평형 (Equilibrium)

2-D 평형 (2-D Equilibrium)

아래와 같은 2차원 미소요소에 작용하는 모든 힘의 합은 ma와 같아야 한다.

요소에 작용하는 힘들은 아래와 같이 방향별 응력 성분들로 구성된다.

$$\begin{array}{rlr}& {\mathrm{F}}_{xx}+d{\mathrm{F}}_{xx}={\sigma }_{xx}dy+\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}dxdy,& {\mathrm{F}}_{yy}+d{\mathrm{F}}_{yy}={\sigma }_{yy}dx+\frac{\partial {\sigma }_{yy}}{\partial y}dxdy\\ & {\mathrm{F}}_{xy}+d{\mathrm{F}}_{xy}={\tau }_{xy}dy+\frac{\partial {\tau }_{xy}}{\partial x}dxdy,& {\mathrm{F}}_{yx}+d{\mathrm{F}}_{yx}={\tau }_{yx}dx+\frac{\partial {\tau }_{yx}}{\partial y}dxdy\end{array}$$

또한 여기에 체적력(body force)이 더해진다. 이들은 중력, 자기력 등을 포함하며 ρfdxdy 로 나타낸다. 여기서 ρ는 밀도, f는 단위질량 당 힘이다.

먼저 x방향 힘의 평형을 생각하면 $\sum {\mathrm{F}}_x=m{a}_x$ 이므로

$$\begin{array}{rl}& -{\mathrm{F}}_{xx}-{\mathrm{F}}_{yx}+{\mathrm{F}}_{xx}+d{\mathrm{F}}_{xx}+{\mathrm{F}}_{yx}+d{\mathrm{F}}_{yx}+\rho f_{x}dxdy=m{a}_x\\ & \frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}dxdy+\frac{\partial {\tau }_{yx}}{\partial y}dxdy+\rho f_{x}dxdy=\rho dxdy{a}_x\end{array}$$

dxdy로 양변을 나누면

$$\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{xy}}{\partial y}+\rho f_x=\rho a_x$$

y방향에 대해서도 같은 방법으로 정리하면

$$\frac{\partial {\sigma }_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{xy}}{\partial x}+\rho f_y=\rho a_y$$

이 방정식들은 모든 응력 성분들이 상호의존적으로 묶여 있음을 알 수 있다. 우변이 '0' 즉, 가속도가 없는 경우를 평형상태에 있다 말한다.

3-D 평형 (3-D Equilibrium)

성분이 하나 추가되었을 뿐 2-D의 경우와 원칙은 같다.

요소에 작용하는 힘들을 응력 성분으로 나타내면

$$\begin{array}{rl}& {\mathrm{F}}_{xx}+d{\mathrm{F}}_{xx}={\sigma }_{xx}dydz+\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}dxdydz\\ & {\mathrm{F}}_{yy}+d{\mathrm{F}}_{yy}={\sigma }_{yy}dxdz+\frac{\partial {\sigma }_{yy}}{\partial y}dxdydz\\ & {\mathrm{F}}_{zz}+d{\mathrm{F}}_{xx}={\sigma }_{zz}dxdy+\frac{\partial {\sigma }_{zz}}{\partial z}dxdydz\\ & {\mathrm{F}}_{xy}+d{\mathrm{F}}_{xy}={\tau }_{xy}dydz+\frac{\partial {\tau }_{xy}}{\partial x}dxdydz\\ & {\mathrm{F}}_{yx}+d{\mathrm{F}}_{yx}={\tau }_{yx}dxdz+\frac{\partial {\tau }_{yx}}{\partial y}dxdydz\\ & {\mathrm{F}}_{yz}+d{\mathrm{F}}_{yz}={\tau }_{yz}dxdz+\frac{\partial {\tau }_{yz}}{\partial y}dxdydz\\ & {\mathrm{F}}_{zy}+d{\mathrm{F}}_{zy}={\tau }_{zy}dxdy+\frac{\partial {\tau }_{zy}}{\partial z}dxdydz\\ & {\mathrm{F}}_{xz}+d{\mathrm{F}}_{xz}={\tau }_{xz}dydz+\frac{\partial {\tau }_{xz}}{\partial x}dxdydz\\ & {\mathrm{F}}_{zx}+d{\mathrm{F}}_{zx}={\tau }_{zx}dxdy+\frac{\partial {\tau }_{zx}}{\partial z}dxdydz\end{array}$$

