주응력 (Principal Stress)

주응력과 응력 불변량은 응력의 정의와 상관없이 적용 가능하다.

2등급(2nd rank) 텐서의 좌표변환은 어떠한 응력, 변형률에도 적용할 수 있으며 다음과 같이 나타낸다.

${\mathit{\sigma }}^{\prime }=\mathbf{Q}\mathit{\sigma }{\mathbf{Q}}^T$

다음의 내용들은 대칭 텐서이며 위의 좌표변환이 사용된다는 전제로 한다.

2-D 주응력 (2-D Principal Stress)

2-D 변환 방정식은 다음과 같다.

$\begin{array}{rl}{\sigma }_{xx}^{\prime }& ={\sigma }_{xx}{\cos }^2\theta +{\sigma }_{yy}{\sin }^2\theta +2{\tau }_{xy}\sin \theta \cos \theta \\ {\sigma }_{yy}^{\prime }& ={\sigma }_{xx}{\sin }^2\theta +{\sigma }_{yy}{\cos }^2\theta -2{\tau }_{xy}\sin \theta \cos \theta \\ {\tau }_{xy}^{\prime }& =({\sigma }_{yy}-{\sigma }_{xx})\sin \theta \cos \theta +{\tau }_{xy}({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )\end{array}$

아래 그림의 좌표축과 평행한 정사각형은 순수전단(pure shear) 상태이다. 그러나 적색 내접 사각형은 단순 인장/압축을 받고 있다. 이 응력들이 전역 좌표계(global coordinates)에서 순수전단의 주응력(principal value)이다.

주방향에서는 전단응력이 '0' 이므로 주응력 각도 ${\theta }_p$는 ${\tau }_{xy}^{\prime }=0$으로 하면 구할 수 있다.

$0=({\sigma }_{yy}-{\sigma }_{xx})\sin {\theta }_p\cos {\theta }_p+{\tau }_{xy}({\cos }^2{\theta }_p-{\sin }^2{\theta }_p)$

삼각함수 항등식을 활용하여 정리하면

$\tan 2{\theta }_p={\displaystyle \frac{2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}}}$

이 때 변환행렬 Q는

$\mathbf{Q}=\left[\begin{array}{cc}\cos {\theta }_p& \sin {\theta }_p\\ -\sin {\theta }_p& \cos {\theta }_p\end{array}\right]$

주응력 ${\sigma }_{1,2}$ 역시 삼각함수 항등식을 활용한다. 먼저 $2{\theta }_p$를 내각으로 하는 직각삼각형의 세변은 다음과 같다.

$R=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{{\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}}{2}}\right)}^2+{\tau }^2}$

또한 ${\cos }^2\theta =(1+\cos 2\theta )/2$, ${\sin }^2\theta =(1-\cos 2\theta )/2$ 및 $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$ 이므로 ${\sigma }_{xx}^{\prime }$ 변환 방정식에서

$\begin{array}{rl}{\sigma }_1& ={\sigma }_{xx}\left(\frac{1+\cos 2{\theta }_p}{2}\right)+{\sigma }_{yy}\left(\frac{1-\cos 2{\theta }_p}{2}\right)+{\tau }_{xy}\sin 2{\theta }_p\\ & =\frac{{\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}}{2}+\frac{{\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}}{2}\left(\frac{{\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}}{2R}\right)+{\tau }_{xy}\left(\frac{{\tau }_{xy}}{R}\right)\\ & =\frac{{\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}}{2}+\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}\end{array}$

${\sigma }_2(<{\sigma }_1)$은 ${\sigma }_1+{\sigma }_2={\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}$ 이므로 주응력 ${\sigma }_{1,2}$는 아래와 같이 쓸 수 있다.

${\sigma }_{1,2}={\displaystyle \frac{{\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}}{2}}\pm \sqrt{{\left({\displaystyle \frac{{\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}}{2}}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}$

[예  제] 응력 텐서가 다음과 같을 때 주방향과 주응력을 구하라.

$\mathit{\sigma }=\left[\begin{array}{cc}50& 30\\ 30& -20\end{array}\right]$

$\begin{array}{rl}& {\theta }_p=\frac{1}{2}{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}\left(\frac{2\cdot 30}{50-(-20)}\right)={20.3}^{\circ }\\ & {\sigma }_{1,2}=\frac{50-20}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{50+20}{2}\right)}^2+{30}^2}=61.1,-31.1\end{array}$

위의 방정식을 이용하면 어느 주응력이 20.3˚ 이고 어느 것이 110.3˚(20.3˚+90˚) 인지 모른다는 제약이 따른다. 그러므로 다음과 같이 변환행렬을 이용하는 것이 유용하다.

