회전 행열(Rotation Matrices)

개 요 (Introduction)

회전 행열 R은 3-D 공간에서 물체의 회전을 표현한다. 이것은 변형구배(deformation gradients)와 극좌표분해(polar decomposition)에서 소개된 바 있다.

회전 행열은 좌표변환 행열 Q와는 다르지만 밀접하게 관련이 있다.

변환 행열은 물체를 고정한 채 좌표계의 변환만을 나타낸다. 반면에 회전 행열은 고정된 좌표계에서 물체의 회전을 표현한다. 종종 혼란스럽기도 하지만, 놀라운 사실은 각 행열은 다른 행열에 대해서 전치(tranpose) 행열이라는 것이다.

요 약 (Summary)

회전 행열 R은 좌표계는 고정하고 벡터와 텐서를 회전시키는데 쓰인다. 물체가 회전될 때 통상 이 물체와 관련된 벡터와 텐서도 같이 회전하게 된다.

회전 행열을 적용하는 일반적인 규칙은 좌표변환 행열(coordinate transformation matrix)과 동일하다.

벡터(Vectors)                               ${\mathbf{v}}^{\prime }=\mathbf{R}\cdot \mathbf{v}$
2등급 텐서(2nd Rank Tensors) ${\mathit{\sigma }}^{\prime }=\mathbf{R}\cdot \mathit{\sigma }\cdot {\mathbf{R}}^T$

2등급 텐서(4th Rank Tensors) ${\mathbf{C}}^{\prime }=\mathbf{R}\cdot \mathbf{R}\cdot \mathbf{C}\cdot {\mathbf{R}}^T\cdot {\mathbf{R}}^T$

그리고 텐서 표기법(tensor notation)으로는

벡터            $v_i^{\prime }=R_{ij}{v}_j$
2등급 텐서 ${\sigma }_{mn}^{\prime }=R_{mi}{R}_{nj}{\sigma }_{ij}$

4등급 텐서 $C_{mnop}^{\prime }=R_{mi}{R}_{nj}{R}_{ok}{R}_{pl}{C}_{ijkl}$

2차원에서 R은

$\mathbf{R}=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$

여기서 θ는 회전각도이다. R은 단지 Q의 전치, 즉, $\mathbf{R}={\mathbf{Q}}^T$ 이고 $\mathbf{Q}={\mathbf{R}}^T$ 이다.

회전 행열의 성질 (Rotation Matrix Properties) 회전 행열은 아래 2-D 벡터의 예에서 볼 수 있듯이 몇가지 특이한 성질을 가지고 있으며, 3-D에도 동일하게 적용된다. 이것들은 문제가 생겼을 경우 회전 행열의 정확성을 확인하는데 유용하다. 어느 회전 행열이 아래의 모든 항목을 통과하더라도 틀린 것일 수 있지만, 하나라도 불만족한다면 이것은 명백히 잘못된 것이다! ● R의 행열식(determinant)은 1이다. ● R의 역행열(inverse)은 그것의 전치(transpose)행열이다. ● 임의의 행 또는 열과 그 자신과의 내적(dot product)은 1이다. 예 : $(\cos \theta \mathbf{i}+\sin \theta \mathbf{j})\cdot (\cos \theta \mathbf{i}+\sin \theta \mathbf{j})=1$ ● 임의의 행과 다른 행과의 내적은 0이다. 예 : $(\cos \theta \mathbf{i}+\sin \theta \mathbf{j})\cdot (-\sin \theta \mathbf{i}+\cos \theta \mathbf{j})=0$ ● 임의의 열과 다른 열과의 내적은 0이다. 예 : $(\cos \theta \mathbf{i}-\sin \theta \mathbf{j})\cdot (\sin \theta \mathbf{i}+\cos \theta \mathbf{j})=0$

회전 행열의 곱셈 (Multiplication of Rotation Matrices) 위로부터 임의의 두개의 다른 행 또는 열 간의 내적은 0이고, 반면에 그 자신과의 내적은 1이다. 이것은 행열 및 텐서 표기법으로 아래와 같이 쓸 수 있다. $\mathbf{R}\cdot {\mathbf{R}}^T=\mathbf{I}\text{그리고}{R}_{ik}{R}_{jk}={\delta }_{ij}$ 이것은 또한 회전 행열의 전치 행열은 그것의 역행열임을 보여준다.

