헬름홀츠 자유에너지 (Helmholtz Free Energy)

헬름홀츠 자유에너지(Helmholtz Free Energy)

헬름홀츠 자유에너지(Ψ)는 내부 에너지(u) 및 엔트로피(s)와 온도(T)의 곱, 두 상태변수의 조합이다.

$$\mathrm{\Psi }=u-Ts$$

헬름홀츠 자유에너지의 시간 증분(time increment)은 적(積)의 미분법에 의해

$$\dot{\mathrm{\Psi }}=\dot{u}-\dot{T}s-T\dot{s}$$

양변에 밀도 ρ를 곱하면

$$\rho \dot{\mathrm{\Psi }}=\rho \dot{u}-\rho \dot{T}s-\rho T\dot{s}$$

한편 열역학 제2법칙을 내부에너지, 응력(σ) 및 변형률 속도 텐서(strain rate tensor)(D)로 나타내면

$$\rho T\dot{s}\ge \rho \dot{u}-\mathit{\sigma }:\mathbf{D}$$

위의 두식을 결합하면 다음식을 얻는다.

$$\mathit{\sigma }:\mathbf{D}\ge \rho \dot{u}-\rho T\dot{s}=\rho \dot{\mathrm{\Psi }}+\rho s\dot{T}$$

이제 변형률 속도 텐서는 탄성(elastic)과 비탄성(inelastic)으로 나눌 수 있다.

$$\mathbf{D}={\mathbf{D}}_{\mathrm{e}\mathrm{l}}+{\mathbf{D}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}$$

탄성 부분만 응력을 발생시킨다. 비탄성 부분은 그렇제 못하다. 이는 비가역적인 영구 변형을 나타낸다. 금속에서는 소성 변형이 해당된다. 토양에서도 나타나며 거의 모든 재료에서 어느 정도 발생한다. 위의 식으로부터

$$\mathit{\sigma }:{\mathbf{D}}_{\mathrm{e}\mathrm{l}}+\mathit{\sigma }:{\mathbf{D}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}\ge \rho \dot{\mathrm{\Psi }}+\rho s\dot{T}$$

다음 단계로 헬름홀츠 자유에너지의 구성 모델(constitutive model)을 제안한다. 요컨데, Ψ는 내부에너지(internal energy)를 포함하므로, 변형률 에너지(strain energy)가 포함되어야 하며, 따라서 그린변형률 텐서(Green strain tensor) E의 탄성부분이 선정될 수 있다. 또한 내부에너지는 열에너지를 포함하므로, 이 또한 온도 T에 의존한다. 마지막으로 나머지 속성을 고려한 남은 변수 집합 $\mathit{\xi }=({\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n)$를 도입한다. 이들을 내부 상태 변수(ISV, internal state variables)라 불리우며, 금속의 전위 밀도, 고무의 가교(cross-link) 등이 될 수 있다.

$$\mathrm{\Psi }=\mathrm{\Psi }({\mathbf{E}}_{\mathrm{e}\mathrm{l}},T,\mathit{\xi })$$

이 식에 합성함수의 편미분을 적용하여 시간 증분으로 나타내면

$$\dot{\mathrm{\Psi }}=\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial {\mathbf{E}}_{\mathrm{e}\mathrm{l}}}:{\dot{\mathbf{E}}}_{\mathrm{e}\mathrm{l}}+\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial T}\dot{T}+\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial \mathit{\xi }}\cdot \dot{\mathit{\xi }}$$

이 식을 앞의 식에 대입하면 다음식을 얻는다.

$$\mathit{\sigma }:{\mathbf{D}}_{\mathrm{e}\mathrm{l}}+\mathit{\sigma }:{\mathbf{D}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}\ge \rho \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial {\mathbf{E}}_{\mathrm{e}\mathrm{l}}}:{\dot{\mathbf{E}}}_{\mathrm{e}\mathrm{l}}+\rho \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial T}\dot{T}+\rho \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial \mathit{\xi }}\cdot \dot{\mathit{\xi }}+\rho s\dot{T}$$

그린변형률 텐서 증분은 $d\mathbf{E}/dt={\mathbf{F}}^T\cdot \mathbf{D}\cdot \mathbf{F}$임을 상기하자. (여기서 F는 변형구배(deformation gradient) 텐서이다.) 이 식을 대입하면

$$\mathit{\sigma }:{\mathbf{D}}_{\mathrm{e}\mathrm{l}}+\mathit{\sigma }:{\mathbf{D}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}\ge \rho \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial {\mathbf{E}}_{\mathrm{e}\mathrm{l}}}:({\mathbf{F}}_{\mathrm{e}\mathrm{l}}^T\cdot {\mathbf{D}}_{\mathrm{e}\mathrm{l}}\cdot {\mathbf{F}}_{\mathrm{e}\mathrm{l}})+\rho \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial T}\dot{T}+\rho \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial \mathit{\xi }}\cdot \dot{\mathit{\xi }}+\rho s\dot{T}$$