x방향 힘의 평형을 생각하면

$$\begin{array}{rl}& -{\mathrm{F}}_{xx}-{\mathrm{F}}_{yx}-{\mathrm{F}}_{zx}+{\mathrm{F}}_{xx}+d{\mathrm{F}}_{xx}+{\mathrm{F}}_{yx}+d{\mathrm{F}}_{yx}+{\mathrm{F}}_{zx}+d{\mathrm{F}}_{zx}+\rho f_{x}dxdydz=m{a}_x\\ & \frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}dxdydz+\frac{\partial {\tau }_{yx}}{\partial y}dxdydz+\frac{\partial {\tau }_{zx}}{\partial z}dxdydz+\rho f_{x}dxdydz=\rho dxdydz{a}_x\end{array}$$

dxdydz로 양변을 나누면

$$\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{xz}}{\partial z}+\rho f_x=\rho a_x$$

y, z방향에 대해서도 같은 방법으로 정리하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}& \frac{\partial {\tau }_{yx}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{yz}}{\partial z}+\rho f_y=\rho a_y\\ & \frac{\partial {\tau }_{zx}}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{zy}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zz}}{\partial z}+\rho f_z=\rho a_z\end{array}$$

아래 식은 위의 평형 방정식을 행렬과 텐서 표기법으로 쓰고 가속도를 전미분으로 나타낸 것이다.

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{\nabla }\cdot \mathit{\sigma }+\rho \mathbf{f}=\rho \mathbf{a}=\rho (\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial \mathbf{x}})\\ & {\sigma }_{ij,j}+\rho f_i=\rho a_i=\rho (v_{i,t}+v_k{v}_{i,k})\end{array}$$

원통좌표계 평형 (Equilibrium in Cylindrical Coordinates)

원통좌표계에서도 직교좌표계와 동일하게 방향별 힘의 평형을 응력 성분으로 나타내어 유도한다.

미소 요소에 작용하는 힘들을 응력 성분으로 나타내면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}& {\mathrm{F}}_{rr}+d{\mathrm{F}}_{rr}=({\sigma }_{rr}+\frac{\partial {\sigma }_{rr}}{\partial r}dr)(r+dr)d\theta dz\\ & {\mathrm{F}}_{r\theta }+d{\mathrm{F}}_{r\theta }=({\sigma }_{r\theta }+\frac{\partial {\sigma }_{r\theta }}{\partial r}dr)(r+dr)d\theta dz\\ & {\mathrm{F}}_{rz}+d{\mathrm{F}}_{rz}=({\sigma }_{rz}+\frac{\partial {\sigma }_{rz}}{\partial r}dr)(r+dr)d\theta dz\\ & {\mathrm{F}}_{\theta \theta }+d{\mathrm{F}}_{\theta \theta }=({\sigma }_{\theta \theta }+\frac{\partial {\sigma }_{\theta \theta }}{\partial \theta }d\theta )drdz\\ & {\mathrm{F}}_{\theta r}+d{\mathrm{F}}_{\theta r}=({\sigma }_{\theta r}+\frac{\partial {\sigma }_{\theta r}}{\partial \theta }d\theta )drdz\\ & {\mathrm{F}}_{\theta z}+d{\mathrm{F}}_{\theta z}=({\sigma }_{\theta z}+\frac{\partial {\sigma }_{\theta z}}{\partial \theta }d\theta )drdz\\ & {\mathrm{F}}_{zz}+d{\mathrm{F}}_{zz}=({\sigma }_{zz}+\frac{\partial {\sigma }_{zz}}{\partial z}dz)rdrd\theta \\ & {\mathrm{F}}_{zr}+d{\mathrm{F}}_{zr}=({\sigma }_{zr}+\frac{\partial {\sigma }_{zr}}{\partial z}dz)rdrd\theta \\ & {\mathrm{F}}_{z\theta }+d{\mathrm{F}}_{z\theta }=({\sigma }_{z\theta }+\frac{\partial {\sigma }_{z\theta }}{\partial z}dz)rdrd\theta \end{array}$$

반경, r방향 힘의 평형은 (여기서 sin(dθ/2)≒dθ/2, cos(dθ/2)≒1)

$$\begin{array}{rl}& -{\mathrm{F}}_{rr}-{\mathrm{F}}_{\theta \theta }\sin \frac{d\theta }{2}-{\mathrm{F}}_{\theta r}\cos \frac{d\theta }{2}-{\mathrm{F}}_{zr}+{\mathrm{F}}_{rr}+d{\mathrm{F}}_{rr}-({\mathrm{F}}_{\theta \theta }+d{\mathrm{F}}_{\theta \theta })\sin \frac{d\theta }{2}\\ & +({\mathrm{F}}_{\theta r}+d{\mathrm{F}}_{\theta r})\cos \frac{d\theta }{2}+{\mathrm{F}}_{zr}+d{\mathrm{F}}_{zr}+\rho f_{r}rdrd\theta dz=m{a}_r\\ & {\sigma }_{rr}drd\theta dz+\frac{\partial {\sigma }_{rr}}{\partial r}rdrd\theta dz-{\sigma }_{\theta \theta }drd\theta dz+\frac{\partial {\sigma }_{\theta r}}{\partial \theta }drd\theta dz\\ & +\frac{\partial {\sigma }_{zr}}{\partial z}rdrd\theta dz+\rho f_{r}rdrd\theta dz=\rho rdrd\theta dz{a}_r\end{array}$$

