평형 (Equilibrium)
아래와 같은 2차원 미소요소에 작용하는 모든 힘의 합은 ma와 같아야 한다.
요소에 작용하는 힘들은 아래와 같이 방향별 응력 성분들로 구성된다.
또한 여기에 체적력(body force)이 더해진다. 이들은 중력, 자기력 등을 포함하며 ρfdxdy 로 나타낸다. 여기서 ρ는 밀도, f는 단위질량 당 힘이다.
먼저 x방향 힘의 평형을 생각하면
dxdy로 양변을 나누면
y방향에 대해서도 같은 방법으로 정리하면
이 방정식들은 모든 응력 성분들이 상호의존적으로 묶여 있음을 알 수 있다. 우변이 '0' 즉, 가속도가 없는 경우를 평형상태에 있다 말한다.
3-D 평형 (3-D Equilibrium)
성분이 하나 추가되었을 뿐 2-D의 경우와 원칙은 같다.
요소에 작용하는 힘들을 응력 성분으로 나타내면
x방향 힘의 평형을 생각하면
dxdydz로 양변을 나누면
y, z방향에 대해서도 같은 방법으로 정리하면 다음과 같다.
아래 식은 위의 평형 방정식을 행렬과 텐서 표기법으로 쓰고 가속도를 전미분으로 나타낸 것이다.
원통좌표계 평형 (Equilibrium in Cylindrical Coordinates)
원통좌표계에서도 직교좌표계와 동일하게 방향별 힘의 평형을 응력 성분으로 나타내어 유도한다.
미소 요소에 작용하는 힘들을 응력 성분으로 나타내면 다음과 같다.
반경, r방향 힘의 평형은 (여기서 sin(dθ/2)≒dθ/2, cos(dθ/2)≒1)
양변을 rdrdθdz로 나누고 정리하면
θ, z방향도 같은 방법으로 힘의 평형을 적용하면 된다.
구심 가속도 (Centripetal Acceleration) 타이어의 최고속도 한계시험 시 축대칭 구심력하에서 원주 응력 수준의 예측이 가능하다. 반경 방향 평형 방정식에서 구심 가속도는 위의 식을 평형 방정식에 대입하면 이 식을 정리하면 밀도 1,150 kg/㎥의 타이어 고무가 200kph(=55.55m/s)로 회전한다면 원주 응력은 대략 밀도 7,800 kg/㎥의 스틸의 경우 원주 응력은 대략 사실 타이어는 비균질 복합재이므로 실제 값은 위의 추정 대비 상당히 다를 것이다. |
강재 벨트 평형 (Steel Belt Equilibrium) 이 예제는 강재 벨트 층내 평면의 전단 응력, 지배 방정식은 x방향 평형이며 몇몇 항들을 무시하면 다음식이 된다. 고무 층내 전단 변형, 상단 벨트를 생각하면 위의 식을 평형 방정식에 대입하면 따라서 층내 전단 응력은 층간 전단 변형률과 다음 관계를 가진다. 위의 방정식은 자체로는 그다지 유용하지 못하다. 하지만 벨트의 응력과 변형률의 해석적 해법에 있어서 중요한 것이다. |
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