$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_1& 0\\ 0& {\sigma }_2\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}\cos {20.3}^{\circ }& \sin {20.3}^{\circ }\\ -\sin {20.3}^{\circ }& \cos {20.3}^{\circ }\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}50& 30\\ 30& -20\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos {20.3}^{\circ }& -\sin {20.3}^{\circ }\\ \sin {20.3}^{\circ }& \cos {20.3}^{\circ }\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}61.1& 0.0\\ 0.0& -31.1\end{array}\right]\end{array}$

위의 결과는 ${\sigma }_1$ 텐서항의 61.1 이 x축으로부터 20.3˚ 이고  ${\sigma }_2$는 그것으로부터 90˚ 방향임을 보여준다.

3-D 주응력 (3-D Principal Stress)

3-D 응력 좌표변환은 다음과 같다.

$\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{11}^{\prime }& {\sigma }_{12}^{\prime }& {\sigma }_{13}^{\prime }\\ {\sigma }_{21}^{\prime }& {\sigma }_{22}^{\prime }& {\sigma }_{23}^{\prime }\\ {\sigma }_{31}^{\prime }& {\sigma }_{32}^{\prime }& {\sigma }_{33}^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{Q}_{11}& Q_{12}& Q_{13}\\ Q_{21}& Q_{22}& Q_{23}\\ Q_{31}& Q_{32}& Q_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{12}& {\sigma }_{13}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}& {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{31}& {\sigma }_{32}& {\sigma }_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{Q}_{11}& Q_{21}& Q_{31}\\ Q_{12}& Q_{22}& Q_{32}\\ Q_{13}& Q_{23}& Q_{33}\end{array}\right]$

최대 전단응력 (Maximum Shear Stress) 임의의 점의 최대 전단응력은 주응력으로부터 쉽게 구할 수 있다. ${\tau }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}={\displaystyle \frac{{\sigma }_1-{\sigma }_3}{2}}$ 여기서 ${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge {\sigma }_3$ 이다. 위의 식은 2-D, 3-D 상관없이 적용할 수 있다. 최대 전단응력은 항상 주방향의 45˚ 회전면에서 발생한다. 만약 주응력 텐서가 아래와 같으면 $\mathit{\sigma }=\left[\begin{array}{ccc}24& 0& 0\\ 0& 125& 0\\ 0& 0& 433\end{array}\right]$ 최대/최소 주응력은 각각 ${\sigma }_{33},{\sigma }_{11}$ 위치에 있으므로 최대 전단응력 방향은 주방향 (1-3)면 방향으로 45˚ 회전함으로 구해진다. 최대 전단응력 값은 ${\tau }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}={\displaystyle \frac{433-24}{2}}=205$

주응력을 구하기 위해서는 응력 텐서의 고유치에 대한 3차 방정식을 풀어야 한다. 이 방정식은 다음 행렬식을 '0'으로 하여 유도된다.

$\left|\begin{array}{ccc}{\sigma }_{11}-\lambda & {\sigma }_{12}& {\sigma }_{13}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}-\lambda & {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{31}& {\sigma }_{32}& {\sigma }_{33}-\lambda \end{array}\right|=0$

이 행렬식을 풀면

${\lambda }^3-({\sigma }_{11}+{\sigma }_{22}+{\sigma }_{33}){\lambda }^2+({\sigma }_{11}{\sigma }_{22}+{\sigma }_{22}{\sigma }_{33}+{\sigma }_{33}{\sigma }_{11}-{\sigma }_{12}^2-{\sigma }_{23}^2-{\sigma }_{31}^2)\lambda -({\sigma }_{11}{\sigma }_{22}{\sigma }_{33}-{\sigma }_{11}{\sigma }_{23}^2-{\sigma }_{22}{\sigma }_{31}^2-{\sigma }_{33}{\sigma }_{12}^2+2{\sigma }_{12}{\sigma }_{23}{\sigma }_{31})=0$

여기서 주응력은 응력 텐서의 어떠한 좌표변환을 하여도 같은 값을 가져야 하므로 위의 방정식의 계수는 불변량이러야 한다. 따라서 이들을 응력 불변치(stress invariants)라 부르고 다음과 같이 나타낸다.