그리고 공통항을 정리하면

$$(\mathit{\sigma }-\rho {\mathbf{F}}_{\mathrm{e}\mathrm{l}}\cdot \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial {\mathbf{E}}_{\mathrm{e}\mathrm{l}}}\cdot {\mathbf{F}}_{\mathrm{e}\mathrm{l}}^T):{\mathbf{D}}_{\mathrm{e}\mathrm{l}}+\mathit{\sigma }:{\mathbf{D}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}\ge \rho (s+\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial T})\dot{T}+\rho \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial \mathit{\xi }}\cdot \dot{\mathit{\xi }}$$

어떠한 재질에도 ${\mathbf{D}}_{\mathrm{e}\mathrm{l}}$을 부여할 수 있으므로 위의 식이 항상 성립하기 위해서는 해당 항은 영이어야 한다. 이를 위하여 다음식이 성립한다.

$$\mathit{\sigma }=\rho {\mathbf{F}}_{\mathrm{e}\mathrm{l}}\cdot \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial {\mathbf{E}}_{\mathrm{e}\mathrm{l}}}\cdot {\mathbf{F}}_{\mathrm{e}\mathrm{l}}^T$$

코시응력 σ를 2차 피올라 키르코프 응력 S로 나타내면

$$\mathit{\sigma }=\frac{1}{J}\mathbf{F}\cdot \mathbf{S}\cdot {\mathbf{F}}^T$$

따라서 명백히 다음식이 성립한다. (여기서 자코비언(Jacobian) $J=V/V_o={\rho }_o/\rho$)

$$\mathbf{S}={\rho }_o\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial {\mathbf{E}}_{\mathrm{e}\mathrm{l}}}$$

결과적으로 2차 피올라 키르코프(2nd Piola-Kirchhoff) 응력은 헬름홀츠 자유에너지의 탄성변형 그린변형률 텐서에 대한 편미분이다.

동일한 방법으로

$s=-{\displaystyle \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial T}}$ 이므로 $\mathit{\sigma }:{\mathbf{D}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}\ge \rho \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial \mathit{\xi }}\cdot \dot{\mathit{\xi }}$ 

선형 탄성(Linear Elasticity)

앞에서 유도한 2차 피올차 키르코프 응력에 대한 식은 초탄성(hyperelastic)의 가장 일반적인 식으로서, 이 식으로부터 헬름홀츠 자유에너지를 신장률(stretch ratio)의 함수로 제안하여 고무 거동의 Mooney-Rivilin 모델이 전개된다. 일단 선형 모델을 유도하기 위해 편미분항을 선형 급수전개하면

$$\mathrm{S}={\rho }_o\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial {\mathbf{E}}_{el}}={\rho }_o\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial {\mathbf{E}}_{\mathrm{e}\mathrm{l}}^2}:{\mathbf{E}}_{\mathrm{e}\mathrm{l}}=\mathbf{C}:{\mathbf{E}}_{\mathrm{e}\mathrm{l}}$$

여기서 C는 4차 선형 강성텐서(4th rank elastic tensor)이다.

$$\mathbf{C}={\rho }_o\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial {\mathbf{E}}_{\mathrm{e}\mathrm{l}}^2}$$

실용적인 측면에서 4차 텐서는 2-D로 표기할 수 없다. 하지만, 포이트 표기법(Voigt notation)을 사용하면 나타낼 수 있다. 이것은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\left\{\begin{array}{c}{\sigma }_{11}\\ {\sigma }_{22}\\ {\sigma }_{33}\\ {\tau }_{12}\\ {\tau }_{23}\\ {\tau }_{31}\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{cccccc}{C}_{11}& C_{12}& C_{13}& C_{14}& C_{15}& C_{16}\\ C_{12}& C_{22}& C_{23}& C_{24}& C_{25}& C_{26}\\ C_{13}& C_{23}& C_{33}& C_{34}& C_{35}& C_{36}\\ C_{14}& C_{24}& C_{34}& C_{44}& C_{45}& C_{46}\\ C_{15}& C_{25}& C_{35}& C_{45}& C_{55}& C_{56}\\ C_{16}& C_{26}& C_{36}& C_{46}& C_{56}& C_{66}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{ϵ}_{11}\\ {ϵ}_{22}\\ {ϵ}_{33}\\ {\gamma }_{12}\\ {\gamma }_{23}\\ {\gamma }_{31}\end{array}\right\}$$

이는 텐서표기법이 적용될 수 있는 일반적인 형태가 아님에 유의한다. 둘째로 여기서는 전단 변형률 ${ϵ}_{ij}$가 아닌 그의 두배인 ${\gamma }_{ij}$가 끄인다. $({ϵ}_{ij}={\gamma }_{ij}/2)$

출처 http://www.continuummechanics.org