치환적분법
정리 1 \(\int f(t)dt=F(t)\) 이면 \[\begin{split}\int f\{g(x)\}g'(x)dx&=\int f(t)dt\qquad(t=g(x))\\&=F\{g(x)\}\end{split}\] <증명> \(t=g(x)\)라 놓고 합성함수의 미분법 을 이용하면 \[\frac{d}{dx}F\{g(x)\}=\frac{d}{dx}F(t)\frac{dt}{dx}=f(t)g'(x)=f\{g(x)\}g'(x)\] 따라서 \[\int f\{g(x)\}g'(x)dx=F\{g(x)\}\] 이 공식을 치환적분법 의 공식이라 한다. [예제 1] 다음 함수 를 적분 하여라. \((1)\ x(x^2+1)^2\qquad(2)\ \dfrac{x}{(x^2+2)^n}(n\ne1)\qquad(3)\ \dfrac{x}{\sqrt{2x^2+3}}\) \((4)\ \dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}\qquad\ \,(5)\ \dfrac{x}{\sqrt{1-x^4}}\qquad\qquad\quad\ \ (6)\ xe^{x^2}\) \((7)\ \sqrt{\dfrac{3-x}{1+x}}\qquad\ \ \,(8)\ \dfrac{({\rm Sin}^{-1}x)^2}{\sqrt{1-x^2}}\qquad\qquad\quad(9)\ (x^2+1)\sqrt[3]{x^3+3x+1}\) <풀이> \((1)\ x^2+1=t\ \text{라 두면}\ xdx=dt/2\) \(\displaystyle\int x(x^2+1)^2dx={1\over2}\int t^2dt={t^3\over6}={(x^2+1)^3\over6}\) \((2)\ x^2+2=t\ \text{라 두면}\ xdx=dt/2\) \(\displaystyle\int\frac{x}{(x^2+2)^n}dx={1\over2}\int t^{-n}dt=\frac{t^{-n+1}}{2(-n+1)}=-\frac{1}{2...