텐서의 이중내적 (Double Dot Product of Tensors)

두 행열의 이중내적(double dot product)는 스칼라값을 결과로 내며 다음과 같다.

\[\begin{split}&{\bf A}:{\bf B}=A_{ij}B_{ij}\\&{\bf A}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix},\ {\bf B}=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{bmatrix}\ \text{이면}\\&{\bf A}:{\bf B}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{12}+a_{13}b_{13}+\\&\qquad\quad\ \ \ \, a_{21}b_{21}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{23}+\\&\qquad\quad\ \ \ \,a_{31}b_{31}+a_{32}b_{32}+a_{33}b_{33}\end{split}\]

[예제] 응력텐서 \(\boldsymbol\sigma\)와 회전텐서 \(\bf W\)의 이중내적은 \(\boldsymbol\sigma:{\bf W}=0\) 임을 증명하시오.

\[\begin{align}&\boldsymbol\sigma=\begin{bmatrix}\sigma_{11}&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\\sigma_{12}&\sigma_{22}&\sigma_{23}\\\sigma_{13}&\sigma_{23}&\sigma_{33}\end{bmatrix},\,{\bf W}=\begin{bmatrix}0&-\omega_3&\omega_2\\\omega_3&0&-\omega_1\\-\omega_2&\omega_1&0\end{bmatrix}\ \text{이므로}\\&\boldsymbol\sigma:{\bf W}=-\sigma_{12}\omega_3+\sigma_{13}\omega_2+\sigma_{12}\omega_3-\sigma_{23}\omega_1-\sigma_{13}\omega_2+\sigma_{23}\omega_1=0\end{align}\]

4등급 텐서와 텐서의 이중내적은 텐서를 결과로 낸다.

\[\boldsymbol\sigma={\bf C}:\epsilon\qquad\sigma_{ij}=C_{ijkl}\epsilon_{kl}\]

즉, \(\sigma\)의 각 텐서항은 \(\epsilon\)의 각 텐서항의 선형 조합이다. 예를 들면 \(\sigma_{12}\)는 다음과 같다.

\[\begin{split}\sigma_{12}=&C_{1211}\epsilon_{11}+C_{1212}\epsilon_{12}+C_{1213}\epsilon_{13}+\\&C_{1221}\epsilon_{21}+C_{1222}\epsilon_{22}+C_{1223}\epsilon_{23}+\\&C_{1231}\epsilon_{31}+C_{1232}\epsilon_{32}+C_{1233}\epsilon_{33}\end{split}\]