기계공학 (Mechanical Engineering)

정리  1.  \(0<|x-c|<\delta_0\)를 만족하는 모든 x에 대하여 \(f(x)≤g(x)≤h(x)\), \(\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=\alpha=\lim_{x\to c}h(x)\text{ 이면 }\lim_{x\to c}g(x)=\alpha\) <증명> 가정에 의하여 \(0<|x-c|<\delta_0\) 일 때 \(f(x)≤g(x)≤h(x)\cdots(1)\) 임의의 ε>0에 대하여 양수 \(\delta_1,\,\delta_2\)가 존재하고 \(0<|x-c|<\delta_1\) 일 때 \(|f(x)-\alpha|<\epsilon\cdots(2)\) \(0<|x-c|<\delta_2\) 일 때 \(|h(x)-\alpha|<\epsilon\cdots(3)\) 여기서 \(\delta=\min\{\delta_0,\,\delta_1,\,\delta_2\}\)라 하면 \(0<|x-c|<\delta\)인 x는 (1), (2), (3)을 동시에 만족한다. 위의 부등식에서 \(\alpha-\epsilon<f(x)\le g(x)\le h(x)<\alpha+\epsilon\). 따라서 임의의 ε>0에 대하여 양수 δ가 존재하고 \(0<|x-c|<\delta\) 일 때 \(|g(x)-\alpha|<\epsilon\). \(\therefore\displaystyle\lim_{x\to c}g(x)=\alpha\) [예제 1] \(\displaystyle\lim_{\theta\to0}\sin\theta=0,\,\lim_{\theta\to0}\cos\theta=1\) 임을 증명하여라. 단, θ는 라디안이다. <증명> 원점을 중심, 반경이 1인 원과 x축의 양의 부분과의 교점을 A라 하고, 이 원주상의 점 P를 잡아 ∠POA=θ라 한다\(\left(-{\pi\over2}<\theta<{\

ε-δ법에 의하여 x→a 일 때 f(x)→α임을 보이기 위해서는 먼저 α를 추정하여야 한다. 그러나 실제로 α를 추정하기 쉽지 않으며, 추정할 수 있는 경우도 증명을 위해서는 여러가지 기교가 필요할 수 있다. 따라서 실제로 극한 을 계산할 때는 간단한 함수 의 극한을 알고, 몇 개의 정리 를 활용하여 결과를 얻는다. 이 때 필요한 정리들을 생각해 본다. 정리 1. \(\begin{align}\lim_{x\to a}f(x)=\alpha\end{align}\) 이면 α의 적당한 근방 의 x(단, a≠x)에 대하여 f(x)의 집합은 유계 이다. <증명> 가정에 의하여 임의의 양수 ε에 대하여 적당한 양수 δ가 존재하여 0<|x-a|<δ 이면 |f(x)-α|<ε 이다. 곧, α-ε<f(x)<α+ε. 그러므로 0<|x-a|<δ인 x의 집합에서 f(x)의 집합은 상계 α+ε, 하계 α-ε를 가지며 유계이다. [주] 일반으로 다음 부등식이 성립한다. |α+ε|≤|α|+ε, |α-ε|≤|α|+ε. 따라서, -(|α|+ε)≤α-ε<f(x)<α+ε≤|α|+ε 이므로 |f(x)|<|α|+ε. 특히 ε=1 이면 적당한 δ가 존재하여 0<|x-a|<δ 이면 |f(x)|<|α|+1. 위의 주의를 따라 정리 1은 다음과 같이 변형할 수 있다. \(\begin{align}\lim_{x\to a}f(x)=\alpha\end{align}\) 이면 적당한 양수 δ가 존재하여 0<|x-a|<δ 인 모든 x에 대하여 |f(x)|≤M 인 양수 M이 존재한다. [예제 1] \(f(x)=\frac{3x^2-12}{x-2}\) 일 때 \(\begin{align}\lim_{x\to2}f(x)=12\end{align}\) 이고, 임의의 ε>0에 대하여 \(\delta={\epsilon\over3}\) 이라 하면 0<|x-2|<δ 일 때 |f(x)-12|<ε

