속도 구배 (Velocity Gradient)

속도 구배의 정의는

\[{\bf L}=\frac{\partial\bf v}{\partial\bf x}=\frac{\partial\dot{\bf u}}{\partial\bf x}=\begin{bmatrix}\frac{\partial v_x}{\partial x}&\frac{\partial v_x}{\partial y}&\frac{\partial v_x}{\partial z}\\\frac{\partial v_y}{\partial x}&\frac{\partial v_y}{\partial y}&\frac{\partial v_y}{\partial z}\\\frac{\partial v_z}{\partial x}&\frac{\partial v_z}{\partial y}&\frac{\partial v_z}{\partial z}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{\partial\dot{u}}{\partial x}&\frac{\partial\dot{u}}{\partial y}&\frac{\partial\dot{u}}{\partial z}\\\frac{\partial\dot{v}}{\partial x}&\frac{\partial\dot{v}}{\partial y}&\frac{\partial\dot{v}}{\partial z}\\\frac{\partial\dot{w}}{\partial x}&\frac{\partial\dot{w}}{\partial y}&\frac{\partial\dot{w}}{\partial z}\end{bmatrix}\]

여기서 \({\bf v}=(v_x,\,v_y,\,v_z)\)는 한 점의 속도벡터, \({\bf u}=(u,\,v,\,w)\)는 변위벡터이다.

텐서표기법으로는

\[L_{ij}=\frac{\partial v_i}{\partial x_j}=\frac{\partial\dot{u}_i}{\partial x_j}=v_{i,j}=\dot{u}_{i,j}\]

속도 구배는 변형후 x에 대한 미분이므로 오일러 기술법(Eulerian mode)이며 라그란지(Lagrangian) 표현으로 변환하기 위하여 변형 구배(deformation gradient) F로 나타낼 수 있는 방법이 필요하다.

먼저 F=∂x/∂X 이므로 시간 미분을 취하면

\[\dot{\bf F}=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\bf x}{\partial\bf X}\right)=\frac{\partial}{\partial\bf X}\left(\frac{d\bf x}{dt}\right)=\frac{\partial\bf v}{\partial\bf X}=\frac{\partial\bf v}{\partial\bf x}\frac{\partial\bf x}{\partial\bf X}={\bf L}\cdot{\bf F}\]

\({\bf F}^{-1}\)을 양변 끝에 곱하면

\[{\bf L}=\dot{\bf F}\cdot{\bf F}^{-1}\]

위의 식은 라그란지 양인 F로 오일러 양인 L을 계산할 수 있으므로 매우 유용하다.

속도 v로 단축인장의 경우 변형 구배로부터 속도 구배를 구해본다.

\[\begin{split}&x={X\over l_o}(l_o+vt)={X\over l_o}l_f,\ F_{11}=\frac{\partial x}{\partial X}=1+{vt\over l_o}={l_f\over l_o}\\&\dot{\bf F}=\frac{d\bf F}{dt}=\begin{bmatrix}{v\over l_o}&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\\&{\bf L}=\dot{\bf F}\cdot{\bf F}^{-1}=\begin{bmatrix}{v\over l_o}&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{l_o\over l_f}&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{v\over l_f}&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\end{split}\]

다음은 유한요소(FEM)에서 응용 예이다.

Time step Δt=0.1s 의 과도 해석(transient analysis)의 t+Δt 시점에서의 속도 구배 계산이다.

t, t+Δt 시점의 변형 구배가 각각 아래와 같다고 하자.

\[{\bf F}_t=\begin{bmatrix}1.3&0&0\\0&0.9&0\\0&0&0.9\end{bmatrix},\ {\bf F}_{t+\Delta t}=\begin{bmatrix}1.4&0&0\\0&0.85&0\\0&0&0.85\end{bmatrix}\]

변형 구배의 시간 미분은 유한차분법으로

\[\dot{\bf F}_{t+\Delta t}=\frac{{\bf F}_{t+\Delta t}-{\bf F}_t}{\Delta t}=\begin{bmatrix}1.0&0&0\\0&-0.5&0\\0&0&-0.5\end{bmatrix}\]

또한 t+Δt 시점의 변형 구배의 역행열은

\[{\bf F}_{t+\Delta t}^{-1}=\begin{bmatrix}0.714&0&0\\0&1.176&0\\0&0&1.176\end{bmatrix}\]

최종적으로 이들로부터 속도 구배를 계산할 수 있다.

\[\begin{split}{\bf L}_{t+\Delta t}&=\dot{\bf F}_{t+\Delta t}\cdot{\bf F}_{t+\Delta t}^{-1}\\&=\begin{bmatrix}1.0&0&\\0&-0.5&0\\0&0&-0.5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0.714&0&0\\0&1.177&0\\0&0&1.177\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.714&0&0\\0&-0.589&0\\0&0&-0.589\end{bmatrix}\end{split}\]

이러한 유한요소에서 속도 구배 계산은 재료의 성질이 점성이나 감쇠이력을 가진 경우 사용된다.