${\lambda }^3-{\mathrm{I}}_1{\lambda }^2+{\mathrm{I}}_2\lambda -{\mathrm{I}}_3=0$

여기서

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{I}}_1=\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathit{\sigma })={\sigma }_{11}+{\sigma }_{22}+{\sigma }_{33}\\ & {\mathrm{I}}_2=\left|\begin{array}{cc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{12}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{\sigma }_{22}& {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{32}& {\sigma }_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{13}\\ {\sigma }_{31}& {\sigma }_{33}\end{array}\right|={\sigma }_{11}{\sigma }_{22}+{\sigma }_{22}{\sigma }_{33}+{\sigma }_{33}{\sigma }_{11}-{\sigma }_{12}^2+{\sigma }_{23}^2-{\sigma }_{31}^2\\ & {\mathrm{I}}_3=det(\mathit{\sigma })={\sigma }_{11}{\sigma }_{22}{\sigma }_{33}-{\sigma }_{11}{\sigma }_{23}^2-{\sigma }_{22}{\sigma }_{31}^2-{\sigma }_{33}{\sigma }_{12}^2+2{\sigma }_{12}{\sigma }_{23}{\sigma }_{31}\end{array}$

텐서 표기법으로 쓰면

${\mathrm{I}}_1={\sigma }_{\mathrm{k}\mathrm{k}},{\mathrm{I}}_2={\displaystyle \frac{1}{2}}({\sigma }_{\mathrm{k}\mathrm{k}}^2-{\sigma }_{\mathrm{i}\mathrm{j}}{\sigma }_{\mathrm{i}\mathrm{j}}),{\mathrm{I}}_3={ϵ}_{\mathrm{i}\mathrm{j}\mathrm{k}}{\sigma }_{\mathrm{i}1}{\sigma }_{\mathrm{j}2}{\sigma }_{\mathrm{k}3}$

불변치의 물리적 해석 (Physical Interpretation of Invariants) 불변치의 물리적 의미는 어떤 텐서에서 계산되었는지에 따라 다르다. 응력과 변형률의 경우 ${\mathrm{I}}_1$은 정수압 성분(hydrostatic componet)을 나타낸다. ${\mathrm{I}}_2$는 응력과 변형률의 편향(deviatoric) 성분과 관련이 있는 경향이 있다. ${\mathrm{I}}_3$는 응력과 변형률의 행렬식으로 물리적 의미는 없어 보인다. 하지만, 변형구배(deformation gradient)에서는 ${\mathrm{I}}_3={\mathrm{V}}_{\mathrm{f}}/{\mathrm{V}}_{\mathrm{o}}$ 초기 대비 체적비를 의미하고 고무와 같이 비압축성(incompressible) 재료에서는 '1'이 된다.

[예  제] 응력 텐서가 아래와 같을 때 불변치와 주응력을 구하라.

$\sigma =\left[\begin{array}{ccc}50& 30& 20\\ 30& -20& -10\\ 20& -10& 10\end{array}\right]$

응력 불변치는 위의 식에 각 응력 성분을 대입하면 구해진다.

${\mathrm{I}}_1=50-20+10=40$

${\mathrm{I}}_2=50(-20)+(-20)10+10\cdot 50-{30}^2-{20}^2-(-10{)}^2=-2,100$

${\mathrm{I}}_3=50(-20)10+30(-10)20+20\cdot 30(-10)-50(-10)(-10)-30\cdot 30\cdot 10-20(-20)20=-28,000$

주응력을 구하기 위한 고유치의 3차 방정식은 다음과 같다.

${\lambda }^3-40{\lambda }^2-2100\lambda +28000=0$

3차 방정식의 해는 주응력이며 3차 방정식의 근의 공식을 이용하여 계산한다.

먼저, 매개변수 Q, R, θ를 다음과 같이 구한다.

$\mathrm{Q}={\displaystyle \frac{3{\mathrm{I}}_2-{\mathrm{I}}_1^2}{9}},\mathrm{R}={\displaystyle \frac{2{\mathrm{I}}_1^3-9{\mathrm{I}}_1{\mathrm{I}}_2+27{\mathrm{I}}_3}{54}},\theta =\mathrm{C}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}\left({\displaystyle \frac{\mathrm{R}}{\sqrt{-{\mathrm{Q}}^3}}}\right)$

최종적으로 주응력은 위의 매개변수를 대입하여 아래와 같이 구한다.

$\begin{array}{rl}& {\sigma }_1=2\sqrt{-\mathrm{Q}}\cos \left({\displaystyle \frac{\theta }{3}}\right)+{\displaystyle \frac{{\mathrm{I}}_1}{3}}=65.5\\ & {\sigma }_2=2\sqrt{-\mathrm{Q}}\cos \left({\displaystyle \frac{\theta +2\pi }{3}}\right)+{\displaystyle \frac{{\mathrm{I}}_1}{3}}=-37.1\\ & {\sigma }_3=2\sqrt{-\mathrm{Q}}\cos \left({\displaystyle \frac{\theta +4\pi }{3}}\right)+{\displaystyle \frac{{\mathrm{I}}_1}{3}}=11.5\end{array}$

또한, 행렬로 나타내면

${\mathit{\sigma }}^{\prime }=\left[\begin{array}{ccc}65.5& 0& 0\\ 0& -37.1& 0\\ 0& 0& 11.5\end{array}\right]$

출처 : http://www.continuummechanics.org/