벡터의 회전 (Rotating of the Vector) 앞의 그림의 물체 상의 벡터가 $\mathbf{v}=2\mathbf{i}+9\mathbf{j}$ 이고 반시계 방향 50˚로 좌표계를 회전시키면 $\left\{\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{cc}\cos {50}^{\circ }& \sin {50}^{\circ }\\ -\sin {50}^{\circ }& \cos 50\circ \end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}2\\ 9\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}8.18\\ 4.25\end{array}\right\}$ 따라서 좌표변환된 벡터는 $\mathbf{v}=8.18{\mathbf{i}}^{\prime }+4.25{\mathbf{j}}^{\prime }$ 이다. 반대로, 물체 자신을 반시계 반향 50˚로 좌표계를 회전시키면 $\left\{\begin{array}{c}{v}_x^{\prime }\\ v_y^{\prime }\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{cc}\cos {50}^{\circ }& -\sin {50}^{\circ }\\ \sin {50}^{\circ }& \cos {50}^{\circ }\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}2\\ 9\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}-5.61\\ 7.32\end{array}\right\}$ 따라서 회전된 벡터는 ${\mathbf{v}}^{\prime }=-5.61\mathbf{i}+7.32\mathbf{j}$ 이다. v'의 아포스트로피(')는 초기 v 벡터와 다름(이 경우는 회전된)을 의미하나, i와 j는 좌표계가 동일하므로 그대로이다.

회전과 좌표변환 비교 (Comparing Rotations to Transformation) 앞의 예제에서는 벡터를 반시계 방향으로 50˚ 회전시켰다. 이번에는 대신에 좌표계를 시계방향으로 회전시키면, θ는 -50˚가 된다. $\left\{\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{cc}\cos (-{50}^{\circ })& \sin (-{50}^{\circ })\\ -\sin (-{50}^{\circ })& \cos (-{50}^{\circ })\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}2\\ 9\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}-5.61\\ 7.32\end{array}\right\}$ 따라서, 벡터는 회전된 좌표계에서 다음과 같이 쓸 수 있다. $\mathbf{v}=-5.61{\mathbf{i}}^{\prime }+7.32{\mathbf{j}}^{\prime }$ 여기서 중요한 점은 앞의 예제에서 회전된 벡터와 이번 예제에서 반대로 회전된 좌표계에서의 벡터 성분값들은 동일하다는 것이다.

3-D에서의 R의 일반적 정의는 다음과 같다.

$\mathbf{R}=\left[\begin{array}{ccc}\cos (x^{\prime },x)& \cos (y^{\prime },x)& \cos (z^{\prime },x)\\ \cos (x^{\prime },y)& \cos (y^{\prime },y)& \cos (z^{\prime },y)\\ \cos (x^{\prime },z)& \cos (y^{\prime },z)& \cos (z^{\prime },z)\end{array}\right]$

여기서 (x', x)는 x'과 x축 간의 각도를, (x', y)는 x'과 y축 간의 각도 등을 나타낸다. 이것은 실제로 Q의 전치 행열이다.

3-D를 2-D로 축소 (3-D Reduction to 2-D) z-축을 기준으로 회전한다는 것은 z'과 z의 각도가 0˚를 유지하므로, cos(z', z)=1 이다. 반면에 cos(x', z)=cos(y', z)=cos(z', x)=cos(z', y)=0 이며, 이유는 이 축들이 이루는 각도는 모두 90˚이기 때문이다. y'과 x 사이 각도는 90˚+θ 이므로, cos(y', x)=cos(90˚+θ)=-sinθ. 같은 방법으로 x'과 y 사이의 각도는 90˚-θ 이므로, cos(x', y)=cos(90˚-θ)=sinθ. 위의 모두를 종합하면 $\mathbf{R}=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ 이것은 3-D 행열 내에서 2-D 회전 행열을 나타낸다.

회전 행열을 해석하고 생성하는 또 다른 방법은 다음과 같다.

$\mathbf{R}=\left[\begin{array}{ccc}({\mathbf{i}}^{\prime }\text{의 x성분})& ({\mathbf{j}}^{\prime }\text{의 x성분})& ({\mathbf{k}}^{\prime }\text{의 x성분})\\ ({\mathbf{i}}^{\prime }\text{의 y성분})& ({\mathbf{j}}^{\prime }\text{의 y성분})& ({\mathbf{k}}^{\prime }\text{의 y성분})\\ ({\mathbf{i}}^{\prime }\text{의 z성분})& ({\mathbf{j}}^{\prime }\text{의 z성분})& ({\mathbf{k}}^{\prime }\text{의 z성분})\end{array}\right]$

여기서 "i'의 x성분"은 단위벡터 i'의 x성분이라는 의미이다. 다시 말하면, 단위벡터 i'의 기준 x, y, z 좌표계에 대한 첫번째 성분이다.

