단순전단 (Simple Shear)

재료역학에서 단순전단은 요소의 마주보는 두 변이 평행하게 일정 거리를 유지하면서 서로에 대해 상대적으로 이동하는 변형이다.

이 변형은 강체 회전이 존재한다는 점에서 순수전단(pure shear)과는 다르다. 고무가 단순전단 변형을 할 때 응력-변형률 거동은 거의 선형관계가 된다. 봉의 비틀림은 단순전단을 받는 실제적인 예이다.

위의 그림과 같은 단순전단의 변형 후 상사 방정식(mapping equation)은 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}& x=X+\gamma Y\\ & y=Y\end{array}$$

따라서 변형구배(deformation gradient)는 정의에 따라

$$\mathbf{F}\mathbf{=}\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial X}& \frac{\partial x}{\partial Y}\\ \frac{\partial y}{\partial X}& \frac{\partial y}{\partial Y}\end{array}\right]\mathbf{=}\left[\begin{array}{cc}1& \gamma \\ 0& 1\end{array}\right]$$

강체회전이 존재하므로 위와 같이 변형구배는 비대칭 행열이 된다.

또한, 그림에서 요소가 변형하는 동안 고정되어 있는 밑변의 방향벡터 ${\mathbf{e}}_1$이라 하고 ${\mathbf{e}}_1-{\mathbf{e}}_2$면 상에서 변형이 일어난다고 하면 변형구배는 아래와 같이 쓸 수도 있다.

$$\begin{array}{rl}\mathbf{F}& =\mathbf{I}+\gamma {\mathbf{e}}_1\otimes {\mathbf{e}}_2\\ & =\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]+\gamma (1,0,0)\otimes (0,1,0)\\ & =\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]+\gamma \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\end{array}$$

위의 결과로부터 그린변형률(Green strain)을 구하면

$$\begin{array}{rl}\mathbf{E}& =\frac{1}{2}({\mathbf{F}}^T\mathbf{F}-\mathbf{I})\\ & =\frac{1}{2}\{\left[\begin{array}{cc}1& \gamma \\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ \gamma & 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\}\\ & =\frac{1}{2}\{\left[\begin{array}{cc}1+{\gamma }^2& \gamma \\ \gamma & 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\}\\ & =\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}{\gamma }^2& \gamma \\ \gamma & 0\end{array}\right]\end{array}$$

이것 역시 강체 회전이 발생하였으므로 비대각 성분(off-diagonal components)이 다름을 알 수 있다. 변형이 작을 경우 ${\gamma }^2\to 0$ 이므로 미소 변형률 텐서는

$$\mathit{ϵ}=\left[\begin{array}{cc}{ϵ}_{xx}& {ϵ}_{xy}\\ {ϵ}_{yx}& {ϵ}_{yy}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& \frac{\gamma }{2}\\ \frac{\gamma }{2}& 0\end{array}\right]$$

여기서 ${ϵ}_{xy}={ϵ}_{yx}=\gamma /2$. 즉, 변형률 텐서의 전단성분은 공학 전단변형률(engineering shear strain)의 1/2임을 알 수 있다.