고차도함수
정의 1 함수 \(f\)의 도함수 \(f'\)이 미분가능일 때 \(f'\)의 도함수를 \(f\)의 제2차도함수 라 하며 \(f''\)으로 표시한다. \[f''(x)=\lim_{h\to0}\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}\] \(f''\)이 다시 미분가능이면 그 도함수를 \(f'''\)로 표시하고 \(f\)의 제3차도함수라고 한다. 일반적으로 제\(n-1\)차도함수의 도함수를 제\(n\)차 도함수 라 하고 \(f^{(n)}\)으로 표시한다. \[f^{(n)}=\frac{d}{dx}f^{(n-1)}(x)\] 또한 \(n\)차도함수의 \(x=a\)에서의 함수값 \(f^{(n)}(a)\)를 \(x=a\)에 대한 제\(n\)차미분계수 라 한다. \(n\ge2\)인 경우의 \(f^{(n)}\)을 통틀어서 고차도함수 , \(f^{(n)}(a)\)를 \(x=a\)에 대한 고 차미분계수 라 한다. 함수를 \(y=f(x)\)로 표시하는 경우 고차도함수를 \[\begin{align}&y'',\,y''',\,\cdots,\,y^{(n)}\\&\frac{d^ny}{dx^n}\ \text{혹은}\ \frac{d^n}{dx^n}f(x)\ (n=2,\,3,\,4,\,\cdots)\end{align}\] 등으로 나타낸다. [예제 1] \(y=x^n\) (\(n\)은 자연수) 이면 \(y'=nx^{n-1},\,y''=n(n-1)x^{n-2},\,y'''=n(n-1)(n-2)x^{n-3},\,\cdots\) \(y^{(n)}=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1=n!,\,y^{(n+1)}=0\) [예제 2] \(y=\sin{x}\)이면 \(y'=cos{x},\,y''=-\sin{x},\,y'''=-\cos{x},\,y^{(4)}=\s...