연속 회전 - 로우 (Successive Rotations - Roe Convention)

3-D 회전 행열은 좌표축을 중심으로 일련의 3개의 연속적인 회전으로 볼 수 있다. 임의의 회전순서로 임의의 회전축이 선정될 수 있으므로 수많은 방법이 있을 수 있다. 인기있는 선정 방법으로 소위 로우 규약(Roe convention)이 있다.

아래 그림에서 보여진 것과 같이, (1) z축을 중심으로 각도 Ψ 만큼 회전, 다음 (2) 새로운 y축(첫번째 z축 중심으로 회전된)을 중심으로 각도 Θ 만큼 회전, 마지막으로 (3) 기울어진 z축을 중심으로 다시 한번 Φ 만큼 회전한다.

로우 규약은 많이 쓰이긴 하나 한가지 불명확한 점이 있다. 그것은 Θ=0 이먄, Ψ와 Φ의 구분이 되지 않으며, 그 둘의 합만을 포함할 수 있다.

Ψ, Θ, Φ 순서대로 회전하면 회전 행열들은 아래와 같다.

$\begin{array}{rl}\mathbf{R}& =\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\Psi }& -\sin \mathrm{\Psi }& 0\\ \sin \mathrm{\Psi }& \cos \mathrm{\Psi }& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\Theta }& 0& \sin \mathrm{\Theta }\\ 0& 1& 0\\ -\sin \mathrm{\Theta }& 0& \cos \mathrm{\Theta }\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\Phi }& -\sin \mathrm{\Phi }& 0\\ \sin \mathrm{\Phi }& \cos \mathrm{\Phi }& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\Psi }\cos \mathrm{\Theta }\cos \mathrm{\Phi }-\sin \mathrm{\Psi }\sin \mathrm{\Phi }& -\cos \mathrm{\Psi }\cos \mathrm{\Theta }\sin \mathrm{\Phi }-\sin \mathrm{\Psi }\cos \mathrm{\Phi }& \cos \mathrm{\Psi }\sin \mathrm{\Theta }\\ \sin \mathrm{\Psi }\cos \mathrm{\Theta }\cos \mathrm{\Phi }+\cos \mathrm{\Psi }\sin \mathrm{\Phi }& -\sin \mathrm{\Psi }\cos \mathrm{\Theta }\sin \mathrm{\Phi }+\cos \mathrm{\Psi }\cos \mathrm{\Phi }& \sin \mathrm{\Psi }\sin \mathrm{\Theta }\\ -\sin \theta \cos \mathrm{\Phi }& \sin \mathrm{\Theta }\sin \mathrm{\Phi }& \cos \mathrm{\Theta }\end{array}\right]\end{array}$

로우 각도 예제 (Roe Angle Examples) 위의 그림에서, Ψ=60˚, Θ=30˚, Φ=45˚ 이라고 한다. 이들 로우 각도들은 다음과 같은 회전 행열은 준다. $\begin{array}{rl}\mathbf{R}& =\left[\begin{array}{ccc}\cos {60}^{\circ }\cos {30}^{\circ }\cos {45}^{\circ }-\sin {60}^{\circ }\sin {45}^{\circ }& -\cos {60}^{\circ }\cos {30}^{\circ }\sin {45}^{\circ }-\sin {60}^{\circ }\cos {45}^{\circ }& \cos {60}^{\circ }\sin {30}^{\circ }\\ \sin {60}^{\circ }\cos {30}^{\circ }\cos {45}^{\circ }+\cos {60}^{\circ }\sin {45}^{\circ }& -\sin {60}^{\circ }\cos {30}^{\circ }\sin {45}^{\circ }+\cos {60}^{\circ }\cos {45}^{\circ }& \sin {60}^{\circ }\sin {30}^{\circ }\\ -\sin {30}^{\circ }\cos {45}^{\circ }& \sin {30}^{\circ }\sin {45}^{\circ }& \cos {30}^{\circ }\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}-0.3062& -0.9186& 0.2500\\ 0.8839& -0.1768& 0.4330\\ -0.3536& 0.3536& 0.8660\end{array}\right]\end{array}$

반대로 하기 - 회전 행열로부터 회전각도 결정 (Going In Reverse - Determining Roe Angles from a Rotation Matrix)

아래와 같은 값들은 갖는 회전 행열이 있을 때 이 행열에 해당하는 로우 각도들을 계산해 보자.

