3차 방정식 근의 공식(카르다노 해법)

이전 글에서는 쌍곡선/삼각함수를 이용하여 3차 방정식의 근의 공식을 유도하였다.

이번에는 카르다노의 해법을 통하여 근을 구해본다.

3차 방정식의 일반식(1)을 이전 글과 동일하게 계수 p, q로 치환한다.(2). 유도 과정은 이전 글을 참조한다.

z3+a2z2+a1z+a0=0(1)

z=xa23, p=3a1a223, q=9a1a227a02a3227, x3+px=q(2)

방정식 (2)를 풀기위해 x를 다음과 같이 변수 t로 식 (3)과 같이 치환한 후 t³을 곱하면 t³에 대한 2차 방정식을 얻는다.(4)

x=tp3t(3)

(t3)2q(t3)p327=0(4)

2차 방정식의 근의 공식으로부터

t3=q2±(q2)2+(p3)3=R±R2+Q3(5)

여기서 R=q/2, Q=p/3으로 간략화 했다.

식 (5)는 3차 방정식이므로 각 +/- 부호에 따라 3개의 근을 갖는다.(6)

허근 ω에 대하여는 링크를 참조한다.

t={A, ωA, ω2AB, ωB, ω2B(6)

여기서 ω=12+32i, A=3R+R2+Q3, B=3RR2+Q3(7)

식 (6)을 식 (3)에 대입하면 x는 다음과 같은 세개의 근을 갖는다.(8)

x={A+BωA+ω2Bω2A+ωB(8)

최종적으로 식 (2)에 의하여 z의 3개의 근을 구할 수 있다.


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