기계공학 (Mechanical Engineering)

정지유체에서는 높이에 따라 압력 이 변화한다. 이러한 압력이 액체 내에 잠겨 있는 물체에 대한 표면력으로서 어떻게 작용하는지 알아본다. 물체표면에 작용하는 힘을 결정하기 위해서는 아래의 사항들을 알아야 한다. 1) 힘의 크기 2) 힘의 방향 3) 합력(合力, resultant force)의 작용선 잠겨 있는 평판에 작용하는 힘 잠겨 있는 평판에 작용하는 압력의 합력을 계산하기 위해서 아래 그림처럼 좌표계를 설정하고 평판의 평면이 xy 좌표평면에 놓이도록 한다. 유체에 잠겨진 평판 정지유체내에서는 전단응력 이 작용하지 않기 때문에 표면에 위치한 임의의 미소요소에 작용하는 힘은 그 표면에 대해서 수직하게 작용하게 된다. 윗쪽 면의 미소면적 dA에 작용하는 합력은 d F =-pd A 로 주어진다. 벡터 d A 의 양(+)의 방향을 도시된 면적의 바깥 쪽으로 수직하게 선정하였기 때문에 앞 식의 (-)부호는 힘 d F 가 면적요소의 방향에 대해 반대방향으로 작용함을 나타낸다. 표면에 작용하는 합력은 일반적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. \(\begin{align}{\bf F}_R=\int_Ad{\bf F}=\int_A-pd{\bf A}\cdot\cdot\cdot(1)\end{align}\) 식 (1)의 적분값을 계산하기 위해서는 압력 p와 면적벡터 d A 가 모두 같은 변수의 항으로 표시되어야만 한다. 밀도 가 일정한 유체의 경우 깊이 h인 곳의 압력 p는 \(p=p_o+\rho gh\) 이므로 이것을 \(h=y\sin\theta\)의 관계식과 함께 식 (1)에 대입하면 합력 \(F_R\)은 다음과 같이 적분될 수 있다. \(\begin{align}F_R&=|{\bf F}_R|=p_oA+\rho \sin\theta\int_AydA\\&=\left(p_o+\rho g\sin\theta y_c\right)A=p_cA\end{align}\) 여기서 도심(centroid) 까지의 길이 \(y_c\)는 그 정의에 의해 \(y_cA=\int_AydA\)

다음 단계들을 따라하여 엑셀로 줄기-잎 그림 을 만드는 방법을 알아본다. ① 데이터 입력 한 개의 열에 데이터 값들을 입력한다. ② 최소 및 최대값 확인 D1=MIN(A1:A10), D2=MAX(A1:A10)   ③ 최소 및 최대값을 근거로 줄기값 입력 줄기를 십의 자리로 하면 최소/최대값에 따라 1, 2, 3, ..., 7, 8을 쓰면된다. ④ 잎의 첫 행을 계산 다음과 같이 잎 열의 첫 행 D5를 계산한다. ⑤ 각 행에 대해서 계산을 반복 D5 셀을 잎의 각 행에 복사하여 줄기-잎 그림을 완성한다.

피타고라스 정리 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) \(\tan^2\theta+1=\sec^2\theta\) \(\cot^2\theta+1=\csc^2\theta\) <증명> 반경이 1 인 단위원을 그려서 파타고라스의 정리를 적용한다. 덧셈정리 \(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\) \(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\) \(\tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\) <증명> 한 각이 β 인 직각삼각형을 각도 α로 직사각형에 내접시킨다. 각 변의 길이를 삼각함수로 나타내고 직사각형의 대변의 길이는 같으므로 등식이 증명된다. (sin/cos은 직각삼각형의 빗변의 길이가 '1', tan는 직사각형 밑변의 길이 '1'을 적용한다.) 2배각의 공식 \(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\) \(\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta=\dfrac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}\) \(\tan2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\) <증명> \(\sin2\theta=\sin(\theta+\theta)=\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta=2\sin\theta\cos\theta\) \(\begin{align*}\cos2\theta&=\cos(\theta+\theta)=\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=\cos^2\theta-

