나비어-스톡스 방정식 (Navier-Stokes Equation)

소개 (Introduction)

연속방정식이 질량 보존에 관한 것이라면 나비어-스톡스 방정식은 운동량에 관한 것이다. 유체역학의 지배방정식으로 유명하며 통상 그 규모와 복잡성으로 난해한 것으로 여겨진다. 본 글에서는 연속방정식, 평형방정식, 전미분 및 변형률 속도텐서를 활용한 유도과정을 소개한다.

나비어-스톡스 방정식 (Navier-Stokes Equation)

유도과정을 평형방정식에서 출발한다. 가속도항을 전미분으로 나타내면

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{\sigma }+\rho \mathbf{f}=\rho \mathbf{a}=\rho (\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot \mathrm{\nabla }\mathbf{v})$$

응력을 정수압(-p)과 편향응력(σ')으로 분해하면

$$\mathit{\sigma }=-p\mathbf{I}+{\mathit{\sigma }}^{\prime }$$

이 식을 평형방정식에 대입한다.

$$\mathrm{\nabla }p+\mathrm{\nabla }\cdot {\mathit{\sigma }}^{\prime }+\rho \mathbf{f}=\rho (\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot \mathrm{\nabla }\mathbf{v})$$

이제부터는 점성 유체유동의 구성모델(constitutive model)을 적용한다. 이 구성모델은 전단변형률 속도와 편향응력과의 관계를 정의한다.

$${\mathit{\sigma }}^{\prime }=2\mu {\mathbf{D}}^{\prime }$$

여기서 μ는 유체의 점성계수이다. 사실 위의 식은 $\tau =\mu (\partial v_x/\partial y)$의 3-D 형태이다. 이 식을 대입하고 μ를 상수로 가정하면 가장 일반화된 형태의 방정식을 얻는다.

$$\rho (\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot \mathrm{\nabla }\mathbf{v})=-\mathrm{\nabla }p+2\mu \cdot {\mathbf{D}}^{\prime }+\rho \mathbf{f}$$

D'를 D-(1/3)tr(D)I로 치환하면

$$=-\mathrm{\nabla }p+2\mu \mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{D}-\frac{2}{3}\mu \mathrm{\nabla }\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathbf{D})+\rho \mathbf{f}$$

그리고 $\mathbf{D}=(\mathrm{\nabla }\mathbf{v}+(\mathrm{\nabla }\mathbf{v}{)}^T)/2$를 대입한다(속도구배 참조).

$$=-\mathrm{\nabla }p+\mu {\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{v}+\frac{1}{3}\mu \mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{v})+\rho \mathbf{f}$$

여기서 세번째 항의 계산과정은 아래와 같이 텐서표기법을 참고한다.

$$\begin{array}{rl}& \mu \mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\mathbf{v}{)}^T-\frac{2}{3}\mu \mathrm{\nabla }\mathrm{t}\mathrm{r}\left(\frac{\mathrm{\nabla }\mathbf{v}+(\mathrm{\nabla }\mathbf{v}{)}^T}{2}\right)\\ & =\mu \{\mathrm{\nabla }\cdot (v_{i,j}{)}^T-\frac{2}{3}\mathrm{\nabla }\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathrm{\nabla }\mathbf{v})\}\\ & =\mu \{(v_{i,j}{)}_{,i}-\frac{2}{3}\mathrm{\nabla }(v_{i,i})\}\\ & =\mu \{(v_{i,i}{)}_{,j}-\frac{2}{3}(v_{i,i}{)}_{,j}\}\\ & =\frac{\mu }{3}(v_{i,i}{)}_{,j}=\frac{\mu }{3}\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{v})\end{array}$$

비압축성 유체에서 연속방정식은 ∇·v=0 이므로 -(1/3)μ∇(∇·v) 항은 삭제되어 다음과 같다.

$$\rho (\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot \mathrm{\nabla }\mathbf{v})=-\mathrm{\nabla }p+\mu {\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{v}+\rho \mathbf{f}$$

위의 식은 익숙한 나비어-스톡스 방정식이며 풀어 쓰면 아래와 같다.

$$\begin{array}{rl}& \rho (\frac{\partial v_x}{\partial t}+v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_x}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_x}{\partial z})=-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu (\frac{{\partial }^2{v}_x}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{v}_x}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{v}_x}{\partial z^2})+\rho f_x\\ & \rho (\frac{\partial v_y}{\partial t}+v_x\frac{\partial v_y}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_y}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_y}{\partial z})=-\frac{\partial p}{\partial y}+\mu (\frac{{\partial }^2{v}_y}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{v}_y}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{v}_y}{\partial z^2})+\rho f_y\\ & \rho (\frac{\partial v_z}{\partial t}+v_x\frac{\partial v_z}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_z}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_z}{\partial z})=-\frac{\partial p}{\partial z}+\mu (\frac{{\partial }^2{v}_z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{v}_z}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{v}_z}{\partial z^2})+\rho f_z\end{array}$$