[연습문제] 연속함수
1. \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+{a\over x}\right)^x=e^a\) 임을 증명하여라. <증명> 실수의 지수 예제 4에 의해서 \(\displaystyle\lim_{h\to\pm\infty}\left(1+{1\over h}\right)^h=e\) 이므로 \(x=ah\)로 치환하면 \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+{a\over x}\right)^x=\lim_{h\to\pm\infty}\left\{\left(1+{1\over h}\right)^h\right\}^a=e^a.\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to0}(1+ax)^{1\over x}=e^a\) 임을 증명하여라. <증명> \(ax={1\over h}\)로 치환하면 \(\displaystyle\lim_{x\to0}(1+ax)^{1\over x}=\lim_{h\to\pm\infty}\left\{\left(1+{1\over h}\right)^h\right\}^a=e^a.\) 3. 다음 극한값 을 구하여라. (1) \(\displaystyle\lim_{x\to\pm0}\dfrac{e^{1/x}-1}{e^{1/x}+1}=\begin{cases}x\to+0\text{ 일 때 }\displaystyle\lim_{h\to+\infty}\dfrac{1-1/e^h}{1+1/e^h}=\ \ \ 1\\x\to-0\text{ 일 때 }\displaystyle\lim_{h\to-\infty}\dfrac{e^h-1}{e^h+1}\quad=-1\end{cases}\) (2) \(\displaystyle\lim_{x\to\pm0}\dfrac{1}{e^{1/x}+e^{-1/x}}={1\over\infty+0}=0\) (3) \(\displaystyle\lim_{x\to0}x\sin(\ln{x})=\lim_{x\to0}x=0\) 위의 식은 \(|\sin(\ln{x})|\le1\) 이므...