기계공학 (Mechanical Engineering)

1. 함수  \(f(x)=\begin{cases}\dfrac{x}{1+e^{1\over x}}\ (x\ne0)\\\quad\ 0\quad\ \ \ (x=0)\end{cases}\)의 \(x=0\)에서의 연속성 과 미분가능성 을 조사하여라. < 풀이 > \(\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}\frac{x}{1+e^{1\over x}}=0=f(0)\) 이므로 \(x=0\)에서 연속이다. \(\displaystyle\lim_{x\to+0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to+0}\frac{1}{1+e^{1\over x}}=0,\,\lim_{x\to-0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to-0}\frac{1}{1+e^{1\over x}}=1\) 따라서 \(x=0\)에서 미분 불가능이다. 2. 다음 함수의 도함수를 구하여라. (1) \(\dfrac{x^3}{(1-x^2)^{3\over2}}\)                    (2) \(\dfrac{\sin{x}-x\cos{x}}{x\sin{x}+\cos{x}}\)          (3) \({\rm Sin}^{-1}\left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)\) (4) \(\ln\dfrac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2}x}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{2}x}\)     (5) \(e^{4^x}\)                               (6) \((\tan{x})^{\sin{x}}\) < 풀이 > (1) \(\left\{\dfrac{x^3}{(1-x^2)^{3\...

정의 1   함수  \(f\)의 도함수  \(f'\)이 미분가능일 때 \(f'\)의 도함수를  \(f\)의 제2차도함수 라 하며 \(f''\)으로 표시한다. \[f''(x)=\lim_{h\to0}\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}\] \(f''\)이 다시 미분가능이면 그 도함수를 \(f'''\)로 표시하고 \(f\)의 제3차도함수라고 한다. 일반적으로 제\(n-1\)차도함수의 도함수를 제\(n\)차 도함수 라 하고 \(f^{(n)}\)으로 표시한다. \[f^{(n)}=\frac{d}{dx}f^{(n-1)}(x)\] 또한 \(n\)차도함수의 \(x=a\)에서의 함수값 \(f^{(n)}(a)\)를 \(x=a\)에 대한 제\(n\)차미분계수 라 한다. \(n\ge2\)인 경우의 \(f^{(n)}\)을 통틀어서 고차도함수 , \(f^{(n)}(a)\)를 \(x=a\)에 대한 고 차미분계수 라 한다. 함수를 \(y=f(x)\)로 표시하는 경우 고차도함수를 \[\begin{align}&y'',\,y''',\,\cdots,\,y^{(n)}\\&\frac{d^ny}{dx^n}\ \text{혹은}\ \frac{d^n}{dx^n}f(x)\ (n=2,\,3,\,4,\,\cdots)\end{align}\] 등으로 나타낸다. [예제 1]  \(y=x^n\) (\(n\)은 자연수) 이면 \(y'=nx^{n-1},\,y''=n(n-1)x^{n-2},\,y'''=n(n-1)(n-2)x^{n-3},\,\cdots\) \(y^{(n)}=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1=n!,\,y^{(n+1)}=0\) [예제 2] \(y=\sin{x}\)이면 \(y'=cos{x},\,y''=-\sin{x},\,y'''=-\cos{x},\,y^{(4)}=\s...