코일 스프링
아래 그람과 같이 축방향 하중 P가 작용하고 있는 경우 평균 반지름을 R이라 하면 스프링에는 비틀림 모멘트 T=PR이 생긴다. 따라서 극단면 2차 모멘트를 J라 하고 스프링 단면 직경을 d(=2r)라 하면 다음 식이 성립한다.
\[T=PR={J\over r}\tau={\pi d^3\over16}\tau\]
윗 식으로부터 스프링 단면에 작용하는 평균 전단응력 τ가 구해지나 실제 응력은 이 값보다 크다.
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코일 스프링 단면의 응력분포 |
여기서 C=D/d=2R/d 이고 스프링 지수(指數)라 한다. 앞서 언급한 바와 같이 K를 Wahl의 수정계수라 하며, 다음과 같이 스프링 지수 C의 함수이다.
\[K={4C-1\over4C-4}+{0.615\over C}\approx{C\over C-1}+{1\over4C}\]
스프링 지수가 작으면 제작이 곤란하므로 4 이상이 보통이며, 일반적으로 4~10 범위를 취한다. Wahl의 응력수정계수는 스프링 지수가 작을 수록 갑자기 증가한다.
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원통코일 스프링의 응력수정계수 |
\[\theta={Tl\over GJ}={PR\pi Dn\over GJ}\]
여기서 l=πDn은 유효길이, n은 유효감김수이다. 극단면 2차 모멘트 \(J=\pi d^4/32\) 이고, 처짐은 δ=Rθ 이므로
\[\delta=R\theta={n\pi D^3P\over4GJ}={64nPR^3\over Gd^4}={8nPD^3\over Gd^4}\]
와 같이 구해진다. 또한 스프링 상수 k는 다음과 같다.
\[k={P\over\delta}={32nR^3P^2\over Gd^4}={V\tau^3\over4K^2G}\]
여기서 \(V=(\pi d^2/4)\cdot(2\pi Rn)\)는 스프링의 부피이다.
위의 관계로부터 흡수 에너지를 크게 하려면 재료의 강도를 높여 τ를 크게 취하고 K를 작게, 즉 스프링 지수 C를 크게 해야 한다.
압축코일 스프링의 끝부를 자리(end)라 하고 아래 그림과 같이 만든다. 가장 많이 사용되는 것은 냉간 성형에서는 연삭한 벌림끝(open end)이고, 열간 성형에서는 테이퍼 가공한 맞댐끝(closed end)이다.
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압축코일 스프링의 끝부 모양 |
온감김수=유효감김수+무효감김수
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압축코일 스프링의 자리 모양 |
\[n=n_t-(n_1+n_2)\]
인장코일 스프링의 경우
\[n=n_t\]
유효감김수는 일반적으로 3 이상으로 잡는다.
정하중을 받는 압축코일 스프링은 아래 그래프에서 구한다. 그래프의 값은 최대응력이므로 밀착응력 및 시험하중 시의 응력은 이 값을 넘어서는 안된다. 상용응력은 그래프의 값의 18% 이하로 한다. 인장코일 스프링은 최대응력의 64% 이하가 적당하다.
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정하중에 대한 허용응력 |
\[\tau_{f1}=(0.22\sim0.37)\sigma_e\]
이고, 반복 비틀림 피로한도 \(\tau_{f2}\)는 다음 범위에 있다.
\[\tau_{f2}=(0.83\sim0.93)\tau_{f1}\]
원추코일 스프링
코일의 지름이 변하는 스프링으로 작은 공간에서 비교적 큰 하중을 견딜 수 있다. 압축하중을 받으면 코일의 지름이 큰 부분에서 처짐이 크므로 이 부분에서 접촉이 시작된다. 전혀 접촉이 일어나지 않는 동안은 직선적으로 변화한다. 접촉이 시작되면 유효감김수가 점차로 적어지고, 또한 스프링 지수가 작아지므로 하중의 증가에 비하여 처짐의 증가는 점차 작아진다. 이 때문에 작은 공간으로 비교적 큰 하중에 견딜 수 있다.
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원추코일 스프링 |
\[\tau=K{16PR_2\over\pi d^3}\]
처짐에 대하여는 위의 그림처럼 스파이럴 곡선으로 가정하여 계산한다. 스프링 상단에서 A점까지의 감김각을 α, A점에서 스프링의 평균 반지름을 R, 이 점에 작용하는 비틀림 모멘트를 T라 하면
여기서 k 값은 \(R=R_2\) 일 때 α=2πn(n: 감김수)의 경계조건으로부터 나온다.
A점에서 소선의 미소길이 ds=Rdα에 해당하는 미소 비틀림각 dθ=Tds/GJ에 의해 발생되는 미소 처짐 dδ는
\[d\delta=Rd\theta=R{Tds\over GJ}={P\over GJ}\left\{R_1+\frac{(R_2-R_1)}{2\pi n}\alpha\right\}^3d\alpha\]
그러므로 전체의 처짐 δ는 다음과 같이 구해진다.
\[\begin{split}\delta&=\int d\delta={P\over GJ}\int_0^{2n\pi}\left\{R_1+\frac{(R_2-R_1)}{2\pi n}\alpha\right\}^3d\alpha\\&={16Pn\over Gd^4}(R_1^2+R_2^2)(R_1+R_2)\end{split}\]
서어징 (Surging)
까와 지면 공진을 일으켜 스프링의 기능을 상실하고 큰 반복응력을 받아 피로파괴의 원인이 된다. 이와 같은 공진 현상을 서어징이라 한다.
압축코일 스프링의 고유진동수는 다음과 같이 구해진다.
\[f_i=a_i\sqrt{k\over m}=a_i\sqrt{kg\over W}=a_i{d\over\pi nD^2}\sqrt{Gg\over2\gamma}\ \text{Hz}\]
여기서
γ : 스프리의 비중량 (kgf/㎣)
스프링의 고유진동수 f는 변동하중 진동수의 15배 이하의 경우 서어징이 일어날 가능성이 있으므로 주의해야 한다.
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