$\mathbf{R}=\left[\begin{array}{ccc}{R}_{11}& R_{12}& R_{13}\\ R_{21}& R_{22}& R_{23}\\ R_{31}& R_{32}& R_{33}\end{array}\right]$

첫째로 가장 쉬운 단계는 $R_{33}$ 성분을 살펴 보는 것이다. 이것은 단순히 Θ의 코사인 값, 즉 $\mathrm{\Theta }={\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}(R_{33})$ 이다.

두번째 단계는 다음과 같이 Ψ를 결정한다.

$$\frac{R_{23}}{R_{13}}=\frac{\sin \mathrm{\Psi }\sin \mathrm{\Theta }}{\cos \mathrm{\Psi }\sin \mathrm{\Theta }}=\frac{\sin \mathrm{\Psi }}{\cos \mathrm{\Psi }}=\tan \mathrm{\Psi }$$

따라서

$$\mathrm{\Psi }={\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}\left(\frac{R_{23}}{R_{13}}\right)$$

같은 방법으로

$$\mathrm{\Phi }={\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}\left(\frac{R_{32}}{-R_{31}}\right)$$

단, 위의 식들은 Θ가 매우 작지 않아야 한다. Θ가 미소한 경우, sinΘ도 매우 작게되어, $R_{31},R_{32},R_{13},$ 및 $R_{23}$도 sinΘ를 포함하므로 작아지게 된다. 이것은 이러한 계산에 있어서 주요한 반올림 오차(round-off errors)를 유발할 수가 있다.

다행히, 이러한 경우(Θ→0) Ψ와 Φ가 서로 구별될 수 없음을 기억하면 된다. 이 때는 Φ를 0으로 정하고, $\mathrm{\Psi }={\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{-1}\left(R_{21}\right)$로 계산한다.

예제 : 행열로부터 로우 각도 구하기 (Example : Roe Angles from Matrix) 앞의 예제의 행열로 시작해서 반대로 풀어본다. $\mathbf{R}=\left[\begin{array}{ccc}-0.3062& -0.9186& 0.2500\\ 0.8839& -0.1768& 0.4330\\ -0.3536& 0.3536& 0.8660\end{array}\right]$ 먼저 $R_{33}$ 항으로부터 Θ를 결정한다. $\mathrm{\Theta }={\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}\left(R_{33}\right)={\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}(0.8660)={30}^{\circ }$ Θ가 0에 가깝지 않으므로, Ψ와 Φ를 다음과 같이 계산한다. $$\begin{array}{rl}\mathrm{\Psi }& ={\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}\left(\frac{R_{23}}{R_{13}}\right)={\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}\left(\frac{0.4330}{0.2500}\right)={60}^{\circ }\\ \mathrm{\Phi }& ={\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}\left(\frac{R_{32}}{-R_{31}}\right)={\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}\left(\frac{0.3536}{0.3536}\right)={45}^{\circ }\end{array}$$ 예상과 같이 원래 값들이 구하여 졌다: Ψ=60˚, Θ=30˚, 및 Φ=45˚

축 중심 회전 (Rotation About An Axis)

회전 행열은 정의하는 또 다른 방법은 회전 축 벡터 p와 이 p축을 중심으로 회전각 α를 정하는 것이다.

 이 경우 회전 행열은 아래와 같이 쓰여진다.

$\mathbf{R}=\mathbf{I}\cos \alpha +\mathbf{p}\otimes \mathbf{p}(1-\cos \alpha )-\mathbf{P}\sin \alpha$

여기서

$\mathbf{P}=\left[\begin{array}{ccc}0& p_3& -p_2\\ -p_3& 0& p_1\\ p_2& -p_1& 0\end{array}\right]$

행열을 전개하면

$\mathbf{P}=\left[\begin{array}{ccc}\cos \alpha +p_1^2(1-\cos \alpha )& p_1{p}_2(1-\cos \alpha )-p_3\sin \alpha & p_1{p}_3(1-\cos \alpha )+p_2\sin \alpha \\ p_2{p}_1(1-\cos \alpha )+p_3\sin \alpha & \cos \alpha +p_2^2(1-\cos \alpha )& p_2{p}_3(1-\cos \alpha )-p_1\sin \alpha \\ p_3{p}_1(1-\cos \alpha )-p_2\sin \alpha & p_3{p}_2(1-\cos \alpha )+p_1\sin \alpha & \cos \alpha +p_3^2(1-\cos \alpha )\end{array}\right]$

늘 그렇듯이, 텐서 표기법으로 꽤 간결하게 쓸 수 있다.

