기계공학 (Mechanical Engineering)

무차원수의 개념은 유체 와 나비어-스톡스 방정식 을 다루는 공학도들에게는 친숙하다. 하지만 그의 실제적인 의미와 최선의 활용법은 무엇일까? 이에 대한 답을 찾기 위해 간단한 역학 문제에 대하여 무차원 수를 구해 보자. 위의 그림은 초기속도를 가지고 일정한 가속도를 받는 입자의 운동이다. 입자의 위치는 다음과 같이 표현된다. \[s=v_ot+{1\over2}at^2\] 첫번째 단계로 모든 변수에 대하여 무차원수를 도입한다. 예를 들면 \(s^*=s/L\), 여기서 \(s^*\)는 무차원 변수, \(s\)는 이동거리, 그리고 \(L\)은 특성길이이다. \[s^*={s\over L}\qquad v^*={v\over V}\qquad a^*={a\over A}\qquad t^*={t\over T}\] 원래 방정식에 대입하면 \[s^*L=v^*Vt^*T+{1\over2}a^*A(t^*T)^2\] 정리하면 \[\left({L\over VT}\right)s^*=v^*t^*+{1\over2}a^*t^{*2}\left({AT\over V}\right)\] 위의 식은 두 개의 무차원수, \(L/VT\)와 \(AT/V\)를 준다. 종종 그렇듯이 무차원수는 변수들의 비율로 나타난다. 이 경우 \(AT/V\)는 초기속도에 대한 가속도 효과의 비율이다. 그 다음 단계는 계의 거동을 결정하기 위한 실험 실시이다. 위의 경우는 속도, 가속도 및 시간의 다른 값들을 선택한 후 변위를 계측하게 된다. 하지만 여기서는 원래 방정식에서 변위를 계산하기로 하자. 무차원수를 포함한 임의로 선정된 변수들의 결과값들은 다음 표와 같다. \(v_o\) \(a\) \(t\) \(s\) \(AT/V\) \(L/VT\) 0.1 0.0 3 0.3 0.00 1.00 -3.0 25.0 1 9.5 -8.33 -3.17 2.0 9.8 2 23.6 9.80 5.90 ...

1. \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+{a\over x}\right)^x=e^a\) 임을 증명하여라. <증명> 실수의 지수 예제 4에 의해서 \(\displaystyle\lim_{h\to\pm\infty}\left(1+{1\over h}\right)^h=e\) 이므로 \(x=ah\)로 치환하면 \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+{a\over x}\right)^x=\lim_{h\to\pm\infty}\left\{\left(1+{1\over h}\right)^h\right\}^a=e^a.\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to0}(1+ax)^{1\over x}=e^a\) 임을 증명하여라. <증명> \(ax={1\over h}\)로 치환하면 \(\displaystyle\lim_{x\to0}(1+ax)^{1\over x}=\lim_{h\to\pm\infty}\left\{\left(1+{1\over h}\right)^h\right\}^a=e^a.\) 3. 다음 극한값 을 구하여라. (1) \(\displaystyle\lim_{x\to\pm0}\dfrac{e^{1/x}-1}{e^{1/x}+1}=\begin{cases}x\to+0\text{ 일 때 }\displaystyle\lim_{h\to+\infty}\dfrac{1-1/e^h}{1+1/e^h}=\ \ \ 1\\x\to-0\text{ 일 때 }\displaystyle\lim_{h\to-\infty}\dfrac{e^h-1}{e^h+1}\quad=-1\end{cases}\) (2) \(\displaystyle\lim_{x\to\pm0}\dfrac{1}{e^{1/x}+e^{-1/x}}={1\over\infty+0}=0\) (3) \(\displaystyle\lim_{x\to0}x\sin(\ln{x})=\lim_{x\to0}x=0\) 위의 식은 \(|\sin(\ln{x})|\le1\) 이므...