진변형률 (True Strain)

진변형률(true strain) $ϵ$은 물체의 인장/압축 조건에서 다음과 같이 정의한다.

$ϵ=\ln \left({\displaystyle \frac{l_f}{l_o}}\right)$

여기서 $l_o$는 변형전, $l_f$는 변형후 길이이다.

변형률속도와 진변형률의 관계를 다음 예제를 통하여 알아본다. 초기 0.5m의 물체가 v의 속도로 인장하여 2s 후 0.55m로 되었다면 6s 후 진변형률을 구해본다. 진변형률은 변형률속도의 시간적분으로 구할 수 있다. 먼저, 변형률속도와 시간증분의 곱은 $\mathrm{D}dt={\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}}={\displaystyle \frac{\partial \dot{u}}{\partial x}}dt={\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}\left({\displaystyle \frac{du}{dt}}\right)dt={\displaystyle \frac{dl}{l}}$ 진변형률은 이를 적분하면 되므로 $\begin{array}{r}ϵ={\int }_0^6\mathrm{D}dt={\int }_0^6{\displaystyle \frac{dl}{l}}=\ln \left({\displaystyle \frac{l_f}{l_o}}\right)=\ln \left(\frac{0.65}{0.50}\right)=0.262\end{array}$ 여기서 $l_f=0.65$는 다음식으로 구한다. $v={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }L}{\mathrm{\Delta }t}}={\displaystyle \frac{0.05}{2}}=0.025,l_f=l_o(1+{\displaystyle \frac{vt}{l_o}})=0.5(1+{\displaystyle \frac{(0.025)(6)}{0.50}})=0.65$ 위와 같이 변형률속도의 시간적분으로 진변형률을 구할 경우 강체회전은 무시되어야 한다.

진변형률과 공학변형률(engineering strain)의 관계

진변형률 $ϵ$과 공학변형률 ${ϵ}_{\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{g}}$의 관계는 다음과 같이 유도된다.

$ϵ=\ln \left({\displaystyle \frac{l_f}{l_o}}\right)=\ln \left({\displaystyle \frac{l_o+\mathrm{\Delta }l}{l_o}}\right)=\ln (1+{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }l}{l_o}})=\ln (1+{ϵ}_{\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{g}})$

진변형률과 비압축성 재료(incompressible material)

비압축성 재료에서 체적 불변이므로 진변형률은 다음과 같은 조건을 가진다.

초기와 최종 체적의 비는

${\displaystyle \frac{{\mathrm{V}}_f}{{\mathrm{V}}_o}}=\left({\displaystyle \frac{{\mathrm{W}}_f}{{\mathrm{W}}_o}}\right)\left({\displaystyle \frac{{\mathrm{D}}_f}{{\mathrm{D}}_o}}\right)\left({\displaystyle \frac{{\mathrm{H}}_f}{{\mathrm{H}}_o}}\right)=1$

양변에 로그를 취하면 진변형률의 대각합(trace)은

$\ln \left({\displaystyle \frac{{\mathrm{W}}_f}{{\mathrm{W}}_o}}\right)\ln \left({\displaystyle \frac{{\mathrm{D}}_f}{{\mathrm{D}}_o}}\right)\ln \left({\displaystyle \frac{{\mathrm{H}}_f}{{\mathrm{H}}_o}}\right)={ϵ}_1+{ϵ}_2+{ϵ}_3=\mathrm{t}\mathrm{r}(ϵ)$

변형률속도 대각합도 또한

$\mathrm{t}\mathrm{r}(\dot{ϵ})={\dot{ϵ}}_1+{\dot{ϵ}}_2+{\dot{ϵ}}_3=\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathrm{D})={\mathrm{D}}_{11}+{\mathrm{D}}_{22}+{\mathrm{D}}_{33}=0$

진변형률과 회전

강체 회전이 있을 때는 진변형률을 구하기 위한 변형률 속도의 시간 적분에 회전 변환을 고려한다.

