평형 (Equilibrium)

2-D 평형 (2-D Equilibrium)

아래와 같은 2차원 미소요소에 작용하는 모든 힘의 합은 ma와 같아야 한다.

요소에 작용하는 힘들은 아래와 같이 방향별 응력 성분들로 구성된다.

\[\begin{split}&{\rm F}_{xx}+d{\rm F}_{xx}=\sigma_{xx}dy+\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}dxdy,\ &{\rm F}_{yy}+d{\rm F}_{yy}=\sigma_{yy}dx+\frac{\partial\sigma_{yy}}{\partial y}dxdy\\&{\rm F}_{xy}+d{\rm F}_{xy}=\tau_{xy}dy+\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}dxdy,&{\rm F}_{yx}+d{\rm F}_{yx}=\tau_{yx}dx+\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}dxdy\end{split}\]

또한 여기에 체적력(body force)이 더해진다. 이들은 중력, 자기력 등을 포함하며 ρfdxdy 로 나타낸다. 여기서 ρ는 밀도, f는 단위질량 당 힘이다.

먼저 x방향 힘의 평형을 생각하면 \(\sum {\rm F}_x=ma_x\) 이므로

\[\begin{align}&-{\rm F}_{xx}-{\rm F}_{yx}+{\rm F}_{xx}+d{\rm F}_{xx}+{\rm F}_{yx}+d{\rm F}_{yx}+\rho f_xdxdy=ma_x\\&\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}dxdy+\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}dxdy+\rho f_xdxdy=\rho dxdya_x\end{align}\]

dxdy로 양변을 나누면

\[\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y}+\rho f_x=\rho a_x\]

y방향에 대해서도 같은 방법으로 정리하면

\[\frac{\partial\sigma_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}+\rho f_y=\rho a_y\]

이 방정식들은 모든 응력 성분들이 상호의존적으로 묶여 있음을 알 수 있다. 우변이 '0' 즉, 가속도가 없는 경우를 평형상태에 있다 말한다.

3-D 평형 (3-D Equilibrium)

성분이 하나 추가되었을 뿐 2-D의 경우와 원칙은 같다.

요소에 작용하는 힘들을 응력 성분으로 나타내면

\[\begin{align}&{\rm F}_{xx}+d{\rm F}_{xx}=\sigma_{xx}dydz+\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}dxdydz\\&{\rm F}_{yy}+d{\rm F}_{yy}=\sigma_{yy}dxdz+\frac{\partial\sigma_{yy}}{\partial y}dxdydz\\&{\rm F}_{zz}+d{\rm F}_{xx}=\sigma_{zz}dxdy+\frac{\partial\sigma_{zz}}{\partial z}dxdydz\\&{\rm F}_{xy}+d{\rm F}_{xy}=\tau_{xy}dydz+\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}dxdydz\\&{\rm F}_{yx}+d{\rm F}_{yx}=\tau_{yx}dxdz+\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}dxdydz\\&{\rm F}_{yz}+d{\rm F}_{yz}=\tau_{yz}dxdz+\frac{\partial\tau_{yz}}{\partial y}dxdydz\\&{\rm F}_{zy}+d{\rm F}_{zy}=\tau_{zy}dxdy+\frac{\partial\tau_{zy}}{\partial z}dxdydz\\&{\rm F}_{xz}+d{\rm F}_{xz}=\tau_{xz}dydz+\frac{\partial\tau_{xz}}{\partial x}dxdydz\\&{\rm F}_{zx}+d{\rm F}_{zx}=\tau_{zx}dxdy+\frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z}dxdydz\end{align}\]

x방향 힘의 평형을 생각하면

\[\begin{align}&-{\rm F}_{xx}-{\rm F}_{yx}-{\rm F}_{zx}+{\rm F}_{xx}+d{\rm F}_{xx}+{\rm F}_{yx}+d{\rm F}_{yx}+{\rm F}_{zx}+d{\rm F}_{zx}+\rho f_xdxdydz=ma_x\\&\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}dxdydz+\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}dxdydz+\frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z}dxdydz+\rho f_xdxdydz=\rho dxdydza_x\end{align}\]

dxdydz로 양변을 나누면

\[\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial\tau_{xz}}{\partial z}+\rho f_x=\rho a_x\]

y, z방향에 대해서도 같은 방법으로 정리하면 다음과 같다.