 엑셀의 분석도구를 활용하면 주어진 데이터의 분산 분석(ANOVA)를 쉽게 할 수 있다. 다음과 같은 순서로 진행한다. 본 예시는 차종별 강도의 시험과 해석치의 분산 분석을 통해 상관성을 검정 검정하는 것이다. 귀무가설은 '시험과 해석 모집단의 분포가 일치한다.' 즉, 상관성이 있다는 것이다. 대립가설은 반대로 '시험과 해석은 상관성이 없다.' 곧, 시험이 맞다면 해석결과를 신뢰할 수 없는 것이다. ① 분석하고자하는 데이터를 셀에 입력한다. ② 데이터 탭>데이터 분석을 클릭한다. 메뉴가 안보이면 추가기능 설정 방법  링크를 참조하여 옵션을 추가한다. ③ 본 예시는 1인자(요인), 여기서는 강도 시험법, 2 수준(실제/전산시험)이다. 그러므로 분석 도구 팝업창이 뜨면 '분산 분석: 일원 배치법'을 선택한다. ④ 입력 범위에 해당되는 셀(⑤)을 선택한다. ⑥ 이 경우 데이터의 방향은 비교되는 두 집단의 방향이므로 '열'이다. ⑦ 첫째 행 '시험'과 '해석'은 이름표로 사용되므로 체크박스에 클릭한다. ⑧ 유의 수준 'α' 값을 입력한다. 통상 5%를 컷오프 값으로 쓴다. ⑨ 출력 옵션을 선택할 수 있다. 특정 셀에 출력하고 싶으면 해당 '출력 범위'를 선택한다. '새로운 워크시트'를 선택하면 분석 내용이 추가된 시트에 출력된다. 마찬가지로 '새로운 통합 문서'를 선택하면 추가된 문서에 출력된다. ⑩ 확인을 누르면 분산 분석 결과가 정해진 포멧으로 출력된다. P-값(0.936)이 유의수준 보다 크므로(>0.05) 귀무가설을 기각할 수 없다. 즉, 시험과 해석은 상관성이 있다고 말할 수 있다. 출력 내용의 상세 설명은 분산 분석  링크를 참조한다.

대부분의 수학/역학 서적에서 원통좌표계를 많이 다루지 않으나 실제로 원은 이상적인 형상일 경우가 많으므로 산업체에서는 유용한 개념이다. 본 글에서는 원통좌표계에서 기본적인 벡터 연산자의 유도 과정을 소개한다. 원통좌표계 위치 벡터 원통좌표계의 단위벡터는 좌표계의 함수이다. 단위벡터의 좌표계 미분 을 복습하면 다음과 같다. \(\dfrac{\partial\hat{r}}{\partial\theta}=\hat{\theta},\,\dfrac{\partial\hat{\theta}}{\partial\theta}=-\hat{r},\,\dfrac{\partial\hat{r}}{\partial r}=\dfrac{\partial\hat{r}}{\partial z}=\dfrac{\partial\hat{\theta}}{\partial r}=\dfrac{\partial\hat{\theta}}{\partial z}=\dfrac{\partial\hat{z}}{\partial r}=\dfrac{\partial\hat{z}}{\partial\theta}=\dfrac{\partial\hat{z}}{\partial z}=0\) 경로 증분 (Path increment) 원통좌표계로 표현된 경로 증분 \(d\bf p\)는 앞으로 많이 쓰일 것이다. 단위벡터의 좌표계 미분과 합성함수의 편미분법 을 적용하면 다음과 같이 유도된다. \(\begin{split}d{\bf p}&=d(r\hat{r}+z\hat{z})=\hat{r}dr+rd\hat{r}+\hat{z}dz+zd\hat{z}\\&=\hat{r}dr+r\left(\frac{\partial\hat{r}}{\partial r}dr+\frac{\partial\hat{r}}{\partial\theta}d\theta+\frac{\partial\hat{r}}{\partial z}dz\right)+\hat{z}dz+z\left(\frac{\partial\hat{z}}{\partial r}dr+\frac{\partial\hat{z}}{

