기계공학 (Mechanical Engineering)

코시-리만 방정식은 많은 다른 형태의 복소함수 도함수 간의 관계이다. 이들은 \({\bf Z}={\bf Z}(z)\)이고 \(z=x+iy\) 일 때 다음과 같다. \[\begin{split}&{\rm Re}\frac{d{\bf Z}}{dz}=\frac{\partial{\rm Re}{\bf Z}}{\partial x}=\ \ \ \frac{\partial{\rm Im}{\bf Z}}{\partial y}\\&{\rm Im}\frac{d{\bf Z}}{dz}=\frac{\partial{\rm Im}{\bf Z}}{\partial x}=-\frac{\partial{\rm Re}{\bf Z}}{\partial y}\end{split}\] 이 방정식들은 도함수들 간의, 직관적이진 않지만, 흥미로운 관계를 보여준다. 예를 들면, 임의의 복소함수 \({\bf Z}(z)\)는 실수부와 허수부로 \({\bf Z}(z)={\rm Re}{\bf Z}+i{\rm Im}{\bf Z}\)와 같이 분해할 수 있다. 따라서 다음과 같이 코시-리만 방정식을 사용하여 도함수를 표현할 수 있다. \[\frac{d{\bf Z}}{dz}={\rm Re}\frac{d{\bf Z}}{dz}+i{\rm Im}\frac{d{\bf Z}}{dz}=\frac{\partial{\rm Re}{\bf Z}}{\partial x}+i\frac{\partial{\rm Im}{\bf Z}}{\partial x}=\frac{\partial{\rm Im}{\bf Z}}{\partial y}-i\frac{\partial{\rm Re{\bf Z}}}{\partial y}\] 해석함수(解析函數, Analytic Function) 위의 관계는 \({\bf Z}(z)\) 일 때만 성립한다는 점에 유의해야 한다. 이러한 경우, \(\bf Z\)는 해석적(analytic) 이라 한다. \(x\)와 \(y\)는 \(z\) 인수 안에 포함되어 있고 외연적으로는 함수 에 드러나지 않는다....

두 행열의 이중내적(double dot product)는 스칼라값을 결과로 내며 다음과 같다. \[\begin{split}&{\bf A}:{\bf B}=A_{ij}B_{ij}\\&{\bf A}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix},\ {\bf B}=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{bmatrix}\ \text{이면}\\&{\bf A}:{\bf B}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{12}+a_{13}b_{13}+\\&\qquad\quad\ \ \ \, a_{21}b_{21}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{23}+\\&\qquad\quad\ \ \ \,a_{31}b_{31}+a_{32}b_{32}+a_{33}b_{33}\end{split}\] [예제] 응력텐서 \(\boldsymbol\sigma\)와 회전텐서 \(\bf W\)의 이중내적은 \(\boldsymbol\sigma:{\bf W}=0\) 임을 증명하시오. \[\begin{align}&\boldsymbol\sigma=\begin{bmatrix}\sigma_{11}&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\\sigma_{12}&\sigma_{22}&\sigma_{23}\\\sigma_{13}&\sigma_{23}&\sigma_{33}\end{bmatrix},\,{\bf W}=\begin{bmatrix}0&-\omega_3&\omega_2\\\omega_3&0&-\omega_1\\-\omega_2&\omega_1&0\end{bma...

정의 1. (미분계수, 미분가능) 함수 \(f\)가 \(a\)의 근방  \(|x-a|<r\)에서 정의되어 있다고 한다. 만일 유한인 극한 \[\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\] 이 존재하면 \(f\)는 \(x=a\)에서 미분가능(微分可能) 하다고 하며 이 극한을 \(f'(a)\)로 표시하고 \(f\)의 \(x=a\)에 있어서의 미분계수(微分係數) 라 한다. 이 때 \(x-a=h\)라 두면 \(x=a+h\) 이므로 \[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\] 따라서 \[\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)\] 이다. 정의 2. 도함수(導函數) 함수 \(f\)가 개구간 \(D\)에서 정의되어 있을 때 \(D\) 내의 각 점에서 미분가능이면 \(f\)는 \(D\)에서 미분가능하다고 한다. 이 경우 \(D\)의 각 점(点) \(x\)에 있어서의 미분계수 \(f'(x)\)를 대응시키는 함수 \[f':x\to f'(x)\] 를 함수 \(f\)의 도함수 라 한다. 종속변수 \(y\)를 사용하여 함수 \(f\)를 \(y=f(x)\)라 표시할 때 도함수를 \(y'\)로 나타내기도 한다. 함수 \(f\)의 도함수를 구하는 것을, \(f\)를 미분한다 고 한다. \(f\)의 \(a\)에 있어서의 미분계수 \(f'(a)\)는, 도함수 \(f'\)의 점 \(a\)에 있어서의 함수값이다, 함수 \(f\)가 어느 개구간에서 미분가능하다고 하는 것은 그의 구간내의 임의의 점 \(x\)에서 미분계수 \(f'(x)\)를 구할 수 있다는 사실, 즉, 임의의 점 \(x\)에서 극한 \[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\] 가 존재하는 것이므로 이것을 \(f'(x)\)라 씀으로서 함수의 미분가능성과 함...

인장하중을 받는 균일단면봉(prismatic bar)에서 축방향 늘음(axial elongation)은 (하중 방향에 수직한) 측면 수축(lateral contraction) 을 동반한다. 이 형상 변화가 아래 그림에 도시되어 있다. 여기서 점선은 하중 인가 전, 실선은 부하 후를 나타낸다. 인장을 받는 봉의 축방향 늘음과 측면 수축 이 측면 변형률 (lateral strain)은 선형탄성(linear elastic) 구간에서 재료가 균일하고 정방성이라면 축방향 변형률(axial strain)에 비례한다. 재료가 균일(homogeneous) 하다는 것은 물체 전체에 걸쳐서 동일한 조성으로 이루어져 있다는 것이다. 따라서 물체의 모든 점에서 동일한 선형 특성을 가진다. 하지만 균일한 재료이기 위해서는 모든 방향의 특성이 동일한 필요는 없다. 예를 들면, 축과 횡방향의 탄성계수 가 다를 수도 있다. 정방성(isotropic) 재료는 모든 방향에 대하여 동일한 선형 특성을 가진다. 그러므로 인장을 받는 봉의 모든 점에서 동일한 측방향 변형률을 갖기 위해서는 재료가 균일함과 동시에 정방성이어야 한다. 많은 구조재들은 이 요건들은 만족한다. 이 축방향 변형률에 대한 측방향 변형률의 비(比)는 포아송 비(Poisson's ratio)로 알려져 있으며 그리스 문자 \(\nu\)로 표기한다. \[\nu=-\frac{\epsilon_{\rm lateral}}{\epsilon_{\rm axial}}\] 인장 상태 봉의 경우 측방향 변형률은 폭의 감소(음의 변형률)이고 축방향 변형률은 늘음(양의 변형률)을 나타낸다. 압축 상태는 반대의 상황이 되어 봉의 단축(음의 축방향 변형률)되고 넓어 진다(양의 측방향 변형률). 그러므로 포아송 비는 대부분 재료에서 양의 값을 가진다. 포아송 비는 저명한 수학자 Simeon Denis Poisson(1781-1840)의 이름을 딴 것이다. 그는 재료의 분자이론을 이용하여 정방성인 경우 이 비율을 \(\nu=1/4\)로 계산하였...