속도 구배는 변형률 텐서(D)와 회전 텐서(W)로 분해할 수 있다.

\[{\bf L}={\bf D}+{\bf W}={{\bf L}+{\bf L}^T\over2}+{{\bf L}-{\bf L}^T\over2}\]

\[\begin{split}{\bf D}&=\begin{bmatrix}L_{11}&{L_{12}+L_{21}\over2}&{L_{13}+L_{31}\over2}\\{L_{21}+L_{12}\over2}&L_{22}&{L_{23}+L_{32}\over2}\\{L_{31}+L_{13}\over2}&{L_{32}+L_{23}\over2}&L_{33}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{\partial\dot{u}}{\partial x}&{1\over2}\left(\frac{\partial\dot{u}}{\partial y}+\frac{\partial\dot{v}}{\partial x}\right)&{1\over2}\left(\frac{\partial\dot{u}}{\partial z}+\frac{\partial\dot{w}}{\partial x}\right)\\{1\over2}\left(\frac{\partial\dot{v}}{\partial x}+\frac{\partial\dot{u}}{\partial y}\right)&\frac{\partial\dot{v}}{\partial y}&{1\over2}\left(\frac{\partial\dot{v}}{\partial z}+\frac{\partial\dot{w}}{\partial y}\right)\\{1\over2}\left(\frac{\partial\dot{w}}{\partial x}+\frac{\partial\dot{u}}{\partial z}\right)&{1\over2}\left(\frac{\partial\dot{w}}{\partial y}+\frac{\partial\dot{v}}{\partial z}\right)&\frac{\partial\dot{w}}{\partial z}\end{bmatrix}\\{\bf W}&=\begin{bmatrix}0&{L_{12}-L_{21}\over2}&{L_{13}-L_{31}\over2}\\{L_{21}-L_{12}\over2}&0&{L_{23}-L_{32}\over2}\\{L_{31}-L_{13}\over2}&{L_{32}-L_{23}\over2}&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&{1\over2}\left(\frac{\partial\dot{u}}{\partial y}-\frac{\partial\dot{v}}{\partial x}\right)&{1\over2}\left(\frac{\partial\dot{u}}{\partial z}-\frac{\partial\dot{w}}{\partial x}\right)\\{1\over2}\left(\frac{\partial\dot{v}}{\partial x}-\frac{\partial\dot{u}}{\partial y}\right)&0&{1\over2}\left(\frac{\partial\dot{v}}{\partial z}-\frac{\partial\dot{w}}{\partial y}\right)\\{1\over2}\left(\frac{\partial\dot{w}}{\partial x}-\frac{\partial\dot{u}}{\partial z}\right)&{1\over2}\left(\frac{\partial\dot{w}}{\partial y}-\frac{\partial\dot{v}}{\partial z}\right)&0\end{bmatrix}\end{split}\]

텐서 표기법으로는

\[D_{ij}={1\over2}\left(\frac{\partial\dot{u}_i}{\partial x_j}+\frac{\partial\dot{u}_j}{\partial x_i}\right),\ W_{ij}={1\over2}\left(\frac{\partial\dot{u}_i}{\partial x_j}-\frac{\partial\dot{u}_j}{\partial x_i}\right)\]

회전 텐서와 각속도 벡터 관계를 예를 통해 알아보자.

그림과 같이 각속도 ω로 회전하는 물체를 생각한다. 회전행열(rotation matrix)를 이용하여 회전 후 위치벡터 x를 초기 X로 표시하면

\[{\bf x}={\bf R}\cdot{\bf X},\ \begin{Bmatrix}x\\y\end{Bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\omega t&-\sin\omega t\\\sin\omega t&\cos\omega t\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}X\\Y\end{Bmatrix},\ \begin{matrix}x=X\cos\omega t-Y\sin\omega t\\y=X\sin\omega t+Y\cos\omega t\end{matrix}\]

시간에 대한 미분을 하여 속도 벡터 성분을 구한다.

\[\dot{\bf u}=\frac{d\bf u}{dt}=\frac{d}{dt}({\bf x}-{\bf X})=\frac{d\bf x}{dt}=\dot{\bf x}\]

\[\begin{split}&\dot{u}=\dot{x}=-\omega X\sin\omega t-\omega Y\cos\omega t=-\omega y\\&\dot{v}=\dot{y}=\ \ \ \,\omega X\cos\omega t-\omega Y\sin\omega t=\ \ \ \omega x\end{split}\]