관성모멘트는 아래 그림의 x와 y축과 같이 단면 자신이 속한 평면에 놓여있는 축에 대하여 계산된다. 이제 단면이 속한 평면에 수직이고 원점 O에서 교차하는 축을 생각하자. 이 축에 대한 관성모멘트를 극관성모멘트(polar moment of inertia) \(I_p\)로 부른다. 이것은 다음 적분으로 정의된다. \(\begin{align}I_p=\int\rho^2dA=\int\left(x^2+y^2\right)dA=I_x+I_y\end{align}\) 여기서 ρ는 O점으로부터 면적요소 dA까지의 거리이다. 위의 식은 그림의 평면에 수직축에 대한 점 O에서의 극관성모멘트는 동일 점을 지나는 임의의 두 수직축 x와 y에 대한 관성모멘트의 합과 같다는 것을 보여준다. 극관성모멘트의 평행축 정리(parallel-axis theorem for polar moments of inertia) 를 활용하면 여러점에 대한 극관성모멘트의 계산이 용이하다. 아래 그림을 참조하여 이 정리를 유도할 수 있다. 원심 O와 도심 C에 대한 극관성모멘트를 각각 \(I_p\)와 \(I_{pc}\)라 하면 다음 식으로 쓸 수 있다.  \(I_p=I_x+I_y\qquad I_{pc}=I_{xc}+I_{yc}\) 다음으로 평행축 정리 를 적용한다. \(I_x=I_{xc}+Ad_1^2\qquad I_y=I_{yc}+Ad_2^2\) 위의 두 식을 더하면 \(I_x+I_y=I_{xc}+I_{yc}+A(d_1^2+d_2^2)\) 이제 앞의 식으로부터 \(I_p\)와 \(I_{pc}\)를 대입하고, 또한 \(d^2=d_1^2+d_2^2\) 이므로 다음 식을 얻는다. \(I_p=I_{pc}+Ad^2\) 이 식은 극관성모멘트의 평행축 정리를 나타낸다: 평면상의 임의의 점 O에 대한 단면의 극관성모멘트는 도심 C에 대한 극관성모멘트에 면적과 점 O부터 C까지 거리제곱의 곱을 더한 것과 같다.   극관성모멘트의 결정을 기술하기 위해서 아래 그림과 같은 반경 r의 원을 생각한다. 반경 ρ이고 두께 dρ

  압력 은 반드시 기준 압력선에 대하여 표시한다. 만약 압력측정에 있어서 기준압력이 진공이라면 측정된 압력은 아래 그림에서 보는 것처럼 절대압력(absolute pressure)이 된다. 그러나 대부분의 압력계는 보통 대기압과 측정된 압력의 차이를 나타낸다. 대기압 에 대하여 측정한 압력은 계기압력(gage pressure)이라 한다. 이상기체 상태방정식의 모든 계산에서는 절대압력을 사용하며 절대압력과 계기압력 사이에는 다음 식이 성립한다. \(p_{절대압력}=p_{계기압력}+p_{대기압}\)

나사의 회전력과 토오크 (1) 4각나사 아래 그림과 같이 나사 를 돌려서 고정한다는 것은 물체를 나사면에 따라 밀어 올리는 것과 같다. 나사를 돌리는 힘을 P, 측방향으로 가해진 힘을 Q라 하면 이 힘들을 나사면에 수직한 힘 N과 평행한 힘 F로 나눌 수 있다. \(\begin{split}{\rm N=Q}\cos\alpha+{\rm P}\sin\alpha\\{\rm F=P}\cos\alpha-{\rm Q}\sin\alpha\end{split}\) 위의 수직력 N으로 말미암아 나사면에 평행한 마찰력이 작용하고 이것이 평행력 F와 균형을 유지할 때 마찰계수를 μ라고 하면 \({\rm P}\cos\alpha-{\rm Q}\sin\alpha=\mu({\rm Q}\cos\alpha+{\rm P}\sin\alpha)\) 정리하면 \({\rm P}(\cos\alpha-\mu\sin\alpha)={\rm Q}(\mu\cos\alpha+\sin\alpha)\) 마찰각을 ρ라 하면 μ=tanρ 이므로  삼각함수 항등식 에 의해 \({\rm P}={\rm Q}\dfrac{\tan\rho\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha-\tan\rho\sin\alpha}={\rm Q}\dfrac{\tan\rho+\tan\alpha}{1-\tan\rho\tan\alpha}={\rm Q}\tan(\alpha+\rho)\) 이 된다. 다음으로 나사를 죄는데 필요한 토오크  T는 유효지름  \(\rm d_2\)의 1/2를 r이라 하면 \(\rm T=Pr=Qr\tan(\alpha+\rho)\) 이다. 나사를 풀 때는 회전이 반대로 되고, Q를 밀어내리는 것이므로 마찰각이 반대가 되어 \(\begin{split}\rm P'&=\rm Q\tan(\alpha-\rho)\\\rm T'&=\rm Qr\tan(\alpha-\rho)\end{split}\) 죄는 힘을 가하지 않아도 나사가 풀어지지 않는 상태를 나사의 자립(自立, self locking)이라

