에서와 같이 전달 동력은 축에 작용하는 토오크와 관계가 있다. 당연히 토오크는 전단응력, 전단변형률 및 비틀림 각과 관련된다.