나비어-스톡스 방정식 (Navier-Stokes Equation)

소개 (Introduction)

연속방정식이 질량 보존에 관한 것이라면 나비어-스톡스 방정식은 운동량에 관한 것이다. 유체역학의 지배방정식으로 유명하며 통상 그 규모와 복잡성으로 난해한 것으로 여겨진다. 본 글에서는 연속방정식, 평형방정식, 전미분 및 변형률 속도텐서를 활용한 유도과정을 소개한다.

나비어-스톡스 방정식 (Navier-Stokes Equation)

유도과정을 평형방정식에서 출발한다. 가속도항을 전미분으로 나타내면

\[\nabla\cdot\boldsymbol\sigma+\rho{\bf f}=\rho{\bf a}=\rho\left(\frac{\partial{\bf v}}{\partial t}+{\bf v}\cdot\nabla{\bf v}\right)\]

응력을 정수압(-p)과 편향응력(σ')으로 분해하면

\[\boldsymbol\sigma=-p{\bf I}+\boldsymbol\sigma'\]

이 식을 평형방정식에 대입한다.

\[\nabla p+\nabla\cdot\boldsymbol\sigma'+\rho{\bf f}=\rho\left(\frac{\partial{\bf v}}{\partial t}+{\bf v}\cdot\nabla{\bf v}\right)\]

이제부터는 점성 유체유동의 구성모델(constitutive model)을 적용한다. 이 구성모델은 전단변형률 속도와 편향응력과의 관계를 정의한다.

\[\boldsymbol\sigma'=2\mu{\bf D}'\]

여기서 μ는 유체의 점성계수이다. 사실 위의 식은 \(\tau=\mu(\partial v_x/\partial y)\)의 3-D 형태이다. 이 식을 대입하고 μ를 상수로 가정하면 가장 일반화된 형태의 방정식을 얻는다.

\[\rho\left(\frac{\partial{\bf v}}{\partial t}+{\bf v}\cdot\nabla{\bf v}\right)=-\nabla p+2\mu\cdot{\bf D}'+\rho{\bf f}\]

D'를 D-(1/3)tr(D)I로 치환하면

\[=-\nabla p+2\mu\nabla\cdot{\bf D}-{2\over3}\mu\nabla{\rm tr}({\bf D})+\rho{\bf f}\]

그리고 \({\bf D}=(\nabla{\bf v}+(\nabla{\bf v})^T)/2\)를 대입한다(속도구배 참조).

\[=-\nabla p+\mu\nabla^2{\bf v}+{1\over3}\mu\nabla(\nabla\cdot{\bf v})+\rho{\bf f}\]

여기서 세번째 항의 계산과정은 아래와 같이 텐서표기법을 참고한다.

\[\begin{align}&\mu\nabla\cdot(\nabla{\bf v})^T-{2\over3}\mu\nabla{\rm tr}\left(\frac{\nabla{\bf v}+(\nabla{\bf v})^T}{2}\right)\\&=\mu\left\{\nabla\cdot(v_{i,j})^T-{2\over3}\nabla{\rm tr}(\nabla{\bf v})\right\}\\&=\mu\left\{(v_{i,j})_{,i}-{2\over3}\nabla(v_{i,i})\right\}\\&=\mu\left\{(v_{i,i})_{,j}-{2\over3}(v_{i,i})_{,j}\right\}\\&={\mu\over3}(v_{i,i})_{,j}={\mu\over3}\nabla(\nabla\cdot{\bf v})\end{align}\]

비압축성 유체에서 연속방정식은 ∇·v=0 이므로 -(1/3)μ∇(∇·v) 항은 삭제되어 다음과 같다.

\[\rho\left(\frac{\partial{\bf v}}{\partial t}+{\bf v}\cdot\nabla{\bf v}\right)=-\nabla p+\mu\nabla^2{\bf v}+\rho{\bf f}\]

위의 식은 익숙한 나비어-스톡스 방정식이며 풀어 쓰면 아래와 같다.

\[\begin{align}&\rho\left(\frac{\partial v_x}{\partial t}+v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_x}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_x}{\partial z}\right)=-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu\left(\frac{\partial^2v_x}{\partial x^2}+\frac{\partial^2v_x}{\partial y^2}+\frac{\partial^2v_x}{\partial z^2}\right)+\rho f_x\\&\rho\left(\frac{\partial v_y}{\partial t}+v_x\frac{\partial v_y}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_y}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_y}{\partial z}\right)=-\frac{\partial p}{\partial y}+\mu\left(\frac{\partial^2v_y}{\partial x^2}+\frac{\partial^2v_y}{\partial y^2}+\frac{\partial^2v_y}{\partial z^2}\right)+\rho f_y\\&\rho\left(\frac{\partial v_z}{\partial t}+v_x\frac{\partial v_z}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_z}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}\right)=-\frac{\partial p}{\partial z}+\mu\left(\frac{\partial^2v_z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2v_z}{\partial y^2}+\frac{\partial^2v_z}{\partial z^2}\right)+\rho f_z\end{align}\]