3차 방정식 근의 공식(카르다노 해법)

이전 글에서는 쌍곡선/삼각함수를 이용하여 3차 방정식의 근의 공식을 유도하였다.

이번에는 카르다노의 해법을 통하여 근을 구해본다.

3차 방정식의 일반식(1)을 이전 글과 동일하게 계수 p, q로 치환한다.(2). 유도 과정은 이전 글을 참조한다.

\(z^3+a_2z^2+a_1z+a_0=0\cdots(1)\)

\(\begin{align}z=x-{a_2\over3},\ p={3a_1-a_2^2\over3},\ q={9a_1a_2-27a_0-2a_2^3\over27},\ x^3+px=q\cdots(2)\end{align}\)

방정식 (2)를 풀기위해 x를 다음과 같이 변수 t로 식 (3)과 같이 치환한 후 t³을 곱하면 t³에 대한 2차 방정식을 얻는다.(4)

\(x=t-\dfrac{p}{3t}\cdots(3)\)

\((t^3)^2-q(t^3)-\dfrac{p^3}{27}=0\cdots(4)\)

2차 방정식의 근의 공식으로부터

\(t^3=\dfrac{q}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3}={\rm R}\pm\sqrt{{\rm R}^2+{\rm Q}^3}\cdots(5)\)

여기서 R=q/2, Q=p/3으로 간략화 했다.

식 (5)는 3차 방정식이므로 각 +/- 부호에 따라 3개의 근을 갖는다.(6)

허근 ω에 대하여는 링크를 참조한다.

\(t=\begin{cases}{\rm A},\ \omega{\rm A},\ \omega^2{\rm A}\\{\rm B},\ \omega{\rm B},\ \omega^2{\rm B}\end{cases}\cdots(6)\)

여기서 \(\begin{align}\omega=-{1\over2}+{\sqrt{3}\over2}i,\ {\rm A}=\sqrt[3]{{\rm R}+\sqrt{{\rm R}^2+{\rm Q}^3}},\ {\rm B}=\sqrt[3]{{\rm R}-\sqrt{{\rm R}^2+{\rm Q}^3}}\cdots(7)\end{align}\)

식 (6)을 식 (3)에 대입하면 x는 다음과 같은 세개의 근을 갖는다.(8)

\(x=\begin{cases}{\rm A+B}\\\omega{\rm A}+\omega^2{\rm B}\\\omega^2{\rm A}+\omega{\rm B}\end{cases}\cdots(8)\)

최종적으로 식 (2)에 의하여 z의 3개의 근을 구할 수 있다.