헬름홀츠 자유에너지 (Helmholtz Free Energy)
헬름홀츠 자유에너지(Helmholtz Free Energy)
헬름홀츠 자유에너지(Ψ)는 내부 에너지(u) 및 엔트로피(s)와 온도(T)의 곱, 두 상태변수의 조합이다.
\[\Psi=u-Ts\]
헬름홀츠 자유에너지의 시간 증분(time increment)은 적(積)의 미분법에 의해
\[\dot\Psi=\dot u-\dot Ts-T\dot s\]
양변에 밀도 ρ를 곱하면
\[\rho\dot\Psi=\rho\dot u-\rho\dot Ts-\rho T\dot s\]
한편 열역학 제2법칙을 내부에너지, 응력(σ) 및 변형률 속도 텐서(strain rate tensor)(D)로 나타내면
\[\rho T\dot s\ge\rho\dot u-\boldsymbol\sigma:\bf D\]
위의 두식을 결합하면 다음식을 얻는다.
\[\boldsymbol\sigma:{\bf D}\ge\rho\dot u-\rho T\dot s=\rho\dot\Psi+\rho s\dot T\]
이제 변형률 속도 텐서는 탄성(elastic)과 비탄성(inelastic)으로 나눌 수 있다.
\[{\bf D}={\bf D}_{\rm el}+{\bf D}_{\rm in}\]
탄성 부분만 응력을 발생시킨다. 비탄성 부분은 그렇제 못하다. 이는 비가역적인 영구 변형을 나타낸다. 금속에서는 소성 변형이 해당된다. 토양에서도 나타나며 거의 모든 재료에서 어느 정도 발생한다. 위의 식으로부터
\[\boldsymbol\sigma:{\bf D}_{\rm el}+\boldsymbol\sigma:{\bf D}_{\rm in}\ge\rho\dot\Psi+\rho s\dot T\]
다음 단계로 헬름홀츠 자유에너지의 구성 모델(constitutive model)을 제안한다. 요컨데, Ψ는 내부에너지(internal energy)를 포함하므로, 변형률 에너지(strain energy)가 포함되어야 하며, 따라서 그린변형률 텐서(Green strain tensor) E의 탄성부분이 선정될 수 있다. 또한 내부에너지는 열에너지를 포함하므로, 이 또한 온도 T에 의존한다. 마지막으로 나머지 속성을 고려한 남은 변수 집합 \(\boldsymbol\xi=(\xi_1,\,\xi_2,\,\cdots,\,\xi_n)\)를 도입한다. 이들을 내부 상태 변수(ISV, internal state variables)라 불리우며, 금속의 전위 밀도, 고무의 가교(cross-link) 등이 될 수 있다.
\[\Psi=\Psi({\bf E}_{\rm el},\,T,\,\boldsymbol\xi)\]
이 식에 합성함수의 편미분을 적용하여 시간 증분으로 나타내면
\[\dot\Psi=\frac{\partial\Psi}{\partial{\bf E}_{\rm el}}:\dot{\bf E}_{\rm el}+\frac{\partial\Psi}{\partial T}\dot T+\frac{\partial\Psi}{\partial{\boldsymbol\xi}}\cdot\dot{\boldsymbol\xi}\]
이 식을 앞의 식에 대입하면 다음식을 얻는다.
