축하중을 받는 봉(Axially Loaded Members) -변위선도(Displacement Diagrams)
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| 그림 1 Two-bar Truss |
이 기하학적 방법을 설명하기 위하여 그림 1과 같은 수평봉과 경사봉을 가진 트러스를 생각한다. 문제는 수직하중 P로 인한 B점의 변위를 구하는 것이다. 그 과정은 먼저 봉에 작용하는 하중을 구하고, 다음 길이 변화를 구한후에 마지막으로 B점의 변위를 구한다.
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| 그림 2 Forces Equilibrium |
봉 AB와 BC의 축하중 \(F_{ab}\)와 \(F_{bc}\)는 그림 2와 같이 B점에 작용하는 힘의 평형으로부터 구한다.
\[F_{ab}=P\cot\theta\qquad F_{bc}=P\csc\theta\]
여기서 \(F_{ab}\)는 인장력, \(F_{bc}\)는 압축력이고, θ는 봉 사이의 각도이다. 각 봉들의 길이 변화는
\[\delta_{ab}=\frac{FL}{EA}=\frac{PL_{ab}\cot\theta}{E_{ab}A_{ab}}\qquad\delta_{bc}=\frac{PL_{bc}\csc\theta}{E_{bc}A_{bc}}\]
연결점 \(\rm B\)의 변위를 구하기 위하여, 먼저 각 봉들을 \(\rm B\)점에서 서로 분리한다. 그 다음 봉 AB는 \(\delta_{ab}\) 만큼 늘어나 끝단이 \(\rm B\)에서 \(\rm B_1\)으로 이동한다고 가정한다(그림 3). 그러면 봉 AB를 회전시켜, \(\rm A\)를 중심으로 \(\rm AB_1\) 반경의 원호를 그릴 수 있다. \(\rm B\)점의 변위는 매우 작기 때문에 이 원호는 봉 AB 축에 수직한 직선으로 대체할 수 있다. \(\rm B\)점의 최종 위치는 이 수선, \(\rm B_1B'\) 상의 어느 점이 될 것이다.
같은 방법으로, 봉 BC는 \(\delta_{bc}\) 만큼 수축하고, 끝단은 \(\rm B\)에서 \(\rm B_2\)로 이동한다. 그 다음 봉 BC는 \(\rm C\)를 중심으로 회전하고 \(\rm CB_2\)를 반경으로 하는 원호를 그릴 수 있다. 이 원호는 BC에 수직한 직선으로 대체될 수 있으므로 \(\rm B\)점의 최종 위치는 이 직선의 어딘가가 될 것이다. 따라서 최종 \(\rm B\)점의 위치는 두 수직선의 교점이 된다. 이 점은 그림 3에서 \(\rm B'\)으로 표시된다. 이렇게 벡터 BB'는 점 \(\rm B\)의 변위 \(\delta_b\)를 나타낸다.
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| 그림 3 Displacement Diagram |
변위 \(\delta_b\)는 그림 3의 변위선도로부터 기하학적으로 구할 수 있다. 선 \(\rm BB'\)은 늘음량 \(\delta_{ab}\)를 나타내고 \(\rm BB_2\)는 수축량 \(\delta_{bc}\)를 나타낸다. 수선들은 \(\rm B_1B'\)과 \(\rm B_2B'\) 이며, \(\rm B'\)에서 교차한다. 이 선들은 AB와 BC에 각각 수직하므로 이들 사이의 각도는 θ와 동일하다. 이 변위선도로부터 \(\rm B\)점의 변위 \(\delta_b\)와 그 수평 및 수직 성분도 구할 수 있다. 수평 성분 \(\delta_h\)는 \(\delta_{ab}\)와 같으며 정확히 오른쪽으로 향한다.
\[\delta_h=\delta_{bc}=\frac{PL_{bc}\csc\theta}{E_{bc}A_{bc}}\]
수직 성분 \(\delta_v\)는 아래로 향하며 선 \(\rm B_1B'\)에 해당한다. 따라서, 삼각함수를 활용하면 다음과 같이 구해진다.
\[\begin{align}\delta_v&=B_1B'=\delta_{bc}\sin\theta+(\delta_{bc}\cos\theta+\delta_{ab})\cot\theta\\&=\delta_{bc}\csc\theta+\delta_{ab}\cot\theta\end{align}\]
이제 점 B의 수평과 수직 성분이 구해졌으므로 변위 \(\delta_b\)는 성분들의 제곱합의 제곱근으로 구할 수 있다. 이상의 방법은 임의로 배치된 2개의 봉의 트러스에 적용할 수 있다. 이러한 선도는 1877년 이 방법을 제안한 프랑스의 공학자 J. V. Willot의 이름을 따라 윌리엇 선도(Williot diagram)이라고도 불리운다. 이 방법은 위에서 다룬 매우 간단한 구조에만 유용하므로 보다 큰 구조에 대해서는 단위하중 기법(unit-load method) 같은 일반적인 해석적 기법이 요구된다.
[예제] 아래 왼쪽 그림과 같은 대칭 트러스의 연결점 B의 변위 계산식을 구하여라. 단, 봉들은 단면적 A 및 탄성계수 E를 갖는다고 가정한다.
<풀이> 먼저 봉의 인장력 F를 B점의 힘의 평형으로부터 결정한다(위의 가운데 그림).
\[P=2F\cos\beta\qquad F={P\over2\cos\beta}\]
다음으로 각 봉의 길이 L=H/cosβ 이므로 늘음량 \(\delta_1\)을 구할 수 있다.
\[\delta_1={FL\over EA}={PH\over2EA\cos^2\beta}\]
최종적으로 변위선도를 그린다(위의 오른쪽 그림). 봉들이 분리되었다고 가정하면 봉 AB는 B점에서 \(B_1\)으로 늘었을 것이다. \(B_1\)을 지나고 \(BB_1\)에 수직인 직선은 B점의 최종 변위점을 지나야 한다. 트러스와 하중은 대칭이므로 B점의 수평 방향 변위는 없다. 따라서, B점은 \(B_1\)으로부터의 수선이 B점을 지나는 수직선과 교차하는 B'점으로 변위해야만 한다. 유사한 방법으로 왼쪽 선도도 얻을 수 있다.
연결점 B의 수직 변위 \(\delta_b\)는 변위선도의 삼각법으로부터 구한다.
\[\delta_b={\delta_1\over\cos\beta}={PH\over2EA\cos^2\beta}\]
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