양변을 rdrdθdz로 나누고 정리하면

$$\frac{\partial }{r\partial r}(r{\sigma }_{rr})+\frac{\partial {\sigma }_{r\theta }}{r\partial \theta }+\frac{\partial {\sigma }_{rz}}{\partial z}-\frac{{\sigma }_{\theta \theta }}{r}+\rho f_r=\rho a_r$$

θ, z방향도 같은 방법으로 힘의 평형을 적용하면 된다.

$$\begin{array}{rl}& \frac{\partial }{r\partial r}(r{\sigma }_{r\theta })+\frac{\partial {\sigma }_{\theta \theta }}{r\partial \theta }+\frac{\partial {\sigma }_{\theta z}}{\partial z}+\frac{{\sigma }_{r\theta }}{r}+\rho f_{\theta }=\rho a_{\theta }\\ & \frac{\partial }{r\partial r}(r{\sigma }_{rz})+\frac{\partial {\sigma }_{\theta z}}{r\partial \theta }+\frac{\partial {\sigma }_{zz}}{\partial z}+\rho f_z=\rho a_z\end{array}$$

구심 가속도 (Centripetal Acceleration) 타이어의 최고속도 한계시험 시 축대칭 구심력하에서 원주 응력 수준의 예측이 가능하다. 반경 방향 평형 방정식에서 구심 가속도는 $$a_r=-\frac{{\mathrm{V}}^2}{r}$$ 위의 식을 평형 방정식에 대입하면 ${\sigma }_{\theta \theta }/r$을 제외하고 무시할 수 있으므로 다음 식이 성립한다. $$-\frac{{\sigma }_{\theta \theta }}{r}=-\rho \frac{{\mathrm{V}}^2}{r}$$ 이 식을 정리하면 $${\sigma }_{\theta \theta }=\rho {\mathrm{V}}^2$$ 밀도 1,150 kg/㎥의 타이어 고무가 200kph(=55.55m/s)로 회전한다면 원주 응력은 대략 $${\sigma }_{\theta \theta }=(1150)(55.55{)}^2\approx 3,500,000\mathrm{P}\mathrm{a}=3.5\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a}$$ 밀도 7,800 kg/㎥의 스틸의 경우 원주 응력은 대략 $${\sigma }_{\theta \theta }=(7800)(55.55{)}^2\approx 24,000,000\mathrm{P}\mathrm{a}=24\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a}$$ 사실 타이어는 비균질 복합재이므로 실제 값은 위의 추정 대비 상당히 다를 것이다.

강재 벨트 평형 (Steel Belt Equilibrium) 이 예제는 강재 벨트 층내 평면의 전단 응력, ${\tau }_{xy}$를 벨트 끝단 사이의 층간 전단 변형률, ${\gamma }_{xz}$로 나타낼 수 있게 한다. 지배 방정식은 x방향 평형이며 몇몇 항들을 무시하면 다음식이 된다. $$\frac{\partial {\tau }_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{xz}}{\partial z}=0$$ 고무 층내 전단 변형, ${\gamma }_{xz}$가 발생하며 전단 응력은 $${\tau }_{xz}=\mathrm{G}{\gamma }_{xz}$$ 상단 벨트를 생각하면 ${\tau }_{xz}$는 전단층의 바닥면이고 상단면은 거의 '0'에 가깝다. 따라서 벨트 두께를 따라서 전단 응력의 변화는 $$\frac{\partial {\tau }_{xz}}{\partial z}=\frac{{\tau }_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}-{\tau }_{\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{m}}}{\mathrm{D}}=-\frac{\mathrm{G}}{\mathrm{D}}{\gamma }_{xz}$$ 위의 식을 평형 방정식에 대입하면 $$\frac{\partial {\tau }_{xy}}{\partial y}-\frac{\mathrm{G}}{\mathrm{D}}{\gamma }_{xz}=0$$ 따라서 층내 전단 응력은 층간 전단 변형률과 다음 관계를 가진다. $${\tau }_{xy}=\int \frac{\mathrm{G}}{\mathrm{D}}{\gamma }_{xz}dy$$ 위의 방정식은 자체로는 그다지 유용하지 못하다. 하지만 벨트의 응력과 변형률의 해석적 해법에 있어서 중요한 것이다.

출처 http://www.continuummechanics.org