\[\begin{split}&\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial x}+\frac{\partial\sigma_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial\tau_{yz}}{\partial z}+\rho f_y=\rho a_y\\&\frac{\partial\tau_{zx}}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{zy}}{\partial y}+\frac{\partial\sigma_{zz}}{\partial z}+\rho f_z=\rho a_z\end{split}\]

아래 식은 위의 평형 방정식을 행렬과 텐서 표기법으로 쓰고 가속도를 전미분으로 나타낸 것이다.

\[\begin{split}&\nabla\cdot\boldsymbol\sigma+\rho{\bf f}=\rho{\bf a}=\rho\left(\frac{\partial\bf v}{\partial t}+{\bf v}\cdot\frac{\partial\bf v}{\partial\bf x}\right)\\&\sigma_{ij,j}+\rho f_i=\rho a_i=\rho\left(v_{i,t}+v_kv_{i,k}\right)\end{split}\]

원통좌표계 평형 (Equilibrium in Cylindrical Coordinates)

원통좌표계에서도 직교좌표계와 동일하게 방향별 힘의 평형을 응력 성분으로 나타내어 유도한다.

미소 요소에 작용하는 힘들을 응력 성분으로 나타내면 다음과 같다.

\[\begin{split}&{\rm F}_{rr}+d{\rm F}_{rr}=\left(\sigma_{rr}+\frac{\partial\sigma_{rr}}{\partial r}dr\right)(r+dr)d\theta dz\\&{\rm F}_{r\theta}+d{\rm F}_{r\theta}=\left(\sigma_{r\theta}+\frac{\partial\sigma_{r\theta}}{\partial r}dr\right)(r+dr)d\theta dz\\&{\rm F}_{rz}+d{\rm F}_{rz}=\left(\sigma_{rz}+\frac{\partial\sigma_{rz}}{\partial r}dr\right)(r+dr)d\theta dz\\&{\rm F}_{\theta\theta}+d{\rm F}_{\theta\theta}=\left(\sigma_{\theta\theta}+\frac{\partial\sigma_{\theta\theta}}{\partial\theta}d\theta\right)drdz\\&{\rm F}_{\theta r}+d{\rm F}_{\theta r}=\left(\sigma_{\theta r}+\frac{\partial\sigma_{\theta r}}{\partial\theta}d\theta\right)drdz\\&{\rm F}_{\theta z}+d{\rm F}_{\theta z}=\left(\sigma_{\theta z}+\frac{\partial\sigma_{\theta z}}{\partial\theta}d\theta\right)drdz\\&{\rm F}_{zz}+d{\rm F}_{zz}=\left(\sigma_{zz}+\frac{\partial\sigma_{zz}}{\partial z}dz\right)rdrd\theta\\&{\rm F}_{zr}+d{\rm F}_{zr}=\left(\sigma_{zr}+\frac{\partial\sigma_{zr}}{\partial z}dz\right)rdrd\theta\\&{\rm F}_{z\theta}+d{\rm F}_{z\theta}=\left(\sigma_{z\theta}+\frac{\partial\sigma_{z\theta}}{\partial z}dz\right)rdrd\theta\end{split}\]

반경, r방향 힘의 평형은 (여기서 sin(dθ/2)≒dθ/2, cos(dθ/2)≒1)

\[\begin{align}&-{\rm F}_{rr}-{\rm F}_{\theta\theta}\sin{d\theta\over2}-{\rm F}_{\theta r}\cos{d\theta\over2}-{\rm F}_{zr}+{\rm F}_{rr}+d{\rm F}_{rr}-({\rm F}_{\theta\theta}+d{\rm F}_{\theta\theta})\sin{d\theta\over2}\\&+({\rm F}_{\theta r}+d{\rm F}_{\theta r})\cos{d\theta\over2}+{\rm F}_{zr}+d{\rm F}_{zr}+\rho f_rrdrd\theta dz=ma_r\\&\sigma_{rr}drd\theta dz+\frac{\partial\sigma_{rr}}{\partial r}rdrd\theta dz-\sigma_{\theta\theta}drd\theta dz+\frac{\partial\sigma_{\theta r}}{\partial\theta}drd\theta dz\\&+\frac{\partial\sigma_{zr}}{\partial z}rdrd\theta dz+\rho f_rrdrd\theta dz=\rho rdrd\theta dza_r\end{align}\]

