텐서의 이중내적 (Double Dot Product of Tensors)

두 행열의 이중내적(double dot product)는 스칼라값을 결과로 내며 다음과 같다.

\[\begin{split}&{\bf A}:{\bf B}=A_{ij}B_{ij}\\&{\bf A}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix},\ {\bf B}=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{bmatrix}\ \text{이면}\\&{\bf A}:{\bf B}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{12}+a_{13}b_{13}+\\&\qquad\quad\ \ \ \, a_{21}b_{21}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{23}+\\&\qquad\quad\ \ \ \,a_{31}b_{31}+a_{32}b_{32}+a_{33}b_{33}\end{split}\]

[예제] 응력텐서 \(\boldsymbol\sigma\)와 회전텐서 \(\bf W\)의 이중내적은 \(\boldsymbol\sigma:{\bf W}=0\) 임을 증명하시오.

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