정리 1    미분가능한 함수 f의 역함수 g는 미분가능하며 y=f(x)라 하면\[g'(y)={1\over f'(x)}\ ({\rm 단},\,f'(x)\ne0)\]이다. < 증명 > 역함수의 정의에 따라, \(g\circ f=1\), 즉 x=g(y)=g(f(x)) 이므로, 합성함수의 미분법 정리 1에 의해서 \[1=\frac{dx}{dx}=\frac{dg}{dy}\frac{df}{dx}=\frac{dx}{dy}\frac{dy}{dx}\] 가 된다. 따라서 \[g'(y)=\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}={1\over f'(x)}\] 계 1   k는 임의의 유리수이고, \(y=x^k\)이 실수이면 y는 미분가능하고 \(y'=kx^{k-1}\) 이다. < 증명 > k가 유리수이므로 적당한 정수 p, q(단, q>0)를 취하여 k=p/q로 나타낼 수 있다. \(u=x^{1/q}=g(x)\)라 하고 \(h(u)=u^q\)라 두면, h는 q의 역함수이다. 그런데 h는 미분가능하므로, \[g'(x)={1\over h'(u)}={1\over qu^{q-1}}={1\over q(x^{1/q})^{q-1}}={1\over qx^{1-1/q}}={1\over q}x^{1/q-1}\] 그리고 \(f(x)=x^{p/q}=(x^{1/q})^p=(g(x))^p\) 이므로, f(x)는 미분가능하며, \[f'(x)=pq(x)^{p-1}g'(x)=px^{p-1\over q}{1\over q}x^{1/q-1}={p\over q}x^{p/q-1}=kx^{k-1}\] 계 2   g는 미분가능한 함수, k는 임의의 유리수일 때 \(f(x)=g(x)^k\)가 실수치를 가지면 f는 미분가능하며\[f'(x)=kg(x)^{k-1}g'(x)\] < 증명 > 계 1을

연속 방정식은(continuity equation)은 오일러 분석(Euler analysis)에서 질량보존을 만족시킨다. t=0 에서 유체 입자의 위치를 모르기 때문에 라그란지 기술법(Lagrangian)이 불가하므로 이 방정식은 고전 유체역학에서 근간이 된다. 질량보존 (Conservation of Mass) 연속 방정식은 검사체적에 유입과 유출되는 질량 유속의 총합계로 전개되며, 질량의 변화율은 순수 유입량과 같다고 설정한다. 이를 보여주기 위해 아래 그림과 같은 미소 체적을 생각한다. 미소 검사체적의 유출과 유입되는 모든 질량유속을 같게 놓으면 다음식을 얻는다. \[\begin{split}&\rho v_xdydz+\rho v_ydxdz+\rho v_zdxdy-\left(\rho v_x+\frac{\partial\rho v_x}{\partial x}dx\right)\\&-\left(\rho v_y+\frac{\partial\rho v_y}{\partial y}dy\right)-\left(\rho v_z+\frac{\partial\rho v_z}{\partial z}dz\right)=\frac{\partial}{\partial t}(\rho dxdydz)\end{split}\] 중복항을 삭제하고 dxdydz로 나누고 정리하면 위의 식은 행열과 텐서표기법 으로 간단하게 쓸 수 있다. \[\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho{\bf v})=0\qquad\frac{\partial\rho}{\partial t}+(\rho v_i)_{,i}=0\] 유동이 정상상태(steady state)라면 시간미분항이 삭제되므로 \[\nabla\cdot(\rho{\bf v})=0\qquad(\rho v_i)_{,i}=0\] 비압축성(incompressibility) 유동이면 ρ=상수 이므로 \[\nabla\cdot{\bf v}=0\qquad v_{i,i}=0\] 위의 결과를 풀어쓰면 \[\frac{\parti

재료역학에서 단순전단은 요소의 마주보는 두 변이 평행하게 일정 거리를 유지하면서 서로에 대해 상대적으로 이동하는 변형이다. 이 변형은 강체 회전이 존재한다는 점에서 순수전단 (pure shear)과는 다르다. 고무가 단순전단 변형을 할 때 응력-변형률 거동은 거의 선형관계가 된다. 봉의 비틀림 은 단순전단을 받는 실제적인 예이다. 위의 그림과 같은 단순전단의 변형 후 상사 방정식(mapping equation)은 다음과 같다. \[\begin{split}&x=X+\gamma Y\\&y=Y\end{split}\] 따라서 변형구배 (deformation gradient)는 정의에 따라 \[\bf F=\begin{bmatrix}\frac{\partial x}{\partial X}&\frac{\partial x}{\partial Y}\\\frac{\partial y}{\partial X}&\frac{\partial y}{\partial Y}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&\gamma\\0&1\end{bmatrix}\] 강체회전이 존재하므로 위와 같이 변형구배는 비대칭 행열이 된다. 또한, 그림에서 요소가 변형하는 동안 고정되어 있는 밑변의 방향벡터  \({\bf e}_1\)이라 하고 \({\bf e}_1-{\bf e}_2\)면 상에서 변형이 일어난다고 하면 변형구배는 아래와 같이 쓸 수도 있다. \[\begin{split}{\bf F}&={\bf I}+\gamma{\bf e}_1\otimes{\bf e}_2\\&=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}+\gamma(1,0,0)\otimes(0,1,0)\\&=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}+\gamma\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}\end{split}\] 위의 결과로부터 그린변형률 (Gre