진변형률(true strain) \(\epsilon\)은 물체의 인장/압축 조건에서 다음과 같이 정의한다. \(\epsilon=\ln\left(\dfrac{l_f}{l_o}\right)\) 여기서 \(l_o\)는 변형전, \(l_f\)는 변형후 길이이다. 변형률속도 와 진변형률의 관계를 다음 예제를 통하여 알아본다. 초기 0.5m의 물체가 v의 속도로 인장하여 2s 후 0.55m로 되었다면 6s 후 진변형률을 구해본다. 진변형률은 변형률속도의 시간적분으로 구할 수 있다. 먼저, 변형률속도와 시간증분의 곱은 \({\rm D}dt=\dfrac{\partial v}{\partial x}=\dfrac{\partial\dot{u}}{\partial x}dt=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{du}{dt}\right)dt=\dfrac{dl}{l}\) 진변형률은 이를 적분하면 되므로 \(\begin{split}\epsilon=\int_0^6{\rm D}dt=\int_0^6\dfrac{dl}{l}=\ln\left(\dfrac{l_f}{l_o}\right)=\ln\left({0.65\over 0.50}\right)=0.262\end{split}\) 여기서 \(l_f=0.65\)는 다음식으로 구한다. \(v=\dfrac{\Delta L}{\Delta t}=\dfrac{0.05}{2}=0.025,\ l_f=l_o\left(1+\dfrac{vt}{l_o}\right)=0.5\left(1+\dfrac{(0.025)(6)}{0.50}\right)=0.65\) 위와 같이 변형률속도의 시간적분으로 진변형률을 구할 경우 강체회전은 무시되어야 한다. 진변형률과 공학변형률(engineering strain)의 관계 진변형률 \(\epsilon\)과 공학변형률  \(\epsilon_{\rm Eng}\)의 관계는 다음과 같이 유도된다. \(\epsilon=\ln\left(\dfrac{l_f}{l_o}\right)=\ln\left(\d

전단응력은 상대운동을 하는 유체 의 층 사이에서 발생하는 단위면적당의 마찰력이다. 고체의 경우는 전단응력이 전단변형률 (shear strain)에 비례하지만, 유체 내부에서 발생되는 전단응력은 전단 변형률의 시간에 따른 변화율(rate of shear strain)에 비례한다. 그리고 이 전단변형률의 변화율은 각 방향 속도구배의 합과 같다. 위의 그림과 같이 유동장 내 모든 부분에서의 속도 u가 동일한 x방향을 향하는 유동의 경우에, y방향으로만 속도가 변화한다고 가정하면 전단변형률의 시간에 따른 변화율은 y방향의 속도구배 와 같다. 따라서 전단응력 τ는 속도구배에 비례하므로 다음과 같이 표현한다. \(\begin{align*}\tau=\mu\frac{du}{dy}\end{align*}\) 여기서 비례상수 μ는 점성계수 (viscosity) 또는 절대점성계수 (absolute viscosity)라고 한다. 절대점성계수는 힘×시간/면적의 차원을 가지며 SI단위계에서 \(\rm Pa\cdot s(\equiv N\cdot s/m^2)\)의 단위를 갖는다. 특히 다음과 같은 고유의 단위를 갖는다. \(1\,\rm poise=10^{-1}\,Pa\cdot s=1\,dyne\cdot s/cm^2\) 여기서 poise는 포이슐(Poiseuille)의 업적을 기리기 위해 붙인 것이다. 영국단위계로는 \(\rm lbf\cdot s/ft^2\)이 단위로 사용된다. 대부분의 유체는 속도구배와 무관한 점성계수를 가지며, 이와 같은 유체를 뉴우톤 유체 (Newtonian fluid)라 한다. 그러나 혈액이나 플라스틱(plastic), 타르(tar) 등과 같은 유체들은 점성계수가 속도구배의 함수가 되어 유동상태에 따라 다른 μ값을 갖는다(아래 그림). 이러한 유체들을 비뉴우톤유체 (non-Newtonian fluid)라고 한다. 레올로지(rheology)라는 학문은 비뉴우톤유체의 유동과 변형을 다룬다. 출처 en.wikipedia.org 절대점성계수와 밀도의 비는 동점성계수 (k