$R_{ij}={\delta }_{ij}\cos \alpha +(1-\cos \alpha )p_i{p}_j-{ϵ}_{ijk}{p}_k\sin \alpha$

Q의 텐서방정식과 유사성이 있음에 주목한다. 차이점은 단지 sinα 앞에 + 혹은 -일 뿐이다.

$Q_{ij}={\delta }_{ij}\cos \alpha +(1-\cos \alpha )p_i{p}_j+{ϵ}_{ijk}{p}_k\sin \alpha$

p가 단위벡터임을 아는 것이 매우 중요하다. 다른 길이의 벡터를 쓰면 잘못된 결과를 얻게 된다. 또한, 일반적으로 회전 각도로 α 대신 θ나 Φ를 사용한다. 하지만 여기서는 로우 규약 각도인 Ψ, Θ 및 Φ 와의 혼란을 피하기 위하여 α를 사용하였다.

이 방법을 쓰면 물체의 회전을 가시화하기 용이하다. 예를 들면, 2-D의 경우 회전은 z-축을 중심으로 일어나므로, p=(0, 0, 1) 이다. 이것으로 다음 회전 행열이 유도된다. $\mathbf{R}=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

로우 각도와 마찬가지로, 회전 행열 R로부터 p와 α를 구하는게 가능하다. 첫번째 단계는 α를 결정한다. 이것은 행열의 대각합을 취하여 계산된다.

$$\alpha ={\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}\left[\frac{1}{2}\{\text{tr}(\mathbf{R})-1\}\right]$$ 

α가 결정되면, p의 성분들은 다음식으로 계산한다.

$$p_1=\frac{R_{32}-R_{23}}{2\sin \alpha }{p}_2=\frac{R_{13}-R_{31}}{2\sin \alpha }{p}_3=\frac{R_{21}-R_{12}}{2\sin \alpha }$$

이들 3개 방정식은 텐서 표기법으로 아래와 같이 간단히 요약된다.

$$p_i=\frac{-{ϵ}_{ijk}{R}_{jk}}{2\sin \alpha }$$

α=0 일 때는 p가 정의되지 않음에 유의한다. 이것은 "먼저 회전하지 않으면 회전축은 의미를 갖지 못한다"를 뜻한다.

P와 α 원래값 구하기 (Backing out P and α) 앞의 로우 각도: Ψ=60˚, Θ=30˚, 및 Φ=45˚에 해당하는 단일회전 p와 α를 결정하라. <풀이> 주어진 로우 각도에 해당하는 회전 행열은 $\mathbf{R}=\left[\begin{array}{ccc}-0.3062& -0.9186& 0.2500\\ 0.8839& -0.1768& 0.4330\\ 0.3536& 0.3536& 0.8660\end{array}\right]$ α에 대해서 풀면 $$\alpha ={\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}\{\frac{1}{2}(-0.3062-0.1768+0.8660)-1\}={108}^{\circ }$$ p에 대해서 풀면 $$\begin{array}{rl}{p}_1& =\frac{0.3536-0.4330}{2\sin {108}^{\circ }}=-0.0417\\ p_2& =\frac{0.2500+0.3536}{2\sin {108}^{\circ }}=0.3173\\ p_3& =\frac{0.8839+0.9186}{2\sin {108}^{\circ }}=0.9475\end{array}$$ 따라서 해당 로우 각도는 주어진 축 p= (-0.0417, 0.3173, 0.9475)을 중심으로 108˚ 단일회전과 동일하다.

역행열과 전치행열 (Inverses and Transposes)

모즌 회전 행열은 다소 주목할 만한 성질을 갖는다 - 그것의 전치행열은 역행열이 된다.

${\mathbf{R}}^T={\mathbf{R}}^{-1}{\mathbf{R}}^T\cdot \mathbf{R}=\mathbf{I}$

내적 예제 (Dot Product Example) 앞의 행열 R을 자신의 전치행열과 곱하면 단위행열을 얻는다. 따라서 자신의 전치행열은 역행열이 되어야만 한다. $\begin{array}{rl}{\mathbf{R}}^T\cdot \mathbf{R}& =\left[\begin{array}{ccc}-0.3062& 0.8839& -0.3536\\ -0.9186& -0.1768& 0.3536\\ 0.2500& 0.4330& 0.8660\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-0.3062& -0.9186& 0.2500\\ 0.8839& -0.1768& 0.4330\\ 0.3536& 0.3536& 0.8660\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\mathbf{I}\end{array}$

출처 http://www.continuummechanics.org