여기서 속도 구배를 구하기 위해서 회전행열의 역행열을 이용하여 X를 x의 함수로 표현하여 대입한다. 즉,

\[{\bf X}={\bf R}^{-1}\cdot{\bf x},\ \begin{Bmatrix}X\\Y\end{Bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\omega t&\sin\omega t\\-\sin\omega t&\cos\omega t\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}x\\y\end{Bmatrix}\]

이제 회전 텐서의 \(W_{21}=-W_{12}\) 항을 구할 수 있다.

\[W_{21}={1\over2}\left(\frac{\partial\dot{v}}{\partial x}-\frac{\partial\dot{u}}{\partial y}\right)=\omega,\ {\bf W}=\begin{bmatrix}0&-\omega&0\\\omega&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\]

위의 예제와 마찬가지로 회전 텐서 각 항은 각속도 벡터의 각 방향 성분으로 요약된다.

\[{\bf W}=\begin{bmatrix}0&-\omega_z&\omega_y\\\omega_z&0&-\omega_x\\-\omega_y&\omega_x&0\end{bmatrix}\text{ 여기서 }\omega=(\omega_x,\omega_y,\omega_z)=({\dot{\theta}_p}_x,{\dot{\theta}_p}_y,{\dot{\theta}_p}_z)\]

위식에서 각속도 벡터 ω는 회전축 벡터 p와 회전각 θ로 연계시킬 수 있다.(단, |p|=1)

예제) 다음 속도 구배를 변형률 텐서와 회전 텐서로 분해하라.
\[{\bf L}={\bf D}+{\bf W}=\begin{bmatrix}0.5&0.4&0.3\\0.2&-0.1&-0.2\\-0.3&0.4&-0.1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.5&0.3&0.0\\0.3&-0.1&0.1\\0.0&0.1&-0.1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0.0&0.1&0.3\\-0.1&0.0&-0.3\\-0.3&0.3&0.0\end{bmatrix}\]

속도 구배 변형률 텐서의 수직성분은 진변형률 속도와 같다.

\[D_{11}=\dot{\epsilon}_{11}=\frac{d}{dt}\ln\left(l_f\over l_o\right),\ D_{kk}=D_{11}+D_{22}+D_{33}=\dot{\epsilon}_{11}+\dot{\epsilon}_{22}+\dot{\epsilon}_{33}=\dot{\epsilon}_{\rm vol}\]

속도 구배의 극좌표 분해(Polar Decomposition)

속도 구배에 대해 극좌표 분해를 하면 변형과 회전에 기여하는 텐서항을 이해하는데 도움이 된다. 변형 구배는 회전행열 R과 신장텐서(stretch tensor) U의 곱으로 표현되므로 속도 구배는 다음과 같이 전개된다.

\[{\bf L}=\dot{\bf F}\cdot{\bf F}^{-1}=({\bf R}\cdot\dot{\bf U}+\dot{\bf R}\cdot{\bf U})({\bf U}^{-1}\cdot{\bf R}^{-1})={\bf R}\cdot(\dot{\bf U}\cdot{\bf U}^{-1})\cdot{\bf R}^T+\dot{\bf R}\cdot{\bf R}^{T},\ ({\bf R}^{-1}={\bf R}^T)\]

첫번째 항은 변형에 기여하는 부분이다. 대칭항 기여분과 순수전단 시 비대칭 기여분이 포함된다. 두번째 항은 강체회전에 기여하는 부분이다. 비대칭항에만 기여하며 각속도 벡터 ω로 해석될 수 있다.

속도 구배와 그린 변형률(Green Strain)

속도 구배와 그린 변형률의 관계에 대해 알아 본다. 그린 변형률의 정의는

\[{\bf E}={1\over2}({\bf F}^T\cdot{\bf F}-{\bf I})\]

시간 미분을 취하면

\[\begin{align}\dot{\bf E}&={1\over2}\left({\bf F}^T\cdot\dot{\bf F}+\dot{\bf F}^T\cdot{\bf F}\right)={1\over2}\left({\bf F}^T\cdot{\bf L}\cdot{\bf F}+{\bf F}^T\cdot{\bf L}^T\cdot{\bf F}\right)\\&={\bf F}^T\cdot\left({{\bf L}+{\bf L}^T\over2}\right)\cdot{\bf F}={\bf F}^T\cdot{\bf D}\cdot{\bf F}\end{align}\]

변형률 텐서 D에 관하여 정리하면 다음과 같다.

\[{\bf D}={\bf F}^{-T}\cdot\dot{\bf E}\cdot{\bf F}^{-1}\]

출처 : http://www.continuummechanics.org