$\begin{array}{r}ϵ=\int {\mathbf{R}}^T\mathbf{D}\mathbf{R}dt\end{array}$

다음 예제는 초기 정사각형이 인장과 동시에 회전을 하는 경우이며 90˚, 0.2s 시점까지 변형한다. 2-D이므로 회전 행열 R은

$\mathbf{R}=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right],{\mathbf{R}}^T=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$

t=0 에서 x방향 인장과 동시에 y 방향은 포아송 효과(Poisson's effect)로 수축한다. 따라서 변형률속도 텐서를 아래와 같이 가정하면 $\mathrm{\Delta }t=0.1$ 동안 진변형률 증분은

$\mathbf{D}=\left[\begin{array}{cc}3.0& 0.0\\ 0.0& -2.0\end{array}\right],\mathbf{R}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],\mathrm{\Delta }ϵ={\mathbf{R}}^T\mathbf{D}\mathbf{R}(\mathrm{\Delta }t)=\left[\begin{array}{cc}0.3& 0.0\\ 0.0& -0.2\end{array}\right]$

이후 45˚ 회전 시 순수전단 상태가 되므로 변형률속도 텐서를 아래와 같이 가정하면 진변형률 증분은

$\mathbf{D}=\left[\begin{array}{cc}0.0& 1.5\\ 1.5& 0.0\end{array}\right],\mathbf{R}=\left[\begin{array}{cc}0.7071& -0.7071\\ 0.7071& 0.7071\end{array}\right],\mathrm{\Delta }ϵ={\mathbf{R}}^T\mathbf{D}\mathbf{R}(\mathrm{\Delta }t)=\left[\begin{array}{cc}0.15& 0.0\\ 0.0& -0.15\end{array}\right]$

마지막 90˚ 회전 시점에서는 y방향 인장, x방향 수축이므로 가정된 변형률속도 텐서의 진변형률 증분은

$\mathbf{D}=\left[\begin{array}{cc}-1.0& 0.0\\ 0.0& 1.5\end{array}\right],\mathbf{R}=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right],\mathrm{\Delta }ϵ={\mathbf{R}}^T\mathbf{D}\mathbf{R}(\mathrm{\Delta }t)=\left[\begin{array}{cc}0.15& 0.0\\ 0.0& -0.10\end{array}\right]$

최종적으로 전체 진변형률은 각 증분을 더하여 계산된다.

$\begin{array}{r}ϵ=\int {\mathbf{R}}^T\mathbf{D}\mathbf{R}dt=\sum \mathrm{\Delta }ϵ=\left[\begin{array}{cc}0.60& 0.00\\ 0.00& -0.45\end{array}\right]\end{array}$ 

[예제] 평면변형률이 다음과 같이 정의될 때 (x, y) 점의 각 방향별 변위와 전단변형률 ${\gamma }_{xy}$를 구하여라. 단, 강체 회전은 일어나지 않는다. $\begin{array}{rl}{ϵ}_x& =-3x^2+7y^2\\ {ϵ}_y& =x^2-5y^2\end{array}$ <풀이> x, y 방향 변위를 각각 u, v라 하면 각 방향별 변형률을 원점에서 해당 지점까지 적분하여 구한다. $\begin{array}{rl}u& ={\int }_0^x{ϵ}_{x}dx={\int }_0^x(-3x^2+7y^2)dx=-x^3+7x{y}^2\\ v& ={\int }_0^y{ϵ}_{y}dy={\int }_0^y(x^2-5y^2)dy=x^{2}y-\frac{5}{3}{y}^3\end{array}$ 전단변형률은 정의에 따라 위의 변위식을 미분하여 구한다. ${\gamma }_{xy}=2{ϵ}_{xy}={\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}}+{\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}}=2xy+14xy=16xy$

출처 : www.continuummechanics.org