- 가환 : 연상의 순서를 바꾸어도 그 결과가 변하지 않는 일 - 공리(公理) : 증명할 필요가 없이 자명한 진리이자 다른 명제들을 증명하는데 전제가 되는 원리로서 기본적인 가정 - 공역복소수 : 복소수의 허수부에 덧셈 역원을 취하여 얻는 복소수 - 계(系) : 어떤 명제나 정리로부터 옳다는 것이 쉽게 밝혀지는 다른 명제나 정리 - 단사함수(injective function) : 정의역의 서로 다른 원소를 공역의 서로 다른 원소로 대응시키는 함수 - 대우 : 어떤 조건명제의 가정과 결론을 뒤바꾼 후 각각의 부정을 취한 명제 - 동치 : 두 문장이 논리적으로 같다는 것을 의미 - 명제(命題) : 참 또는 거짓을 검증할 수 있는 객관적 기준이 포함된 문장 - 상(商) : 몫 - 정리(定理) : 수학에서 가정으로부터 증명된 명제 - 직원주 : 직원기둥(축과 밑면이 직각으로 교차하는 원기둥) 직원주 - 필요충분조건 : 명제 'P이면 Q이다.'에서 Q는 P이기 위한 필요조건, P를 Q의 충분조건이라 함. 'P이면 Q이고, Q이면 P이다.'에서 P와 Q는 서로에 대해 필요충분조건

수열의 극한 은 양의 정수의 집합 위에서 정의된 실 함수 의 극한이라 할 수 있다. 극한의 개념은 실수의 임의의 구간 위의 모든 점에서 정의된 함수에서 특히 중요하다. 수열 \(\{a_n\}\)의 극한에서는 n이 한없이 커질 때 \(a_n\)이 어떤 값에 근접하는 가를 조사하였다. 연속변수 함수 f(x)의 극한에서는 x가 어떤 값 a에 가까와질 때 f(x)가 어떤 값에 근접하는 가를 조사한다. [예제 1] 다음 2개의 함수에서 x가 1에 가까와질 때 f(x)는 어떤 값에 가까와지는가를 조사하여라. \[(1)\ f(x)=x+1\qquad(2)\ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\] <풀이> 아래 그래프에서 x가 1에 가까와질 때 함수 값은 모두 2에 한없이 가까와 진다.   정의 1 (함수의 극한)  함수 f는 a를 포함하는 구간 내의 모든 점에서 정의되어 있다(a에서는 정의되어 있지 않아도 된다). x가 a에 한없이 가까와질 때 가까와지는 방법에 무관하게 f(x)가 일정한 실수 α에 한없이 가까와지면 α를 x가 a에 가까와질 때의 f(x)의 극한 또는 극한값이라 하고, 기호로는 \[\lim_{x\to a}f(x)=\alpha\qquad\text{또는}\qquad x\to a\ \text{일 때}\ f(x)\to\alpha\] 로 나타낸다. \(\lim_{x\to a}f(x)=\alpha\) 일 때 다음 두 조건을 만족하는 수열 \(\{x_n\}\)을 생각한다. (1) \(x_n\in D_f,\,x_n\ne a,\,n=1,\,2,\,3,\,\cdots\) (2) \(\lim_{x\to\infty}x_n=a\) 이 때 수열 \(x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n,\,\cdots\)에 대하여 함수 f값의 수열 \(f(x_1),\,f(x_2),\,\cdots,\,f(x_n),\,\cdots\)이 정해진다. 가정에 의하여 x→a 일 때 f(x)→α 이므로 정의 1과 (2)에 의하여 \(f(x_n)\)→α 이다. 그런데 x→a 일 때

n개의 원소를 가지는 집합에서 k개를 중복없이 골라 순서에 상관있게 나열하는 경우의 수 \[P(n,\,k)=n(n-1)\cdots(n-k+1)={n!\over(n-k)!}\] <예> 5개 중에서 2개를 뽑는 경우 \[P(5,\,2)=5\cdot(5-2+1)={5!\over(5-2)!}=20\] 모든 경우의 순열을 나타내면 \[1\begin{cases}2\\3\\4\\5\end{cases},\,2\begin{cases}1\\3\\4\\5\end{cases},\,3\begin{cases}1\\2\\4\\5\end{cases},\,4\begin{cases}1\\2\\3\\5\end{cases},\,5\begin{cases}1\\2\\3\\4\end{cases}\]