3차 방정식 근의 공식(카르다노 해법)
이전 글에서는 쌍곡선/삼각함수를 이용하여 3차 방정식의 근의 공식을 유도하였다.
이번에는 카르다노의 해법을 통하여 근을 구해본다.
3차 방정식의 일반식(1)을 이전 글과 동일하게 계수 p, q로 치환한다.(2). 유도 과정은 이전 글을 참조한다.
z3+a2z2+a1z+a0=0⋯(1)
z=x−a23, p=3a1−a223, q=9a1a2−27a0−2a3227, x3+px=q⋯(2)
방정식 (2)를 풀기위해 x를 다음과 같이 변수 t로 식 (3)과 같이 치환한 후 t³을 곱하면 t³에 대한 2차 방정식을 얻는다.(4)
x=t−p3t⋯(3)
(t3)2−q(t3)−p327=0⋯(4)
2차 방정식의 근의 공식으로부터
t3=q2±√(q2)2+(p3)3=R±√R2+Q3⋯(5)
여기서 R=q/2, Q=p/3으로 간략화 했다.
식 (5)는 3차 방정식이므로 각 +/- 부호에 따라 3개의 근을 갖는다.(6)
허근 ω에 대하여는 링크를 참조한다.
t={A, ωA, ω2AB, ωB, ω2B⋯(6)
여기서 ω=−12+√32i, A=3√R+√R2+Q3, B=3√R−√R2+Q3⋯(7)
식 (6)을 식 (3)에 대입하면 x는 다음과 같은 세개의 근을 갖는다.(8)
x={A+BωA+ω2Bω2A+ωB⋯(8)
최종적으로 식 (2)에 의하여 z의 3개의 근을 구할 수 있다.
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