평형 (Equilibrium)

2-D 평형 (2-D Equilibrium)

아래와 같은 2차원 미소요소에 작용하는 모든 힘의 합은 ma와 같아야 한다.

요소에 작용하는 힘들은 아래와 같이 방향별 응력 성분들로 구성된다.

Fxx+dFxx=σxxdy+σxxxdxdy, Fyy+dFyy=σyydx+σyyydxdyFxy+dFxy=τxydy+τxyxdxdy,Fyx+dFyx=τyxdx+τyxydxdy

또한 여기에 체적력(body force)이 더해진다. 이들은 중력, 자기력 등을 포함하며 ρfdxdy 로 나타낸다. 여기서 ρ는 밀도, f는 단위질량 당 힘이다.

먼저 x방향 힘의 평형을 생각하면 Fx=max 이므로

FxxFyx+Fxx+dFxx+Fyx+dFyx+ρfxdxdy=maxσxxxdxdy+τyxydxdy+ρfxdxdy=ρdxdyax

dxdy로 양변을 나누면

σxxx+τxyy+ρfx=ρax

y방향에 대해서도 같은 방법으로 정리하면

σyyy+τxyx+ρfy=ρay

이 방정식들은 모든 응력 성분들이 상호의존적으로 묶여 있음을 알 수 있다. 우변이 '0' 즉, 가속도가 없는 경우를 평형상태에 있다 말한다.

3-D 평형 (3-D Equilibrium)

성분이 하나 추가되었을 뿐 2-D의 경우와 원칙은 같다.

요소에 작용하는 힘들을 응력 성분으로 나타내면

Fxx+dFxx=σxxdydz+σxxxdxdydzFyy+dFyy=σyydxdz+σyyydxdydzFzz+dFxx=σzzdxdy+σzzzdxdydzFxy+dFxy=τxydydz+τxyxdxdydzFyx+dFyx=τyxdxdz+τyxydxdydzFyz+dFyz=τyzdxdz+τyzydxdydzFzy+dFzy=τzydxdy+τzyzdxdydzFxz+dFxz=τxzdydz+τxzxdxdydzFzx+dFzx=τzxdxdy+τzxzdxdydz

x방향 힘의 평형을 생각하면

FxxFyxFzx+Fxx+dFxx+Fyx+dFyx+Fzx+dFzx+ρfxdxdydz=maxσxxxdxdydz+τyxydxdydz+τzxzdxdydz+ρfxdxdydz=ρdxdydzax

dxdydz로 양변을 나누면

σxxx+τxyy+τxzz+ρfx=ρax

y, z방향에 대해서도 같은 방법으로 정리하면 다음과 같다.

τyxx+σyyy+τyzz+ρfy=ρayτzxx+τzyy+σzzz+ρfz=ρaz

아래 식은 위의 평형 방정식을 행렬과 텐서 표기법으로 쓰고 가속도를 전미분으로 나타낸 것이다.

σ+ρf=ρa=ρ(vt+vvx)σij,j+ρfi=ρai=ρ(vi,t+vkvi,k)

원통좌표계 평형 (Equilibrium in Cylindrical Coordinates)

원통좌표계에서도 직교좌표계와 동일하게 방향별 힘의 평형을 응력 성분으로 나타내어 유도한다.

미소 요소에 작용하는 힘들을 응력 성분으로 나타내면 다음과 같다.

Frr+dFrr=(σrr+σrrrdr)(r+dr)dθdzFrθ+dFrθ=(σrθ+σrθrdr)(r+dr)dθdzFrz+dFrz=(σrz+σrzrdr)(r+dr)dθdzFθθ+dFθθ=(σθθ+σθθθdθ)drdzFθr+dFθr=(σθr+σθrθdθ)drdzFθz+dFθz=(σθz+σθzθdθ)drdzFzz+dFzz=(σzz+σzzzdz)rdrdθFzr+dFzr=(σzr+σzrzdz)rdrdθFzθ+dFzθ=(σzθ+σzθzdz)rdrdθ

반경, r방향 힘의 평형은 (여기서 sin(dθ/2)≒dθ/2, cos(dθ/2)≒1)

FrrFθθsindθ2Fθrcosdθ2Fzr+Frr+dFrr(Fθθ+dFθθ)sindθ2+(Fθr+dFθr)cosdθ2+Fzr+dFzr+ρfrrdrdθdz=marσrrdrdθdz+σrrrrdrdθdzσθθdrdθdz+σθrθdrdθdz+σzrzrdrdθdz+ρfrrdrdθdz=ρrdrdθdzar

양변을 rdrdθdz로 나누고 정리하면

rr(rσrr)+σrθrθ+σrzzσθθr+ρfr=ρar

θ, z방향도 같은 방법으로 힘의 평형을 적용하면 된다.

rr(rσrθ)+σθθrθ+σθzz+σrθr+ρfθ=ρaθrr(rσrz)+σθzrθ+σzzz+ρfz=ρaz

구심 가속도 (Centripetal Acceleration)

타이어의 최고속도 한계시험 시 축대칭 구심력하에서 원주 응력 수준의 예측이 가능하다.

반경 방향 평형 방정식에서 구심 가속도는

ar=V2r

위의 식을 평형 방정식에 대입하면 σθθ/r을 제외하고 무시할 수 있으므로 다음 식이 성립한다.

σθθr=ρV2r

이 식을 정리하면

σθθ=ρV2

밀도 1,150 kg/㎥의 타이어 고무가 200kph(=55.55m/s)로 회전한다면 원주 응력은 대략

σθθ=(1150)(55.55)23,500,000 Pa=3.5 MPa

밀도 7,800 kg/㎥의 스틸의 경우 원주 응력은 대략

σθθ=(7800)(55.55)224,000,000 Pa=24 MPa

사실 타이어는 비균질 복합재이므로 실제 값은 위의 추정 대비 상당히 다를 것이다.

강재 벨트 평형 (Steel Belt Equilibrium)

이 예제는 강재 벨트 층내 평면의 전단 응력, τxy를 벨트 끝단 사이의 층간 전단 변형률, γxz로 나타낼 수 있게 한다.

지배 방정식은 x방향 평형이며 몇몇 항들을 무시하면 다음식이 된다.

τxyy+τxzz=0

고무 층내 전단 변형, γxz가 발생하며 전단 응력은

τxz=Gγxz

상단 벨트를 생각하면 τxz는 전단층의 바닥면이고 상단면은 거의 '0'에 가깝다. 따라서 벨트 두께를 따라서 전단 응력의 변화는

τxzz=τtopτbottomD=GDγxz

위의 식을 평형 방정식에 대입하면

τxyyGDγxz=0

따라서 층내 전단 응력은 층간 전단 변형률과 다음 관계를 가진다.

τxy=GDγxzdy

위의 방정식은 자체로는 그다지 유용하지 못하다. 하지만 벨트의 응력과 변형률의 해석적 해법에 있어서 중요한 것이다.

출처 http://www.continuummechanics.org

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