역함수의 미분법

정리 1   미분가능한 함수 f의 역함수 g는 미분가능하며 y=f(x)라 하면$$g^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}(\mathrm{단},f^{\prime }(x)\ne 0)$$이다.

<증명> 역함수의 정의에 따라, $g\circ f=1$, 즉 x=g(y)=g(f(x)) 이므로, 합성함수의 미분법 정리 1에 의해서

$$1=\frac{dx}{dx}=\frac{dg}{dy}\frac{df}{dx}=\frac{dx}{dy}\frac{dy}{dx}$$

가 된다. 따라서

$$g^{\prime }(y)=\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$$

계 1  k는 임의의 유리수이고, $y=x^k$이 실수이면 y는 미분가능하고 $y^{\prime }=k{x}^{k-1}$ 이다.

<증명> k가 유리수이므로 적당한 정수 p, q(단, q>0)를 취하여 k=p/q로 나타낼 수 있다.
$u=x^{1/q}=g(x)$라 하고 $h(u)=u^q$라 두면, h는 q의 역함수이다. 그런데 h는 미분가능하므로,
$$g^{\prime }(x)=\frac{1}{h^{\prime }(u)}=\frac{1}{q{u}^{q-1}}=\frac{1}{q(x^{1/q}{)}^{q-1}}=\frac{1}{q{x}^{1-1/q}}=\frac{1}{q}{x}^{1/q-1}$$
그리고 $f(x)=x^{p/q}=(x^{1/q}{)}^p=(g(x){)}^p$ 이므로, f(x)는 미분가능하며,
$$f^{\prime }(x)=pq(x{)}^{p-1}{g}^{\prime }(x)=p{x}^{\frac{p-1}{q}}\frac{1}{q}{x}^{1/q-1}=\frac{p}{q}{x}^{p/q-1}=k{x}^{k-1}$$

계 2  g는 미분가능한 함수, k는 임의의 유리수일 때 $f(x)=g(x{)}^k$가 실수치를 가지면 f는 미분가능하며$$f^{\prime }(x)=kg(x{)}^{k-1}{g}^{\prime }(x)$$

<증명> 계 1을 사용하여, 합성함수의 미분법 예제 6과 동일하게 생각하여 증명한다.

[예제 1]   $y=\sqrt[4]{(x^2+a{)}^3}$을 미분하라.

<풀이>   $g(x)=x^2+a$라 놓으면 $y=g(x{)}^{3/4},g^{\prime }(x)=2x$ 이므로

$$y^{\prime }=\frac{3}{4}g(x{)}^{3/4-1}{g}^{\prime }(x)=\frac{3}{4}(x^2+a{)}^{-1/4}(2x)=\frac{3x}{2\sqrt[4]{x^2+a}}$$

[예제 2]   $y={\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{-1}x$를 미분하라(삼각함수의 역함수 참조).

<풀이>   $x=\sin y(-\frac{\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2})$ 이므로, 정리 1에 의해

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\cos y}(\cos y\ne 0)$$

$-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}$인 경우, cos y>0 이므로 $\cos y=\sqrt{1-{\sin }^{2}y}=\sqrt{1-x^2}$. 따라서

$$\frac{d}{dx}\left({\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{-1}x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(-1<x<1)$$

[예제 3]   $y={\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}x$를 미분하라.

<풀이>   ${\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}x=\frac{\pi }{2}-{\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{-1}x$ 이므로

$$\frac{d}{dx}\left({\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}x\right)=-\frac{d}{dx}\left({\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{-1}x\right)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(-1<x<1)$$

[예제 4]   $y={\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}x$를 미분하라.

<풀이>   x=tan y 이므로

$$\frac{d}{dx}\left({\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}x\right)=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{{\sec }^{2}y}=\frac{1}{1+{\tan }^{2}y}=\frac{1}{1+x^2}$$

[예제 5]   $y={\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}}^{-1}x$를 미분하라.

<풀이>   ${\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}}^{-1}x={\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}\frac{1}{x}$ 이므로

$$\frac{d}{dx}\left({\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}}^{-1}x\right)=\frac{d}{dx}\left({\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}\frac{1}{x}\right)=-\frac{\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{1-{\left(\frac{1}{x}\right)}^2}}=\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$

[예제 6]   $\theta ={\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}(y^{\prime })$를 x에 관하여 미분하라. 단, $y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$ 이다.

<풀이>   tanθ=y' 이므로 양변을 x에 관하여 미분하면

$$y^{″}={\sec }^2\theta \frac{d\theta }{dx}$$

여기서 ${\sec }^2\theta =1+{\tan }^2\theta =1+(y^{\prime }{)}^2$ 이므로

$$\frac{d\theta }{dx}=\frac{y^{″}}{1+(y^{\prime }{)}^2}$$

[주의]   역삼각함수는 무수히 많은 분지(分枝)가 있으므로, 각 분지마다 부호에 주의한다. 예를 들면, $\frac{\pi }{2}<{\sin }^{-1}x<\frac{3\pi }{2}$ 일 때는 $\frac{d}{dx}({\sin }^{-1}x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 이다.

왜냐하면 $y={\sin }^{-1}x$라 두면 x=sin y 이므로 $\cos y\cdot y^{\prime }=1,y^{\prime }=\frac{1}{\cos y}$ 이지만 $\frac{\pi }{2}<y<\frac{3\pi }{2}$ 일 때 $\cos y=-\sqrt{1-{\sin }^{2}y}=-\sqrt{1-x^2}$ 이기 때문이다.

단, 역정접함수에서는 어느 분지에 대해서도, $\frac{d}{dx}{\tan }^{-1}x=\frac{1}{1+x^2}$ 이다. 이것은 역여접함수에 대해서도 마찬가지이다.