[연습문제] 연속함수

1. \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+{a\over x}\right)^x=e^a\) 임을 증명하여라.

<증명> 실수의 지수 예제 4에 의해서 \(\displaystyle\lim_{h\to\pm\infty}\left(1+{1\over h}\right)^h=e\) 이므로 \(x=ah\)로 치환하면

\(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+{a\over x}\right)^x=\lim_{h\to\pm\infty}\left\{\left(1+{1\over h}\right)^h\right\}^a=e^a.\)

2. \(\displaystyle\lim_{x\to0}(1+ax)^{1\over x}=e^a\) 임을 증명하여라.

<증명> \(ax={1\over h}\)로 치환하면 \(\displaystyle\lim_{x\to0}(1+ax)^{1\over x}=\lim_{h\to\pm\infty}\left\{\left(1+{1\over h}\right)^h\right\}^a=e^a.\)

3. 다음 극한값을 구하여라.

(1) \(\displaystyle\lim_{x\to\pm0}\dfrac{e^{1/x}-1}{e^{1/x}+1}=\begin{cases}x\to+0\text{ 일 때 }\displaystyle\lim_{h\to+\infty}\dfrac{1-1/e^h}{1+1/e^h}=\ \ \ 1\\x\to-0\text{ 일 때 }\displaystyle\lim_{h\to-\infty}\dfrac{e^h-1}{e^h+1}\quad=-1\end{cases}\)

(2) \(\displaystyle\lim_{x\to\pm0}\dfrac{1}{e^{1/x}+e^{-1/x}}={1\over\infty+0}=0\)

(3) \(\displaystyle\lim_{x\to0}x\sin(\ln{x})=\lim_{x\to0}x=0\)

위의 식은 \(|\sin(\ln{x})|\le1\) 이므로 \(|x\sin(\ln{x})|\le|x|\). 곧, \(0\le x\sin(\ln{x})\le x\) 이므로 실수의 완비성 정리 2에 의하여 성립한다.

(4) \(\displaystyle\lim_{x\to1}\left({1\over\ln{x}}-{x\over\ln{x}}\right)=\lim_{z\to0}\left\{-{z\over\ln(1+z)}\right\}=-1\)

4. 다음 각 함수의 연속성을 조사하여라.

(1) \(f(x)=\begin{cases}e^{1/x}\ (x\ne0)\\\ 1\quad(x=0)\end{cases}\)

<풀이> \(\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=\infty\ne f(0)=1\). 따라서 \(x=0\) 에서 불연속이다.

(2) \(\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}{1\over x^n-x^{-n}}\)

<풀이> \(f(x)\)가 정의되기 위한 조건은 \(x^n-x^{-n}\ne0\) 이므로 \(x\ne0,\,x\ne\pm1\) 이다. 따라서 \(x=0,\,x=\pm1\)에서 불연속이다.

5. 다음 극한값을 구하여라.

(1) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin^{-1}x}{x}=\lim_{\theta\to0}\frac{\theta}{\sin\theta}=1\)

(2) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan^{-1}x}{x}=\lim_{\theta\to0}\frac{\theta}{\tan\theta}=\lim_{\theta\to0}\frac{\theta\cos\theta}{\sin\theta}=1\)

6. 함수 \(f(x)=\dfrac{x^3-1}{x-1}\)이 모든 실수에 대하여 연속이 되도록 \(f(1)\)의 값을 정하여라.

<풀이> 연속의 정의에 의해서 모든 실수에서 연속이기 위해서는 \(x=1\)에서 \(f(1)\)이 존재하고 \(\displaystyle f(1)=\lim_{x\to1}f(x)\) 이면 된다. 따라서 \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x^2+x+1)=3\) 이므로 \(f(1)=3\)으로 정하면 된다.