무차원수 (Dimensionless Numbers)

무차원수의 개념은 유체와 나비어-스톡스 방정식을 다루는 공학도들에게는 친숙하다. 하지만 그의 실제적인 의미와 최선의 활용법은 무엇일까? 이에 대한 답을 찾기 위해 간단한 역학 문제에 대하여 무차원 수를 구해 보자.
위의 그림은 초기속도를 가지고 일정한 가속도를 받는 입자의 운동이다. 입자의 위치는 다음과 같이 표현된다.
\[s=v_ot+{1\over2}at^2\]
첫번째 단계로 모든 변수에 대하여 무차원수를 도입한다. 예를 들면 \(s^*=s/L\), 여기서 \(s^*\)는 무차원 변수, \(s\)는 이동거리, 그리고 \(L\)은 특성길이이다.
\[s^*={s\over L}\qquad v^*={v\over V}\qquad a^*={a\over A}\qquad t^*={t\over T}\]
원래 방정식에 대입하면
\[s^*L=v^*Vt^*T+{1\over2}a^*A(t^*T)^2\]
정리하면
\[\left({L\over VT}\right)s^*=v^*t^*+{1\over2}a^*t^{*2}\left({AT\over V}\right)\]
위의 식은 두 개의 무차원수, \(L/VT\)와 \(AT/V\)를 준다. 종종 그렇듯이 무차원수는 변수들의 비율로 나타난다. 이 경우 \(AT/V\)는 초기속도에 대한 가속도 효과의 비율이다.
그 다음 단계는 계의 거동을 결정하기 위한 실험 실시이다. 위의 경우는 속도, 가속도 및 시간의 다른 값들을 선택한 후 변위를 계측하게 된다. 하지만 여기서는 원래 방정식에서 변위를 계산하기로 하자. 무차원수를 포함한 임의로 선정된 변수들의 결과값들은 다음 표와 같다.

\(v_o\)\(a\)\(t\)\(s\)\(AT/V\)\(L/VT\)
0.10.030.30.001.00
-3.025.019.5-8.33-3.17
2.09.8223.69.805.90
-10.05.02-10.0-1.000.50
7.060.0137.08.575.29
20.010.09585.04.503.25
-1.0-2.03-12.06.004.00
3.0-4.011.0-1.330.33
-5.0-6.02-22.02.402.20
4.0-7.02-6.0-3.50-0.75
-8.0-20.01-18.02.502.25
20.0-15.09-427.5-6.75-2.28

두 개의 무차원수 서로에 대하여 그래프를 그리면 아래와 같다.

무차원수의 산점도를 보면 실험점들이 마스터 곡선을 잘 형성하고 있다(이 경우는 간단한 직성). 이로서 어떤 문제가 주어졌을 때 \(AT/V\)를 구하고 위의 도표로부터 해당 \(L/VT\)를 찾고 이로부터 최종적으로 \(L\)을 결정할 수 있다.

출처 http://www.continuummechanics.org

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