\[\boldsymbol\sigma:{\bf D}_{\rm el}+\boldsymbol\sigma:{\bf D}_{\rm in}\ge\rho\frac{\partial\Psi}{\partial{\bf E}_{\rm el}}:\dot{\bf E}_{\rm el}+\rho\frac{\partial\Psi}{\partial T}\dot T+\rho\frac{\partial\Psi}{\partial{\boldsymbol\xi}}\cdot\dot{\boldsymbol\xi}+\rho s\dot T\]
그린변형률 텐서 증분은 \(d{\bf E}/dt={\bf F}^T\cdot {\bf D}\cdot {\bf F}\)임을 상기하자. (여기서 F는 변형구배(deformation gradient) 텐서이다.) 이 식을 대입하면
\[\boldsymbol\sigma:{\bf D}_{\rm el}+\boldsymbol\sigma:{\bf D}_{\rm in}\ge\rho\frac{\partial\Psi}{\partial{\bf E}_{\rm el}}:\left({\bf F}_{\rm el}^T\cdot{\bf D}_{\rm el}\cdot{\bf F}_{\rm el}\right)+\rho\frac{\partial\Psi}{\partial T}\dot T+\rho\frac{\partial\Psi}{\partial\boldsymbol\xi}\cdot\dot{\boldsymbol\xi}+\rho s\dot T\]
그리고 공통항을 정리하면
\[\left(\boldsymbol\sigma-\rho{\bf F}_{\rm el}\cdot\frac{\partial\Psi}{\partial{\bf E}_{\rm el}}\cdot{\bf F}_{\rm el}^T\right):{\bf D}_{\rm el}+\boldsymbol\sigma:{\bf D}_{\rm in}\ge\rho\left(s+\frac{\partial\Psi}{\partial T}\right)\dot T+\rho\frac{\partial\Psi}{\partial\boldsymbol\xi}\cdot\dot{\boldsymbol\xi}\]
어떠한 재질에도 \(\bf D_{\rm el}\)을 부여할 수 있으므로 위의 식이 항상 성립하기 위해서는 해당 항은 영이어야 한다. 이를 위하여 다음식이 성립한다.
\[\boldsymbol\sigma=\rho{\bf F}_{\rm el}\cdot\frac{\partial\Psi}{\partial{\bf E}_{\rm el}}\cdot{\bf F}_{\rm el}^T\]
코시응력 σ를 2차 피올라 키르코프 응력 S로 나타내면
\[\boldsymbol\sigma={1\over J}{\bf F}\cdot{\bf S}\cdot{\bf F}^T\]
따라서 명백히 다음식이 성립한다. (여기서 자코비언(Jacobian) \(J=V/V_o=\rho_o/\rho\))
\[{\bf S}=\rho_o\frac{\partial\Psi}{\partial{\bf E}_{\rm el}}\]
결과적으로 2차 피올라 키르코프(2nd Piola-Kirchhoff) 응력은 헬름홀츠 자유에너지의 탄성변형 그린변형률 텐서에 대한 편미분이다.
동일한 방법으로
\(s=-\dfrac{\partial\Psi}{\partial T}\) 이므로 \(\boldsymbol\sigma:{\bf D}_{\rm in}\ge\rho\frac{\partial\Psi}{\partial\boldsymbol\xi}\cdot\dot{\boldsymbol\xi}\)
선형 탄성(Linear Elasticity)
앞에서 유도한 2차 피올차 키르코프 응력에 대한 식은 초탄성(hyperelastic)의 가장 일반적인 식으로서, 이 식으로부터 헬름홀츠 자유에너지를 신장률(stretch ratio)의 함수로 제안하여 고무 거동의 Mooney-Rivilin 모델이 전개된다. 일단 선형 모델을 유도하기 위해 편미분항을 선형 급수전개하면
\[{\rm S}=\rho_o\frac{\partial\Psi}{\partial{{\bf E}_{el}}}=\rho_o\frac{\partial^2\Psi}{\partial{\bf E}_{\rm el}^2}:{\bf E}_{\rm el}={\bf C}:{\bf E}_{\rm el}\]
여기서 C는 4차 선형 강성텐서(4th rank elastic tensor)이다.
\[{\bf C}=\rho_o\frac{\partial^2\Psi}{\partial{\bf E}_{\rm el}^2}\]
실용적인 측면에서 4차 텐서는 2-D로 표기할 수 없다. 하지만, 포이트 표기법(Voigt notation)을 사용하면 나타낼 수 있다. 이것은 다음과 같이 쓸 수 있다.
\[\begin{Bmatrix}\sigma_{11}\\\sigma_{22}\\\sigma_{33}\\\tau_{12}\\\tau_{23}\\\tau_{31}\end{Bmatrix}=\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\epsilon_{11}\\\epsilon_{22}\\\epsilon_{33}\\\gamma_{12}\\\gamma_{23}\\\gamma_{31}\end{Bmatrix}\]
이는 텐서표기법이 적용될 수 있는 일반적인 형태가 아님에 유의한다. 둘째로 여기서는 전단 변형률 \(\epsilon_{ij}\)가 아닌 그의 두배인 \(\gamma_{ij}\)가 끄인다. \((\epsilon_{ij}=\gamma_{ij}/2)\)
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