조합하중을 받는 축 (Combined Loadings)

다음과 같이 외팔 원형 단면보가 비틀림 T와 굽힘모멘트 M을 동시에 받고 있다. 보의 상단 미소요소는 평면응력(plane stress) 상태이며 굽힘모멘트 M에 의한 수직응력 ${\sigma }_x$, 비틀림모멘트 T에 의한 전단응력 τ로 나타난다.

굽힘과 비틀림의 조합하중

최대 수직응력은 주응력 식을 이용하여 다음과 같이 계산되며 상당굽힘응력(equivalent bending stress)이라고 한다.

$${\sigma }_e={\sigma }_1=\frac{1}{2}{\sigma }_x+\frac{1}{2}\sqrt{{\sigma }_x^2+4{\tau }^2}$$

여기서 ${\sigma }_x$ 및 τ는 각각 비틀림토오크 T와 굽힘모멘트 M에 의한 비틀림과 굽힘응력이므로 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$${\sigma }_x=\frac{Mr}{I}=\frac{32M}{\pi d^3}\tau =\frac{Tr}{I_p}=\frac{16T}{\pi d^3}$$

이제 상당응력에 해당하는 상당모멘트를 구해 본다. 먼저 상당비틀림모멘트(equivalent twisting moment)는 토오크와 전단응력의 관계로부터

$$T_e={\tau }_e\frac{I_p}{r}=\frac{I_p}{d}\sqrt{{\sigma }_x^2+4{\tau }^2}=\frac{\pi d^3}{32}\sqrt{{\left(\frac{32M}{\pi d^3}\right)}^2+{\left(\frac{16T}{\pi d^3}\right)}^2}=\sqrt{M^2+T^2}$$

동일한 방법으로 상당굽힘모멘트(equivalent bending moment)를 얻는다.

$$M_e={\sigma }_e\frac{I}{r}=\frac{I}{d}({\sigma }_x+\sqrt{{\sigma }_x^2+{\tau }^2})=\frac{1}{2}(M+T_e)=\frac{1}{2}(M+\sqrt{M^2+T^2})$$