양변을 rdrdθdz로 나누고 정리하면

\[\frac{\partial}{r\partial r}(r\sigma_{rr})+\frac{\partial\sigma_{r\theta}}{r\partial\theta}+\frac{\partial\sigma_{rz}}{\partial z}-\frac{\sigma_{\theta\theta}}{r}+\rho f_r=\rho a_r\]

θ, z방향도 같은 방법으로 힘의 평형을 적용하면 된다.

\[\begin{split}&\frac{\partial}{r\partial r}(r\sigma_{r\theta})+\frac{\partial\sigma_{\theta\theta}}{r\partial\theta}+\frac{\partial\sigma_{\theta z}}{\partial z}+\frac{\sigma_{r\theta}}{r}+\rho f_\theta=\rho a_\theta\\&\frac{\partial}{r\partial r}(r\sigma_{rz})+\frac{\partial\sigma_{\theta z}}{r\partial\theta}+\frac{\partial\sigma_{zz}}{\partial z}+\rho f_z=\rho a_z\end{split}\]

구심 가속도 (Centripetal Acceleration) 타이어의 최고속도 한계시험 시 축대칭 구심력하에서 원주 응력 수준의 예측이 가능하다. 반경 방향 평형 방정식에서 구심 가속도는 \[a_r=-{{\rm V}^2\over r}\] 위의 식을 평형 방정식에 대입하면 \(\sigma_{\theta\theta}/r\)을 제외하고 무시할 수 있으므로 다음 식이 성립한다. \[-{\sigma_{\theta\theta}\over r}=-\rho{{\rm V}^2\over r}\] 이 식을 정리하면 \[\sigma_{\theta\theta}=\rho{\rm V}^2\] 밀도 1,150 kg/㎥의 타이어 고무가 200kph(=55.55m/s)로 회전한다면 원주 응력은 대략 \[\sigma_{\theta\theta}=(1150)(55.55)^2\approx3,500,000\ {\rm Pa}=3.5\ {\rm MPa}\] 밀도 7,800 kg/㎥의 스틸의 경우 원주 응력은 대략 \[\sigma_{\theta\theta}=(7800)(55.55)^2\approx24,000,000\ {\rm Pa}=24\ {\rm MPa}\] 사실 타이어는 비균질 복합재이므로 실제 값은 위의 추정 대비 상당히 다를 것이다.

강재 벨트 평형 (Steel Belt Equilibrium) 이 예제는 강재 벨트 층내 평면의 전단 응력, \(\tau_{xy}\)를 벨트 끝단 사이의 층간 전단 변형률, \(\gamma_{xz}\)로 나타낼 수 있게 한다. 지배 방정식은 x방향 평형이며 몇몇 항들을 무시하면 다음식이 된다. \[\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial\tau_{xz}}{\partial z}=0\] 고무 층내 전단 변형, \(\gamma_{xz}\)가 발생하며 전단 응력은 \[\tau_{xz}={\rm G}\gamma_{xz}\] 상단 벨트를 생각하면 \(\tau_{xz}\)는 전단층의 바닥면이고 상단면은 거의 '0'에 가깝다. 따라서 벨트 두께를 따라서 전단 응력의 변화는 \[\frac{\partial\tau_{xz}}{\partial z}=\frac{\tau_{\rm top}-\tau_{\rm bottom}}{\rm D}=-{\rm G\over D}\gamma_{xz}\] 위의 식을 평형 방정식에 대입하면 \[\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y}-{\rm G\over D}\gamma_{xz}=0\] 따라서 층내 전단 응력은 층간 전단 변형률과 다음 관계를 가진다. \[\tau_{xy}=\int{\rm G\over D}\gamma_{xz}dy\] 위의 방정식은 자체로는 그다지 유용하지 못하다. 하지만 벨트의 응력과 변형률의 해석적 해법에 있어서 중요한 것이다.

출처 http://www.continuummechanics.org