조합하중을 받는 축 (Combined Loadings)

다음과 같이 외팔 원형 단면보가 비틀림 T와 굽힘모멘트 M을 동시에 받고 있다. 보의 상단 미소요소는 평면응력(plane stress) 상태이며 굽힘모멘트 M에 의한 수직응력 \(\sigma_x\), 비틀림모멘트 T에 의한 전단응력 τ로 나타난다.

굽힘과 비틀림의 조합하중

최대 수직응력은 주응력 식을 이용하여 다음과 같이 계산되며 상당굽힘응력(equivalent bending stress)이라고 한다.

\[\sigma_e=\sigma_1={1\over2}\sigma_x+{1\over2}\sqrt{\sigma_x^2+4\tau^2}\]

여기서 \(\sigma_x\) 및 τ는 각각 비틀림토오크 T와 굽힘모멘트 M에 의한 비틀림과 굽힘응력이므로 아래와 같이 나타낼 수 있다.

\[\sigma_x={Mr\over I}={32M\over\pi d^3}\qquad\tau={Tr\over I_p}={16T\over\pi d^3}\]

이제 상당응력에 해당하는 상당모멘트를 구해 본다. 먼저 상당비틀림모멘트(equivalent twisting moment)는 토오크와 전단응력의 관계로부터

\[T_e=\tau_e{I_p\over r}={I_p\over d}\sqrt{\sigma_x^2+4\tau^2}={\pi d^3\over32}\sqrt{\left({32M\over\pi d^3}\right)^2+\left({16T\over\pi d^3}\right)^2}=\sqrt{M^2+T^2}\]

동일한 방법으로 상당굽힘모멘트(equivalent bending moment)를 얻는다.

\[M_e=\sigma_e{I\over r}={I\over d}\left(\sigma_x+\sqrt{\sigma_x^2+\tau^2}\right)={1\over2}(M+T_e)={1\over2}\left(M+\sqrt{M^2+T^2}\right)\]